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1 ：ななし：2001/08/07(火) 21:38

　これってなに？　なんかの宗教？

2 ：１３２人目の素数さん：2001/08/07(火) 21:40

　　　　　　　　　　　　ｏ
　　　　　　　　　　　 /　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ /
　　　　　　　　　　　/　　　このスレは無事に　　/
　　　　　　　　　　 /　　終了いたしました　　　 /
　　　　　　　　　　/　ありがとうございました　 /
　　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　　　　　　　/
　　　　　　　　　/　　　　モナーより　　　　　 /
　　　　　　　　 /￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣/
　 ∧＿∧　　/　　　　　　　　　　　　　　　　/∧＿∧
　（　^∀^）　/　　　　　　　　　　　　　　　　/（^∀^　）
　（　　　　）つ　　　　　　　　　　　　　　　⊂（　　　　）
　｜ ｜ ｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ ｜ ｜
　（_＿）＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＿（＿_）

3 ：１３２人目の素数さん：2001/08/07(火) 21:41

★[新しく記事を投稿する場合]は、既に同じ内容の投稿がないかどうかを確認してから行なうようにしてください。
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4 ：1：2001/08/08(水) 16:47

人がわざわざスレッド立ててやったのに
なんなんだ？お前らのその態度は？

5 ：１３２人目の素数さん：2001/08/08(水) 16:52

>>4
数学にはルールってものが存在する。
これを認め合うからこそ、数学という学問は成立する。

ルールを守れない人間は数学からも、そしてこの板からも排除される。（例：今井）
その事をもう少し理解してからスレを立てるようにお願いしたい。

6 ：1=4さんゑ：2001/08/08(水) 17:08

　まともな理論に対してタテツく場合は、↑のような非難を受けるのが
当然の仕打ちだということをよーく考えてね。

7 ：＞１：2001/08/09(木) 03:54

あほぼけかすしね

8 ：１３２人目の素数さん：2001/08/10(金) 00:45

>>7
なんかﾜﾗﾀ

9 ：１３２人目の素数さん：2001/08/24(金) 20:48

1は部落民

10 ： ：2001/08/24(金) 21:22

１＝２を証明します

やってみて

11 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 10:52

εーδ論法は宗教ではありません。つまり自明な命題なわけです。
で、レスが２分後についているということは、明らかに自作自演であるわけです。
よって、１＝２が結論付けられます。

証明終わり。

12 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 15:27

ついでに、IPもいっしょなら、ほぼ間違い無し。

13 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 17:15

しょーもない質問かもしれないけど、εーδ論法って、だれが
考えたの？

14 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 17:24

初めに思いついた人と、最古の文献書いた人と、εδを登場させた人は、
全部別人なんでしょ、きっと。知ってたけど発表してなかったって輩よく聞くしさ。

15 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 17:30

ボルツァノとかコーシーが先駆者ではあったようだけど、
とりあえず、ワイエルシュトラスが完成させたんではない？

16 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 17:56

εーδ論法 って


ペテンだろ？
ただの

17 ：１３２人目の素数さん：2001/08/25(土) 22:49

>9
>1は部落民

お前、何書いても許されるって訳じゃないんだよ

18 ：１だが、：01/08/26 16:54

私は、２ではない。　このスレに書くのは、これで２度めだよ。
よって、２，４　は私ではないよ。

19 ：sage：01/08/26 21:41 ID:2qVncIKY

まさか、∀ε∃δとかいう論法について
議論してるあるいはしたいの？

20 ：１３２人目の素数さん：01/08/26 23:49 ID:sexwTsD6

大学１年時にちゃんと理解するには無理があるね。

まあ、なんとなくでいいじゃないの？特に工学系の人は。
理学の人は数学科志望以外の人、頑張って理解してみたけど
やっぱ掴めなくても大丈夫だよ。

数学科志望の人も、２年くらで位相空間とかなんとかを勉強
するだろうから、その時に理解出来るから焦らなくてもよろし。

21 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 00:43 ID:LGV.vt8o

あれが、そんなに難しいのか？

22 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 00:53 ID:hmxmx0Vk

>>21
難しいというか、直感のみで勉強してきた人にとっては
何これ？これがどうかしたの？って感じじゃないかな。

だから理解するというか、自分のものにしづらいと思う。

23 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 02:54 ID:EIgxw3fQ

あ　　　　　あ

24 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 02:54 ID:nxnnQv7o

>>20
そして、また１年からやり直すの？

25 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 10:01 ID:v4DggcXU

>>24
別に全部やり直すわけでもねぇべ。
連続性とか収束の議論をしてるとこだけやり直すだけだべ。
工学とか物理とか化学とかの学生は、それで十分だべ。

26 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 17:31 ID:2yK4./zI

うちの大学って１年から位相空間論やるよ。
２年になってからじゃ遅いかも。

27 ：　　　：01/08/27 20:56 ID:msfW6..Y

連続であることの、定義もしくは公理です。

28 ：１３２人目の素数さん：01/08/27 21:00 ID:EG4ish0Q

>>26
早っ！

29 ：1：01/08/27 21:13 ID:ZwCwe8iI

＞＞２７
なるほど。　まあ、言いかえれば、数学という、ある種の宗教
の中で使われてる概念の定義の方法なわけですね？
　ってことは、俺の考え方も、あながち外れでは無かったわけだ。

30 ：１３２人目の素数さん：01/08/28 01:14 ID:/0q5qgT2

>>27
公理ではないと思われ

31 ：トシ＠矢田亜希子＆水野美紀：01/08/28 02:46 ID:NGW3JkGU

＞２０
やっぱり〜〜。よかった、よかった。
大学に入って、６月ごろにε−δ法習ったけど、何の意味あるか分からないし・・・。

コレとは関係ないけど、分かりきったことをいちいち証明するな、って感じかな。
数学専攻してるやつの気がしれん。

32 ：１３２人目の素数さん：01/09/22 04:24

いまさらこのスレを上げて大変恐縮なんだが、マジに訊きたいので誰か教えて欲しい。

オレはε−δ法習うなら早いうち(1年生)だとは思う。数学を捉えるためにイロハのイという考え方だと思うから。
ただ、数学科ではないのでいまだに判らんのだが、(うまく言えない)ε−δ法の教科書に出ている問題(証明したい命題)以外で、
ε−δ法がどうしても必要になったり、ε−δ法を使わない証明がε−δ法を使うとくつがえったりする例ってあるのかな？
もちろん証明を記述するコメントの中にε−δ法が出てこなくても、それを暗黙のうちにふまえているのだろう。

しかし、いつも「暗黙」の中にしかε−δ法は居ないように思えるんだが・・・。
そうじゃない例ってありますか？

33 ：yanyan：01/09/22 04:50

数学では「任意」「存在」「否定」「ならば」
という言葉でつまずく人が多い。ε-δ論法は
「任意のε」に対し「δが存在」が重要。

極限の概念をうまく表現するには、ε-δ論法が
最も自然、というか、これ以外にうまくそれを
言い表すことができない、ということを納得する
ことが要と思う。

「証明を記述するコメントの中にε-δ法を出てこなく
ても、それを暗黙のうちにふまえている」 は正解。
いちいち言うのは面倒だから。しかし、いつも「暗黙」
の中にというのは間違い。
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$
なら
$\lim_{n\to\infty}(a_1+\cdots+a_n)/n=b$
の証明を御覧下さい。

34 ：32：01/09/26 00:26

>>33
ありがと。
大変ためになりました(マジです)。

それと・・・$\lim_{n\to\infty}a_n=b$の記号の使い方って、一般的なのですか？

35 ：１３２人目の素数さん：01/09/26 00:45

>>34
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$はTexのコマンド。数学やってる人は
だいたいTex使ってるから一般的かな。

36 ：１３２人目の素数さん：01/09/26 00:48

ｆ（ｘ）をｘの多項式とする。
すべての自然数ｎについてｆ（ｘ）＝ｌｏｇｎとなる
ｆ（ｘ）は存在しないことを示せ

この問題をお願い致します

37 ：１３２人目の素数さん：01/09/26 00:49

>>36
ごめんなさい。書くところ間違えてしまいました

38 ：１３２人目の素数さん：01/09/27 17:42

>>35
オレはTex持ってないけど(Texって有料ソフトだよなもちろん)、
$\lim_{n\to\infty}a_n=b$ って書いたらちゃんとレイアウトされるんだよな？
ブラウザ(htmlの)でもそう見えるのか？(プラグインはあるのですか)

以上、質問です。
(あ。Texってフリーソフトか)

39 ：１３２人目の素数さん：01/09/27 17:52

細かいことだが、TeXだ。Texではない。

40 ：１３２人目の素数さん：01/09/27 18:58

TeX はタダだよ。インストールは面倒だけどね。

41 ：１３２人目の素数さん：01/09/28 18:39

>>39
TEX(Eが少し下がる）だってば。

42 ：１３２人目の素数さん：01/09/28 18:47

>>38 たしかに
TeX か dvi のプラグインて有ってほしいと昔から思ってた。
だれかーーーーお願い！

43 ：１３２人目の素数さん：01/09/28 18:54

>>41
TeXのFAQでは、(ロゴマークでなく)通常フォントで表すときには「TeX」でよいと・・・

44 ：１３２人目の素数さん：01/09/28 22:23

>>42
英文用だったら IBM で *.tex 用プラグインを出していた思うが。

45 ：１３２人目の素数さん：01/09/30 02:38

32さんに私も賛成っす．もっと頭のやわらかい若い時に知りたかった．．．．．
確かに難しいけど，小学生低学年の時に習った割り算より簡単だったし．習った
時に偉く感動した覚えがあります．よく分からん極限という考え方が，分かりや
すい，数の大小の概念で説明されるのですから．なんかだまされた気もするけど，
きっといいのです．すべての極限の概念を用いてる数学は，ε−δ法の中で閉じて
るはず．．．．．．きっと．．．．．．．

でも．．．．．．

「無限大は任意の数より大きい数」　これってすごすぎない！？
「無限大は数で，それは任意の数より大きい」　これは正解かなぁ．
ということは任意の数として無限大を選ぶと，
「無限大は無限大より大きい数」　になるよねぇ．
でも，無限大同士の大小関係は定義されていないはずだから，どこかで矛盾し
てない？？誰か助けてーー！

俺って馬鹿？！
（こんなこと考えてたら女の子にもてないよねぇ．．．．．．）

46 ： ：01/10/22 11:00

それに一言で答えられるようになればε-δ論法はいらなくなるのかもしれぬ

47 ：510：01/10/22 12:08

>>45
学年１位のヤマダくんは生徒で、それは任意の生徒より上位だ
ということは任意の生徒としてヤマダくんを選ぶと
ヤマダくんはヤマダくんより上位
となるよね
比較対象に同じモノを選んだらこうなる。
矛盾でもなんでもなかった。

48 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 12:11

＞ヤマダくんはヤマダくんより上位
矛盾してるだろ（ｗ

49 ：47：01/10/22 12:19

>>48
45は、つまりそういうことだと言いたかったのだが

50 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 12:27

つまり、

任意の生徒より上位の生徒などいない

同様に、

任意の数より大きい数など存在しない

51 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 12:42

人間には無限大という数を選ぶことはできないのだよ。

52 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 13:27

>>47は電波

53 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 13:49

>>48
任意の数「以上」にしとけ

∞≦∞

54 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 13:55

無限小や無限大が「数」でないからこその、ε-δ や n -εなのでは。

55 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 15:01

数学では無限は扱ってないよ

56 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 15:13

扱えないの？

57 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 15:39

↑
そう、今のところ、多くの人は扱ってない

無限とか０÷０とか
古代インドでは扱ったらしいけどね

だいたい、この世の中に無限のもの
大きさとか、数とか
そんなものないでしょう

無限は今のところ人の心の中にだけある

58 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 15:41

それで
無限が扱えないから
εーδ論法 で
無限を消してしまう（←表現がおかしいかも）

59 ：１３２人目の素数さん：01/10/22 16:01

>>57
ふ〜ん。

60 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 08:40

47>>
「任意の生徒より上位」の話だけど，生徒とその順番は
最大と最小があるから例として相応しくないのでは．．．

54>>
そうっすね．∞は数として考えないのかも．たとえば，
「記号∞を導入してすべての実数xに対して ∞ > x と
規約する．∞を無限大と呼ぶ．」
とか，
「実数の集合Aが上に有界でないとき，sup A = ∞ と形
式的に表す．」
なんて言い回しを数学辞典が使ってた．

55>>
いや，扱ってるような気がする．．．．．．．
この世の中に，数等が無限なものは本当にないのかなぁ．
水素原子のスペクトルの数は，理論上無限だけど，
現実系ではどうかな？

61 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 10:25

εーδ論法
ペテンだっつーの

62 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 10:30

ε-δ論法なしで各点収束や一様収束を区別するにはどうしたらいいんだろ？

63 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 11:52

うーん，そもそも数列の収束からして，ε-δ論法で定義
されてるからなぁ．ε-δ論法に根拠を置かない概念しか
使わないと収束の概念も使えないかも．

61>>
なんで？

64 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 12:16

>水素原子のスペクトルの数は，理論上無限だけど，現実系ではどうかな？

今この瞬間にある水素の数は有限だから、
その瞬間にあったスペクトルはある特定の組合せ（有限）になるかと。
無限にあるのは、あくまで起こりうる可能性のあるスペクトル、だから
やっぱり、可能性＝理論上、ってことなのかな。

65 ：１３２人目の素数さん：01/10/23 15:02

そうかぁ．やっぱ数等が無限なものはこの世にないのかな．
あくまでも「無限大」は形式的なものだからなぁ．

>無限は今のところ人の心の中にだけある
やっぱここら辺に落ち着くのでしょうか．

66 ：おお！：01/10/23 15:43

人間の心て無限大なんだ。

67 ：55とか５７あたり書いた人：01/10/23 15:45

＞65

俺は理論物理専攻だけど
今のところ、それらしいものはないなあ

一見、無限っぽくても
あくまで、無限として取り扱ってるだけだったりして

数学の数の定義なんてこと研究している人とかで
これは無限だぜっていうものとか何かないの

っていうか、ないからε、δ論法なんて考え出したのか

無限があるか、ないかを考えると
そもそも数とは何かを考えないと、いけないけど
数って何なんだろう
２個のリンゴっていうものは存在するけど
まったく同じ２個のリンゴっていうものは存在しないから
そうやって、いじわるに見ると
２個のリンゴも２個ではなくなる

この辺の数の定義については
俺はよくわからねえ
誰か詳しい人いたら、いい本とか教えてよ

68 ：ω：01/10/24 00:53

>>67
現役の学生では有りませんが、
・同次座標の元では、無限大が具体的に表せる。
・無限小解析でも幾らでも無限大を含んでいる。
・他にもあったと思う。
と言うのは違いますか？

・無限は心の中にある
もっと言うと
・無限は色んな方法で有限個の記号で定義されている。
　定義は時間も空間も無関係に存在する。
と考えると、無限が存在する（少なくても色々な定義が有る）
と思っても問題ないと思います。

69 ：数学専攻：01/10/24 05:55

>>67
例えば目の前にあるりんごを数える場合はリンゴという類と目の前にある
ものとの共通部分の濃度（個数）を数えるということ。
数えるというのはその類に含まれる元（この場合リンゴ）から自然数への
全単射をあたえるということ。
あと、無限なんかいくらでもある。人間が有限回の操作しか出来ないという
に過ぎない。無限は存在するが論理によって初めて把握できる。
つまり、無限はないということこそ人間の心の中（というか意識）のお話。

70 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 06:07

>>69
実際に無限が存在するとのことですが、
すると例えば選択公理がこの世界で成り立つ/成り立たないが言えることになると思うのです。
ではなにかそれを実証するような実験など思いつくでしょうか？

71 ：数学専攻：01/10/24 06:20

＞＞70
選択公理と無限集合の存在公理は別物。
実験という考え方自体が人間的だとは思いますが、
例えばある10×10の紙の上に指先を置くことを考えると
その指先の位置はいくらでも好きなだけ選ぶことが出来る。
まあ、全く同じ位置に置くこと自体が限りなく不可能ですが。
これが無限の身近な存在証明だと思います。
その言い方だと実際に人間が無限個数えられない限りは
無限は存在しないことになります。
あと、言い忘れましたが無限同士にも（濃度としての）大小関係は
あります。

72 ：数学専攻：01/10/24 06:30

>>70
全角にしてしまいました。すみません。

73 ：数学専攻：01/10/24 06:41

う〜ん、今更ながら気付いたのですが
皆さんが言われている無限の存在というのは選択公理のように一度に
取り出せるような無限の存在のことを言っているのかな？
だとしたら実際には存在しないという意見も一理ありますね。
＃連続登校申し訳ない。もう寝ます・・・

74 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 07:46

今から寝るのか（ｗ

75 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 07:54

盲点があるぜ。
この世の事象を数や文字で捉えようとするから
無限を考えなくちゃならなくなる。
この世を記号で表そうとすると無限という概念が必要となる。
数は、正体不明の、ただあるだけなのかもわからない
この世の中を切り出してくるもの。
数を観念したときから無限は不可避なのだ。
まさに無間地獄。

76 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 09:03

>>75
＞数を観念したときから無限は不可避なのだ。
なるほどなあ。
自然数全体の集合の要素の個数はと聞かれれば，少なくとも有限ではないのでないかなあ。
それに，現実の世界に無限があるかどうかという疑問は考えても結論が出ない気もする
なあ。水素のスペクトルがどうだとかいっても，量子力学で考えた水素原子のモデルが
本当の水素原子を１００％間違いなく表しているかどうかなんて，わかることではない
と思うし。
そんなこと言いだしたら，そもそも，この宇宙空間を何次元（最近は26次元なんです
か？）かの多様体で表すというのは本当に正しいとしていいの？何が言いたいかという
と，それが正しいなら，座標軸を１つとっても座標そのものは無限にあるのでないの？
（［０，１］区間に点が無限にあるという意味でです。）もちろん，素粒子が取りうる
座標の値は量子化されて有限個に制限される事はあるとしても，位置そのものは無限に
あるのでないの？
まあ，わしも物理詳しくないからよくわかなんないけど。

77 ：物理専攻：01/10/24 12:00

>>68
＞・同次座標の元では、無限大が具体的に表せる。

これは数字は無限まで数えられるかどうか
っていう問題から出てくるものだと思うけど

数は無限に数えられそうだけど
数えられる人はどこにもいない
頭の中でずーっと先まで数が続くことをイメージは出来るけど・・・
この頭のなかで先はこうなるだろうと思うことが微妙

＞・無限小解析でも幾らでも無限大を含んでいる。

こう言った問題も結局は
関数のとる値が無限まであるかどうか
例えばＹ＝ａＸだったらＸを無限まで数えられるかどうか
という問題に帰着すると思うんだけど

論理の中で頭のなかで考える分には
無限なんていくらでも出てくる
でも、実際にあるかどうかはわからない
ある座標上に無限があることは論理の上では確かなんだけど
それはどこか指定することはできない

78 ：物理専攻：01/10/24 12:21

>>69

確かにそうなんだけど
僕が問題にしているのは
数を数える上で一対一の対応を行うとき

対応させる物をどういった基準で選ぶんだろうっていうこと

いくつかのリンゴを数えるときに
頭の中でなんとなく考えているリンゴというものにあたるものを
選んで一つ、一つ数字に対応させて考えるんだけど
リンゴというものが人間の概念の一つにすぎないため
対応している関係が非常にあいまいな上に成り立っている
ような気がする

こう考えると例えば１０個なんて
明らかに数えられるような数もあるのかないのか微妙

目の前にある１０個のリンゴを
まったく同じものである、リンゴという物だとみなして
１０個と数えればまったく問題ないけど

ここでみなすという行為はある数列が無限まで続くと
考えることと
人間の判断の上で成り立っているということと同じ事だと思う

79 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 12:37

この論法って、オーギュスト・コーシーが考え始めたのが、
最初でしたっけ？。
いかにも意地悪なオジサンが思いついたっていう感じ。

80 ：物理専攻：01/10/24 12:44

上に書いたことは
数学専攻さんが>>71に書いてあることと
同じことだから
無限の存在とは別物かも

無限が問題なのは
数学という閉じた論理体系の中で考えた場合でも
その存在があいまいな点だと思う

だから、無限という数は数学では直接、扱わずに
極限値なんて考え方を導入して
ある数が無限まで大きくなると
結果として、この関数はこの数字に近づくだとか
無限を間接的に取り扱っている

81 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 12:53

>>78
わしがあほなので，よく分からないけど

＞目の前にある１０個のリンゴを
＞まったく同じものである、リンゴという物だとみなして
＞１０個と数えればまったく問題ないけど

10個のリンゴと思うのをやめて，10個の物あるいは10個の果物と思って見ても
まだ何か引っかかる物がありますか。それともこういう問いかけはトンチンカン？

82 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 12:56

でも１０なる数さえもその存在を疑い出したら，後は”存在”に関する公理を決めて
とりあえず議論を終わるしかないような気がするなあ。公理論的集合論みたいに。

83 ：がろいす：01/10/24 13:10

εーδ論法って、今は大学でも使わないそうですね、って大学教授に伺いましたけど、ホント？
それから、εーδ論法自体を教えている國も、日本以外ではあまり無いそうです。
ただ、今ソースが手元に無いので、断言はできませんが...。
諸外国はどうやって教えてるのかな？

84 ：物理専攻：01/10/24 14:55

>>78
目の前にある１０のリンゴが
まったく同じであるというのは
そのリンゴの構造が素粒子レベル
もしくは、それ以下の物質を構成する基本単位から同じということです
もちろん、そのリンゴの観測者からの位置もまったく同じ位置

もし、そうでなければ
何らかの基準を定めてリンゴをリンゴだと定義しなくてはいけない
普通はリンゴはリンゴだと
赤ちゃんのころから育っていくなかで
なんとなく、リンゴはリンゴなんだと思うけど
見方を変えればリンゴがリンゴではなくなる

例えば、目の前にある１０個のリンゴに対して
リンゴは質量１００グラムまでのものと定義する
９個は１００グラムで、のこり一個は１０１グラムの場合
リンゴ９個に、リンゴ以外のもの一個となってしまう

このことを説明するのにリンゴはちょっとわかりにくいかも


わかりやすい例だと
２匹のブリと３匹のかんぱち、５匹のひらまさ
なんてものが混じってたら
どう数えるのが正しいかという問題なんかいいかも

85 ：８１：01/10/24 15:06

>>84
＞目の前にある１０のリンゴが
＞まったく同じであるというのは
＞そのリンゴの構造が素粒子レベル
＞もしくは、それ以下の物質を構成する基本単位から同じということです

そのつもりで言ってるんだろうなとはちゃんと思ってましたよ。

＞もちろん、そのリンゴの観測者からの位置もまったく同じ位置

さすがにそこまでは考えていなかった。すべての素粒子の位置ベクトルが，
定ベクトルだけ違うのは許すのだと思ってた。

でも，それが，数えるという行為にどう影響するかという気持ちのところ
がわからないんだなあ。

86 ：物理専攻：01/10/24 15:18

>>82

結局は疑いをどこで止めるのかという問題になってしまうんだろうか

とりあえず
ニュートン力学や相対論の範囲では
無限の定義なんてどうでもいいけど

量子力学の範囲では
かなりあやうい

>>83

俺は理学部の理論物理専攻だが
学部生の間には
必修の課目の中でεーδ論法なんて出てこなかった

でも、微分や積分を勉強していると
名前だけは出てくるような気がする

無限に関しては誰もが疑問に思うけど
ほうっておいても、さしあたって問題はないので
深くはつっこまないんじゃないかな

円周率を３とみなしても問題がないのと同じような感じで

でも、大学生なら自分の研究テーマきめて
必要だったらεーδ論法だろうが、ルベーグ積分だろうが
自分で調べて、身に付けろと言いたい、俺は

87 ：物理専攻：01/10/24 15:36

>>85

確かに数えるという行為自体には影響はない

でも対象の定義の方法で
数えた行為の結果が変わってきてる

これが数えるという行為に影響を及ぼしていると
みなそうと思えばみなせると思う

この問題は最終的には
数学専攻さんが>>71で言ってることに行きつく
と思う

88 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 15:37

ε−δ論法を使わないとしたら，例えば
数列a(n)の（n→∞の）極限がαとするとき，
b(n)=(a(1)+・・・+a(n))/n
で定義される数列b(n)の極限はどうやって厳密に計算するのかな。

89 ：８８：01/10/24 15:49

要するに，ε−δ論法以外の定式化を具体的に知りたいってこと
何だけど。（できれば超準的方法以外）

90 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 16:06

limの計算の公式を公理にしちゃう？

91 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 16:53

εーδやるならよその講座いっとくれ
とうちの教授はおっしゃる。

92 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 16:58

>>89
まずいことが一見起こりそうにないε-δ論法でも、それがペテンじゃないとは言い切れないんじゃない? たとえ厳密に定式化できたとしても。

93 ：92：01/10/24 17:03

そりゃ86の物理専攻さんがいってるようにどこかで疑いをとめなきゃいけないとは思うけどね。

94 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 17:17

エポケですな。

95 ：>>91：01/10/24 17:17

εーδやらないならよその講座いっとくれ
とうちの教授はおっしゃる。
ならよかったのに

96 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 17:26

ε−δなんて解析概論の第一章くらいでじゅうぶんでしょ。
それともまだ議論をしないといけないのか。
そこから新しいものは生み出せる？

97 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 17:29

あーーもう　宗教ってことにしといたら
1は満足するかも

98 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 17:38

少なくとも無限とは何かという問いに対してはε-δは無力。

99 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 17:45

とは何か　ってなんかの宗教?

100 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 18:08

60での辞書の引用が無限とは何か？の答えだけど，
何かを形式的に導入することを認めるかどうか？ってのが問題じゃないかなぁ．
僕は無限を形式的に導入してもいいと思うなぁ．議論がその概念のなかで閉じ
ていれば．
ε-δや形式的な導入に皆さん賛成っすか？
僕は賛成だなぁ．ユークリッドとかに戻ると何かを生産するのが厳しいなぁ．

>>88
ε−δ論法を使わないとしたら，
数列a(n)の（n→∞の）極限をαと出来ないのでは．．．．．

>>90
limの計算の公式一群が任意の数より多いことが証明されたりして．．．．．．

101 ：８８：01/10/24 20:14

＞ε−δ論法を使わないとしたら，
＞数列a(n)の（n→∞の）極限をαと出来ないのでは．．．．．
っていうか、数列a(n)の（n→∞の）極限がαであるという仮定から
数列b(n)の極限がどのように結論できるかと言う問いかけです。

102 ：１３２人目の素数さん：01/10/24 20:18

http://www.sex-jp.net/dh/01/

103 ：　：01/10/25 17:54

ε-δに躓くのは「∀：任意の」とか「∃：存在する」とか，
述語論理の段階であやふやな場合がおおい。
述語論理をしっかり時間をかけて扱うと
状況は改善するかもしれない。
「一様収束」なども「∃」の置かれる位置のちがいだ
とかの形式的な側面から把握するのも有力だ。

104 ：１３２人目の素数さん：01/10/25 17:59

http://www.f2.dion.ne.jp/~impact14/

105 ：１３２人目の素数さん：01/10/27 01:07

イプシロン-デルタ論法、よくわかる本ある？

106 ：132人目の素数さん：01/10/27 02:01

普通の本でよくわかります。
本以上に大事なのが自分で考えることです。

107 ：１３２人目の素数さん：01/10/27 04:57

分かりやすい説明。

２人で小さい正の数を言った方が勝ちのゲームがあるとする。
例えば、先手が「１０」、後手が「７」と言ったら後手の勝ち。
これは先手後手どちらが有利か？

答えはもちろん「後手」。何故なら、いくらでも０に近い数字を
考えることができる。
先手が「0.0000000001」といっても後手が「0.00000000001」といってしまえば
後手の勝ち。

つまり、どんな数をとってもそれより近い数字を考えることができる。
これが連続の定義。

108 ：107：01/10/27 05:00

つまり、上がε−δ論法な訳です。

もし、正の整数を考えたらそうはいきません。
先手が「１」と言ってしまったら後手はもう「２以上の数」を
言うしかありません。
明らかに「先手」有利になるのです。

これが連続と離散の違いということになります。

多少正確さを欠いてしまったかもしれませんが、いかがでしたか？

109 ：１３２人目の素数さん：01/10/27 18:32

>>107-108
目から鱗が落ちた。分かりやすいなぁ。
勉強になったよ。

110 ：１３２人目の素数さん：01/10/28 01:06

>>109
同意。正確性を欠いているが初心者には理解しやすいな。

111 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 14:26

>>107-108
"コンパクト"迄は有効か。
まあ、贅沢は言うまい。

112 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 15:18

>>107-108
（・∀・）ｲｲ!
授業で使わせてもらうよ。

113 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 15:56

>>112

「０からはじめる微分積分」
っていう本を買えば

114 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:01

っていうか
１０７は
ただの他人の受け売りなのに
それを、さも自分の手柄のように書き込んでるんで
むかつく

115 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:12

文句だけは一人前！

116 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:15

>>107は>>112の本に書いてあることなの？

117 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:16

>>114はそれすらできないから負け。

118 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:21

>>114
カルダノには敵わん。
結局初めに発表した奴の勝ち。お前は敗け。

119 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:22

>>107-118
それって，実数の完備性の話？だったら，的外れじゃないかなあ
それじゃあ有理数も連続になっちゃうよ。
それとも，実数上の関数の連続性の話？だとしたら，関数が見えないなあ

以上　素朴な疑問

120 ：１１９：01/10/29 16:23

あ，いんようミス
>>107-108
でした

121 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:25

有理数でもカマワンだろ
えぷしろんデルタ論法と
実数の連続性は関係ない

122 ：１１９：01/10/29 16:25

あ，連続の話じゃなくて，ε−δ論法の話だと思えば
なんとなく．．．

123 ：１１９：01/10/29 16:27

>>121
そだね

124 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:32

>>107は「∀ε∃δ」の説明です。
それで何が解るのか知らんが（ｗ

125 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 16:38

>>107には
＞これが連続の定義。
と書いてあるが・・・

126 ：１３２人目の素数さん：01/10/29 17:03

>>107-108には「正確性を欠く」って書いてあるじゃないか・・・
お前ら子供っぽいな。
まるで鬼の首を取ったように喜んで・・・（ｗ

127 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 00:29

良スレにつき、age

128 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 17:19

デデキントの連続性公理にε−δ論法を使ってるから，
実数の連続性とε−δ論法はあながち関係なくもないYO!

129 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 17:24

＞＞128
どこね？
上限の存在に使うか？
エプシロンいらんやろ．
そんなんまでエプシロンでるた
なるっての拡大解釈しすぎ

130 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 18:41

拡大解釈しすぎかなぁ．

「任意の実数はある有理数の集合の上限で表すことが出来る」
この実数の性質は，ε−δ論法を用いている，とはいえないのかななぁ．

でも，
「実数は有利数列の極限で表すことが出来る」
これはε−δ論法つかってる，と言えるんじゃないかな．

Cantorの実数論がCauchy数列を用いてるから，
これもε−δ論法がなきゃいけないんじゃないかな．

実数の完備性の説明も，Cauchy数列の極限を扱
うんじゃないかな．

Dedekindの連続性の公理では，
任意の切断に対して実数xガ存在して〜
なんて感じで議論が進むんじゃなかったっけ．

「任意の何かに対して，ある何かがぞんざいし〜」っていう
論法がε−δ論法で，数列の極限という概念はε−δ論法に基礎
をおいている，という考えはいけない？

131 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 18:48

>>130
実数の性質全体じゃなくて
連続性公理っていったでしょ，あなた．
それは，上に有界な実数の集合には上限，すなわち
最小上界，がある，ってことでしょ．
最小上界の定義にはエプシロンいらないでしょ．
もちろん，そこからすすんで極限を定義するなら
エプシロンでるた使うんだろうけど，
それは有理数だけで，極限を定義する場合でも
おなじでしょ．

132 ：１３２人目の素数さん：01/10/30 18:59

>>131
レスはや！むむむ，2チャン見てると仕事に手がつかない．．．．
まぁいっかぁ．面白いし．

> 実数の性質全体じゃなくて
> 連続性公理っていったでしょ，あなた．
失礼．デデキントの連続性公理に議論を絞ります．

確かに，最小上界があるってことなんだけど，あくまでも，
任意の分割に対してある，ってことが重要なんじゃないかな．
この，「任意の分割に対してxが存在する」って議論がエプシ
ロンでないって言うなら，まぁそうだけど．．．．．．

133 ：>>132：01/10/30 19:02

分割??

134 ：132：01/10/31 01:54

おおっと．
分割でなくて切断(cut)でしたぁ．

135 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 03:36

だれかデデキントの切断の意味を教えてくれ・・・

できれば、「上に有界」とかそういう概念もお願いします。

136 ：８８：01/10/31 17:00

結局ε−δ論法以外に極限の概念を厳密（？）に扱う方法は，超準解析ぐらいしか
ないのでしょうか。

137 ：4：01/10/31 17:09

>>136
当然でしょ。論理性を追求した結果が今の数学なのだから。別ないい方をすると
動きとか時間の変位といったものは数学でいう論理性の枠に入らないってこと
でしょう。

138 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 17:17

>>137
4=1だが・・・
ネタ？

139 ：137：01/10/31 17:18

>>136
間違えて、名前に　4　が入ってしまいました。まぎらわしくなって失礼しました。

140 ：数学専攻：01/10/31 17:22

順序体Kの切断：A∪B＝K、A∩B=φ、（ａ∈A、ｂ∈B）⇒ａ＜ｂ
となるような順序対＜A,B＞
デデキントの公理：Kの切断＜A,B＞を考えるとmaxＡとminＢの
どちらか一方だけが必ず存在する。
A⊂Rが上に有界：任意のｘ∈Aに対してある正数Mが存在して|x|＜M

ε-δを用いない極限：ｘを含む開集合をｘの近傍という。
列｛a_n｝を考える。任意のｘの近傍Vに対しあるｎ∈Nが存在して
a_n∈Vのときa_n→ｘ
ε-δを用いない連続関数：ｆの定義域をD,値域をｆ(D)とする。
このとき任意の開集合V⊂ｆ(D)に対してｆ＾(-1)(V)がDの開集合
であるときfを連続関数という。

141 ：数学専攻：01/10/31 17:23

>>140
>デデキントの公理：Kの切断＜A,B＞を考えるとmaxＡとminＢの
>どちらか一方だけが必ず存在する。
こっちはKじゃなくて実数体Rです。

142 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 17:36

>137
開集合とかフィルターとかって知ってる？

143 ：数学専攻：01/10/31 17:39

うわ、更に間違えてる。
>A⊂Rが上に有界：任意のｘ∈Aに対してある正数Mが存在して|x|＜M
ここで絶対値記号||はいらないです。これが付いた場合は単に有界といいます。
また、上に有界は次のようにもいえます。
「C⊂Rが上に有界：あるRの切断＜A,B＞が存在してC⊂A」
連続ですみません。

144 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 19:50

>>143
な、なるほど。
もっと平たく言うとどうなります？

145 ：137：01/10/31 20:13

>>142
説明の仕方が悪かったのかも知れません。誤解がないためにいいます。フィルター
の内離散集合上の可算完備な極大フィルターが主フィルターでない場合、この集合
の基数はとても大きくなり、最小の可測基数よりおおきくなります。これは Ulam
により研究されたことで今でも研究がつづいています。これはわからないで書いて
いるわけではないというために書きました。
今べつな説明もつづいているようですが論理的で一番簡明なのがエプシロン−デル
タ論法なので、まあ他にいうことがないという意味で137に書きました。確か前の
ほうで述語論理にふれている記事があったと思います。開集合とかフィルターとい
う概念をどうやって正確に定義できると思いますか？難しい概念を使ってより易し
いことを導くのが受験数学のテクニックで、大学院にきてもそれをやろうとしてい
る人が多いのです。

146 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 20:43

＞ 開集合とかフィルターとい
＞ う概念をどうやって正確に定義できると思いますか？

　集合の集合が定義できてればいいだけとちゃう？
　公理的集合論は、「集合の集合」という概念を自己回帰的にでき
るようにしてるから、高利的集合論でフィルターなんか使うと「濃
度がとてつもなく大きく」なって「大げさ」なような気がするけど、
そもそも「集合」という概念は「１変項命題」を「モノ」に置き換
えて、本来なら２階術語論理を使わなきゃならないはずの議論を１
階術語論理の範疇で書き直すための方便に過ぎないわけだから、そ
んなに気にすることでもないと思う。

147 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 20:50

読みにくいから適度に改行を入れてよ・・・・

148 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 20:54

　要するに、Ｒ上のフィルターを考えるということは、「実数に関する任
意の命題 Ｐ,Ｑ が性質 Ｘ を持っているなら、命題 Ｐ∧Ｑ も Ｘ とい
う性質を持つ」ということをモノ化した表現に書き換えただけのこと。

149 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 20:56

>>146
あなたの書いていることはちっともおかしくないですが、その中に「任意の
何かに対して、何々が存在して」ってのがあるでしょう。フィルターの定義
でも。だからエプシロン−デルタ論法のより易しくはないでしょうといって
いるのです。（実数の集合あるいはそのまた集合を使うともっと複雑な概念
が定義されるという理論もありますがそのようなことをいわなくても理解し
ていただけると思って書いています。）もともと、一番簡単な方法を使うな
という制約がおかしいのだと思いますが、タイミングよく136の発言があった
ので137を書いたのです。

150 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 21:04

フィルターを使うメリットは、「任意の何かに対して、何々が存在して」
という議論をすべてフィルターの定義の中に封じ込めてしまって、あと
の議論は包含関係などの純粋な代数演算で済むようになることでしょう。
例えば近傍フィルターを使った関数の連続性の定義とか、超フィルター
を使ったコンパクト性の定義とか、チコノフの定理の超フィルターを使
った証明なんか、もろにそうですね。ブルバキ流の位相の解説はそこに
特徴があると思います。

151 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 21:33

150 の方の書かれたことをもっと押し進めたのが 136に触れられている超準解析
で、まあどれで扱うのもわかれば、同じようなものだと思います。ただエプシロン−
デルタ論法がわからなくてわかる数学ってのはなんなんでしょうか？って気がし
ます。エプシロン−デルタ論法がわからない数学者がいるのなら、私のいっている
ことがおかしいのだと思いますが。

152 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 21:38

自作自演の予感…

153 ：132人目の素数さん：01/10/31 22:34

つーかこれ研究者レベルだね。

154 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 22:39

厨房には難しすぎるよ・・・
これ書いてる奴は理解して書いてるのか？？？

155 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 22:50

>153
森毅の入門書に>>150とおんなじようなことが解説されてたよ。

156 ：１５３でなし：01/10/31 23:15

>>155
「位相のこころ」ですか？
まあ専門書ではないが、なんか入門しづらいなあ（＾＾；

157 ：１３２人目の素数さん：01/10/31 23:32

フィルターって何？
ろ紙のこと？

158 ：１３２人目の素数さん：01/11/01 00:24

イデアルの双対みたいですね。
イデアル
1)0∈I 2)i,j∈I⇒i+j∈I 3)i∈I,a∈A⇒ia∈I
フィルター
1)1∈F 2)f,g∈F⇒fg∈F 3)f∈F,a∈A⇒f+a∈F
違ってたら教えて。
素フィルターとか、その位相空間とかあるのかな？

159 ：１３２人目の素数さん：01/11/01 01:33

> エプシロン−デルタ論法がわからなくてわかる数学
ユークリッドは？
有限な空間内での作図でひたすら頑張る！

......やっぱこんなのダメだよね．

僕もフィルター，超準解析はエプシロンデルタよりムズイ！
に一票．宇宙って何ですか?!って感じです．態度でかすぎ．
でも，かなり強力な方法らしいですねぇ．

160 ：１３２人目の素数さん：01/11/01 03:01

ε-δでないといえば、
ギリシャ数学の「とり尽くし法」なんかはどうですか？
面積を求めるのにしか使えないのかな。

161 ：>>160：01/11/01 16:14

エプシロン・デルタと
取り尽くし法に本質的な差はないと思うが

162 ：１３２人目の素数さん：01/11/01 16:33

>>158
集合の ∪,∩ をそれぞれ代数の ・,＋ に置き換えれば、フィルターと
イデアルは全く同じモノですね。だからこそ超フィルターの存在定理と
極大イデアルの存在定理が全く同じ論法で証明できる。

163 ：蛇足ながら：01/11/01 16:49

>>162
実は「同じ論法」というより，ブール環にうつれば
極大イデアルの存在定理は
超フィルターの存在定理を特殊な場合として
含む．ついでにストーンの表現定理もそれから
すらすら出る．

164 ：１３２人目の素数さん：01/11/04 19:49

age

165 ：１３２人目の素数さん：01/11/05 01:44

CauchyからWeierstraβに至るε-δ論法の完成によって、
微積分における無限小・無限大などのあやふやな概念は
追放されたかに思われました.

1900年にPoincareも「数学はついに算術化された。
今日絶対的な厳密性が達成されたと言ってよかろう」と講演しています.
ところが、

数列{a_n}_nとは直積集合N×Rの部分集合Aであって、
(n,x)∈Aかつ(n,y)∈Aならばx＝yという条件を満たすもののことである.

このように数列などの基本概念には、
自然数の全体や実数体という無限そのものが関係しています.

このことについてHilbertは
「Weierstraβの鋭い批判の眼を掻い潜り、
無限はなおこの様に彼の理論の中に姿をくらまして残されていた訳で、
実無限に関する問題こそ我々の究明を要する最後の問題である」と述べています.

ここにはRusselによる集合論のパラドックスの発見やBrowerによる集合論への反対運動（
とりわけ排中律と選択公理が攻撃の的でした）がありました.
実際、フィルターを使って説明しても、
選択公理と同等のZornの補題を使う訳で同じ議論が展開されます.

これ以上の話は私には説明できませんが、ε-δ論法にはこんな話もあります.
せっかくですので書いておきました.

166 ：火星人：01/11/05 02:07

公理（定義）を避けたいのなら具体的なコンピュータで考えますか？
1+2+...+n = n(n+1)/2 = f(n)
は
f(int n){
assert(n>=0);
int ret=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ret+=i;
return ret;
}

同様に積分は、
for(;;){略}
どうやって値を返すのか？

ここで湧き上がる問題：
・アルゴリズムは、グラフと論理で表現できるがその意味は？
・計算にはエネルギーが必ず必要だが、その意味は？
・1+2+...+n = n(n+1)/2 = f(n) の違いはなに？
私には、これが数学と物理学を結びつけるヒントに思えます。

167 ：１３２人目の素数さん：01/11/05 04:03

>>166はチャイティンの本の受け売り（ぷ

168 ：１３２人目の素数さん：01/11/05 04:09

実証の模倣が主なんだから当たり前じゃん

169 ：１３２人目の素数さん：01/11/05 04:40

>>168
受け売りのくせに
＞私には、これが数学と物理学を結びつけるヒントに思えます。
さも自分の考えのような書き方してるのがみっともないんだよ（ｗ

170 ：168：01/11/05 04:46

っていうか因果を超えた思考なんて理解不可能だし

171 ：168：01/11/05 04:48

火星人がみっともないって？
そりゃ火星人じゃしょうがないじゃん

172 ：168：01/11/05 04:54

異形のモノへの嫌悪
本能ですかね？習慣ですかね？

173 ：１３２人目の素数さん：01/11/05 09:33

>>165
もう少し詳しく知りたいので引用されたものの出典をお教えいただけない
でしょうか？

174 ：１３２人目の素数さん：01/11/08 12:46

遅ツッコミ:
>具体的なコンピュータで
ってどれ？

175 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 03:27

>>165
でもε-δ論法は，自然数，実数の無限，連続性，または集合論と
全然関係ない気がするのだけど．．．．．．．

間違ってるかも知らん．指摘求む

176 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 13:19

>>175
わたしも上でそう主張したことがあったが
どうもそう思わない人も多いみたい．
なんでもかんでもごっちゃにするんだよ．

177 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 16:50

ε-δ論法って関数の連続性を記述するための方法じゃないの？

178 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 16:56

連続とか収束の定式化を不等式を用いたというだけ
のことだよ．
しかし，実数の連続性とかには関係ないという意味だと
解して176を書いたんだが．

179 ：175：01/11/09 17:15

そうだよね．どうしてごっちゃにするのか，反論を聞きたいよ．
連続性の説明にはε-δ論法は必要だけど，ε-δ論法の説明には連
続性は必要ないと思うわけよ．だって，
「任意の数ε」
「それに対してδが存在する」
「ε，δと他の数との大小関係の比較」
どれに対しても実数の連続性は必要ないよねぇ．

180 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 17:18

＞連続性の説明にはε-δ論法は必要だけど
なら「全然関係ない」ってことはないな（ｗ

181 ：178：01/11/09 17:21

ちがうちがう，言葉がおなじだから
紛らわしいが，
関数の連続性と
実数の連続性
の区別．当然関数の連続性の定式化には
つかうわけだが．

182 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 17:24

　　　　. ／￣￣￣|
　　　　| ／￣￣￣|　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　| 6　´ ⊇・｀|　　　　 ＜ まぁ落ち着けよ。
　　　　| ＿＿＿＿|　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
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183 ：>182：01/11/09 17:29

きみもな．　ちょっと髪がみだれてるよ．

184 ：１３２人目の素数さん：01/11/09 17:54

>>181そうだね
「実数の連続性」という言葉は伝統的に使われてるけど
今の用語なら 「実数の完備性」という方がむしろ正しい

185 ：179：01/11/09 18:05

>>180
あ，そっか．

>>181
実数の連続性の説明の方にはε-δ論法は使わない，ってこと？
信じられないです．

>>184
むしろ正しいってどういうこと？
実数の連続性と，実数の完備性の意味が同じってこと？！

186 ：>>185：01/11/09 18:09

ずっと上の方121あたりで
すでにそういう話やってんのよ．
また繰り返すことになる．

187 ：185：01/11/09 18:14

>>186
そだね．繰り返してますね．

188 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 13:28

「∀ε∃δ」
「任意のεに対してあるδが存在する」
がε−δ論法で，ε−δ論法は数列の概念に極限を与える.
けれども、数列の概念が実無限をもっている訳だから
ε−δ論法を使っても実無限が紛れ込む論点が変ったに過ぎないわけ.

数列を使わないならば、
ε−δ論法は、基礎論が問題にしているような実無限とは無縁ですが…
ということでしょ？

数列を使ってこそε−δ論法は便利な道具になるんだから
基礎論が問題にしているような実無限が重大な問題なんだという
ヒルベルトの指摘は正しいよ.

189 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 14:28

「実無限」は数学の用語ですか？

190 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 19:47

>>189
あたりめえだろ！
常識ねえな.

191 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 19:59

>>190
哲学用語だろ！
常識ねぇな.

192 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:02

>>175
>>176
てめえらがまぬけだからりかいできねえんだよ
＞なんでもかんでもごっちゃにするんだよ
いっしょうそうおもってな

193 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:04

岩波数学辞典には載ってないな

194 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:05

>>191
数学用語だと思うＹＯ！

195 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:12

哲学者は有名な人でも驚くほどドキュソな発言をしてるから
気をつけたほうがいいぞ。

196 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:13

>>194
実無限と可能無限という言葉は無限に関する数学史をひもとくと現れます。しかし
193にいわれているように数学用語ではありません。もちろん数学用語であるか、
ないかは証明があるようなものではありませんから、あなたが数学用語だとガンバ
ルならばそうかもしれません。

197 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:14

>>194
哲学用語だ。何せ俺が知らないんだからな。

・・・と言えるくらい数学の知識が欲しいなぁ。

198 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:16

数学用語と主張するなら定義を言ってみろや。

199 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:18

>>193
>>196

数学用語
[定義]岩波数学辞典に載っている用語のこと.（ｗ

200 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:21

>>198
実無限が定義できてれば基礎論なんて必要ねえだろ.おまえバカ？

201 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:44

関数論でも実積分で「実無限積分」は出てくるよ.
実無限は定義がないけど使われるんだよね.
やっかいだなぁ.

202 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:49

>>201
その「実」は実数って意味でしょ。実積分の無限版という意味でしょ。

203 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:50

>>202
あ、気がつかれた（ｗ

204 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:53

>>203
いたずらして！わりぃやつだな。へへへ、、、。

205 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 20:54

歴史的には数学で先に出た用語で、
哲学ではそれを使ってるだけだから.
少なくとも哲学用語であって、数学用語ではないというのは
へんじゃないの？

206 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 21:00

>>205
数学者が使っていた用語であるのは確かだけれど、その内容は哲学であって
数学ではなかった。Brouwerの直観主義だって主張は哲学に属するもので、
べつに数学の定理を述べているわけではない。そのころ証明したものは、
形式化された直観主義数学の定理となっているが、それはそういうこと。

207 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 21:01

卵のほうが先じゃなかったっけ？

208 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 21:02

そりゃー、にわとりだろうが！

209 ：１３２人目の素数さん：01/11/10 21:09

>>189
こんなところでどうよ？（ｗ

210 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 00:53

実無限といえば、野矢茂樹(哲学者)だろ。

http://mentai.2ch.net/philo/kako/984/984395984.html
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/b0011.html#b19990525061418
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/keijiban/b0011.html#b19990525061418

211 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 01:05

この本の著者？

野矢茂樹『無限論の教室』 (講談社現代新書 1420)

212 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 01:12

>>206
＞数学ではなかった。
おまえ、頭、大丈夫か？（ｗ

213 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 08:44

>>212
その前の「哲学であって」を非難せず、「数学でなかった」を非難
するって
おまえ、頭、大丈夫か？へへへ、、、。

214 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 16:26

>>213
＞哲学であって数学ではなかった。
内容には反論できないから屁理屈で応戦なのかい？（ｗ
もう少し内容のあるからみキボヌ.退屈なのよねん.

215 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 17:56

「数学用語」でも「哲学用語」でもない。
「数学史用語」だね。

216 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 18:05

こんなことを哲学と称してるやつはアホだな
哲学とは自己を問うがくもんだよ

217 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 19:14

さっさと定義して下さい。

218 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 19:30

>>217
何を？
「数学用語」「実無限」？
どっちにしても激しく概出

219 ：１３２人目の素数さん：01/11/11 21:53

＞哲学とは自己を問うがくもんだよ

ぷぷぷぷぷ

220 ：１３２人目の素数さん：01/11/21 23:42

ε-δ論法は古いと言ってNonStandardAnalysisがいいとか言う奴は何割が厨房なのだろうか…

221 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 14:44

>>220
そういうひとにはツッコミ入れて反応を見る

222 ：狂犬製：01/11/23 16:42

結局理系学生のほとんどが躓いて理解を諦めるところだから
理解もせずに「どうせ使えない」なんて言うヤツが大勢いるんだろう。
数学科のヤツは当たり前で使えるんだろうけど。

223 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 17:17

要するに、無限大とか無限小(絶対値の)という、
直観的に理解できないものを、厳密に扱うための道具だ。
厳密に扱うのが数学科。

224 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 17:26

厳密という妄想に捕われるのが数学

225 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 18:14

実数の連続性なんて基本的には区間縮小法で終りだろ。
つまり、どんな実数も有理数の区間をどんどん縮小していったものである。
例えば√２は無理数だが、[1,2],[1.4,1.5],[1.41,1.42],…
という区間縮小列の極限である。

この理屈でいけば1=0.999…である。なぜなら
[0.9,1],[0.99,1],[0.999,1],…
はどれも１を含むし、0.999…も含む
極限は１つだから、両者は同じだ。

226 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 18:42

＞ 極限は１つだから

ここのところ、もっと説明してもらえますか？

227 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 19:42

点が２つあればその間の距離以上に狭い幅になれない。

228 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 19:51

RはHausdorff空間なんだから当たり前ダロ！

229 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 20:23

>>226
＞＞ 極限は１つだから
＞ここのところ、もっと説明してもらえますか？

気分として、区間が限りなく０に近づく状況で、
その中に２つ以上の点があるって、なんかヘンでしょ。

もちろん、別にヘンじゃないといわれると、
あ、そ、で終っちゃうけど（笑）

230 ：１３２人目の素数さん：01/11/23 20:24

>>229

もちろん、際限なくギャップを追求する立場もあるよ。
J.H.Conwayのsurreal numberなんてそうだね。

231 ：１３２人目の素数さん：01/12/14 13:55

agemasu

232 ：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：01/12/24 06:30

実数の各点事に、その接空間を考えてやった拡大された空間を
かんがえると、微積分が簡明になるんじゃなかった？

233 ：１３２人目の素数さん：01/12/24 06:52

>>232
そんなことわかる人はもともと微積分が簡明にわかってるんで、
ことのあとさきが逆じゃない？

234 ：１３２人目の素数さん：01/12/24 09:24

というか、「簡明化できた微積分」と「通常の微積分」との
関係を明らかにしないと意味ないでしょ。

235 ：　：02/01/28 03:25

イプシロン・デルタロンポー

236 ：１３２人目の素数さん：02/01/30 20:54

こんな論法全く解らないで３年まできてしまって全く今まで困った事なんて
ありませんが何か？

237 ：１３２人目の素数さん ：02/01/30 21:00

>>236
あんた数学科、またはこれと同等な学科？
大学どこよ？（イニシャルかどの地方かでもいいよ）

238 ：１３２人目の素数さん：02/01/30 21:29

>>236
それが困ったことなんだよ。
つまり、数学をわかろうとしないとこまらないんだよ。
そりゃそうだろう、数学わからないと生きていけなくちゃ
大変だ。

239 ：１３２人目の素数さん：02/01/31 16:51

>>236
そんな簡単なこと分からないって言っても
自慢にならんな。

あ、自慢じゃないのか。馬鹿であることを告白してるのか。

240 ：１３２人目の素数さん：02/02/01 02:34

εーδ論法がわからない人たちのほとんどは
そもそもεーδ論法がなぜ必要なのかがわかってないことが多い。

241 ：１３２人目の素数：02/02/01 02:51

εーδ論法が分らない・・・。
それは、「おまえはこれ以上数学を学んではいけない」という、
神さまからのありがた〜いお告げです。

このことが判っただけで儲けものです。そういう人間には数学は向き
ません。該当する人は、今すぐ数学なんてやめてしまいましょう。

242 ：１３２人目の素数さん：02/02/01 02:53

大丈夫，神なんかいなくても数学はできます。

243 ：１３２人目の素数さん：02/02/01 02:57

神に言われる前に、周りの人間から言われると思う。

244 ：１３２人目の素数さん：02/02/01 11:11

無限小を定義する方法には、少なくともε-δ論法と、＋∞と−∞の間を使う方法がある。
ε-δ論法が主流派になった歴史的な経緯は知らないのだけど、知ってる人は教えて下さい。

245 ：１３２人目の素数さん：02/02/01 11:34

> 無限小を定義する方法には、(中略) ＋∞と−∞の間を使う方法がある

どんな方法でしょう？できたらご教示くださるとさいわいです．

246 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 00:20

　ω＝Эﾟ ﾟ｡

247 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 16:44

>>236は多分留年していて、学部１年の微積の単位をテキトーに積分の計算して獲った。

248 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 21:34

>>246
http://www.google.com/search?q=%83%D6%81%81%84%5E%DF+%DF&hl=ja&lr=

ぜんぜんわかりません

249 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 21:37

(・ω・)ノ ごまちゃん

250 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 22:04

解析の基礎はε-δ論法で一応、確立されてますが、
別にこれがなくたって解析は築きあげることはできます。
というわけで、↓
＞このことが判っただけで儲けものです。そういう人間には数学は向き
＞ません。該当する人は、今すぐ数学なんてやめてしまいましょう。
は言いすぎだと思います。
たとえば無限小解析というものがあります。
ちょっとさわりだけを言うと、無限小数Δxなる新しい数を導入して、
無限に小さい数が実際にあると考える。
そこでst(standard)を「標準部分」をあらわし、
無限小でない部分を取る操作を表すとしよう。例えば、
st(3+Δx)＝3、st(πΔx)=0など。
これを用いて微分を次のように定義する：df/dx=st(Δf/Δx)
たとえばf=x^3とすると
st(3x^2+3xΔx+(Δx)^2)＝3x^2となるわけである。
あんま普及してないみたいな考えかたですけれど。

251 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 22:21

しかし、あの程度の論理的思考ができないのなら、数学の本を
まともには読めないのではなかろうか。（イプシロンーデルタ
を使うところ以外でも分らないところが続出しそう。）

252 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 22:23

ε-δ論法が理解出来ない奴に無限小解析が理解できるとは思えない

253 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 22:49

>>245
１／（∞）　−　１／（∞−１）　を計算して、適当に単位円に当てはめてみてちょ。
同じ形がアルティンのπ（なんちゃら）だかに出てくるのは面白いね。じゃ。

254 ：１３２人目の素数さん：02/02/02 23:02

変分法もε・δみたく厳密に理論展開できるのでしょうか？

255 ：１３２人目の素数さん：02/02/03 03:07

ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
ででで
・・・
きんと。

256 ：１３２人目の素数さん：02/02/03 03:27

x(1),x(2),x(3),...がaに収束するなら
y(n)={x(1)+x(2)+...+x(n)}/n という数列y(n)もaに収束する。
超準解析ではどういうふうに証明するんですか？

257 ：１３２人目の素数さん：02/02/03 05:16

証明の要で使うことはあるけど。
別に
ε→0 as n→0
みたいなのでも間に合うことは間に合う。

258 ：細かいとこは抜かすよ：02/02/04 15:16

>>256
まずある実数r＞0をとると、あらゆるν∈N^*に対して |x(ν)-b|≦r
無限大自然数λに対して
1/λ�納1≦ν≦λ] |x(ν)-b|が無限小である事を証明すればいい。
κ≦√λ≦κ+1なるκ∈N^*を取る。
x(n)→aよりε=max[κ+1≦ν≦λ] |x(ν)-b| ってのがあって、無限小だから
1/λ�納1≦ν≦λ] |x(ν)-b|
＝1/λ�納1≦ν≦κ] |x(ν)-b| + 1/λ�納κ+1≦ν≦λ] |x(ν)-b|
≦κr/λ + (λ-κ)ε/λ≦r/κ +ε≒0

259 ：258：02/02/04 15:18

こういうのをやるにはまずε-δ論法を知っておくべきじゃないかと自分は思うんだけどね…

260 ：１３２人目の素数さん：02/02/04 17:23

>>256
とくに簡単になることはないと思う。本にどう書いてあるかはしらないが
ある無限大のところで一度切ってという議論が必要だと思う。
このようなところは、極限操作が何度も繰り返されていないから超準解析
のよさが現われないところではないか？と思う。

261 ：１３２人目の素数さん：02/02/06 02:45

英語だと理解しやすいのか？

262 ：１３２人目の素数さん：02/03/01 02:40

某スレ対抗あげ

263 ：１３２人目の素数さん：02/03/01 03:03

>>261
数学は、英語のほうが圧倒的に解りやすい
日本語には、助詞があるので、「言葉の」順序を変えると、
意味が変わるという感覚を持っている人が少ない。
収束と一様収束の違いは、日常語話す英語で、伝えることが可能。

264 ：１３２人目の素数さん：02/03/30 01:14

265 ：１３２人目の素数さん：02/04/19 19:58

>>263
順序が変われば意味が変わる言葉で説明するほうが下手だと思う。

266 ：１３２人目の素数さん：02/04/19 20:11

例題。次の命題が真が偽かを述べなさい。
また、日本語に訳しなさい。

(1)For any integer N, there exists some integer A such that N+A=0
(2)Tere exists some integer A such that for any integer N, N+A=0

integerは整数

267 ：１３２人目の素数さん：02/04/19 21:41

タイプミス(2)Tere→Thereです。てか誰か答えてよ！

268 ：１３２人目の素数さん：02/04/21 22:56

>>266
(1)任意の整数Ｎに対して、Ｎ＋Ａ＝０を満たす、ある整数Ａが存在する.
これは真.整数環はその任意の元に対する逆元を持っている.
(2)
Tereがわかりません.（ｗ

269 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 21:40

>>268
>>267だってば。

270 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 22:32

>>269
うそうそ.わざとです.（ｗ

(2)ある整数Ａに対して、Ｎ＋Ａ＝０を満たす、任意の整数Ｎが存在する.
これは偽.Ａ＝１、Ｎ＝１のとき、Ｎ＋Ａ≠０.

271 ：>：02/04/24 22:43

え、素直に読めば　exist するのは　some A でしょ。
2)
ある整数Aが存在する。
　　Aは次のような性質をもつ
　任意の整数N について N+A= 0 をみたす。
　
　加法のかわり乗法をもってくれば真かな。

-------
1) 任意のNについて　Nに依存するAが存在して( Aの値はN毎に違ってよい)
N+A ＝0をみたす

2) なんかしらんけど Nなんぞに依存しない Aがあって、
　　その Aは何に対しても A + N =0 となる

272 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 22:44

「for any integer N」がどこに掛っているか判れば簡単だＹＯ！

273 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 22:46

教えてもらうほうが偉そうにしてて、教えるほうが敬語を使う。
２７０は自虐的だな（ｗ

274 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 22:49

>>271
＞え、素直に読めば　exist するのは　some A でしょ。

論理記号に落として日本語に読みなおすとそうなるんだＹＯ！

275 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 23:03

＞exist するのは　some A でしょ。

こんなことを言っている>>271はうすぼんやりと理解してるだけ.
論理的には理解できていない.（ｗ

276 ：１３２人目の素数さん：02/04/24 23:15

日本語は難しいにゃ〜

277 ：266：02/04/24 23:38

模範解答として、次のような訳をお勧めします。

(1)任意の整数Ｎに対して、次を満たすＡが存在する。
　　Ｎ＋Ａ＝０

(2)次を満たす整数Ａが存在する。
　　任意のＮに対してＮ＋Ａ＝０

この訳ならば、何が条件で何が結論か一目瞭然です。

>>268
＞(1)任意の整数Ｎに対して、Ｎ＋Ａ＝０を満たす、ある整数Ａが存在する。
これが典型的な誤訳です。この訳は『任意の整数Ｎに対して』が
『ある整数Ａが存在する』にかかっていると言う解釈(1)と
『Ｎ＋Ａ＝０』にかかっていると言う解釈(2)の二通りの解釈を許してしまいます。
(1)(2)の真偽は異なりますのでこれは大変まずい。

また、(1)の訳として、
任意の整数Ｎに対して、ある整数Ａが存在して、Ｎ＋Ａ＝０
というものがあります。
これならば『任意の整数Ｎに対して』が途中を飛び越えて『Ｎ＋Ａ＝０』に
かかると言う解釈はまずありえないだろう、というわけです。

278 ：266：02/04/24 23:59

で、

For any number ε>0, there exists some nutural number N such that for any integer n≧N, |a_n -α|<ε

これがε-N論法ですな。>>277の最後に紹介した訳をすると、おなじみのアレになるわけです。

任意の数εに対して、ある整数Nが存在して、n≧Nとなる任意のｎに対して|a_n -α|<ε

あうー。。。というわけでさっきお勧めした訳でやってみましょう。

任意の数εに対して、次を満たす整数Nが存在する。
　任意のn≧Nに対して|a_n -α|<ε

たぶんこっちのがスッキリ。なハズ。

279 ：１３２人目の素数さん：02/04/25 00:00

なるほど、勉強になります.
でも句読点を的確に使えば『次』とわざわざ
やることも無いと思う.
文章を分割するのは上手くない…と思うけど.

でも、誤訳よりは良いでしょうが（ｗ

＞任意の整数Ｎに対して、ある整数Ａが存在して、Ｎ＋Ａ＝０
日本語としてこ馴れていない感じもするけど、こちらの方が良いと思う.

まあ、最終的には相手に理解してもらえないなら誤訳と言って良い訳ですから.
数学の場合は（ｗ

数学とは証明なり.
証明とは、言葉の連鎖だと彌永昌吉の本にも書いてあった.
ところが日本語であれ英語であれ言葉だと誤解を生みやすい.
そこで記号を使うわけだけど、

つまり記号と言葉はどちらも大事で、表裏一体の概念ということです.>>263,>>265

280 ：１３２人目の素数さん：02/04/25 00:08

(1)任意の整数Ｎに対してＮ＋Ａ＝０を満たす、
　　ある整数Ａが存在する.
(2)ある整数Ａに対してＮ＋Ａ＝０を満たす、
　　任意の整数Ｎが存在する.

句読点を治せばこれで十分.

281 ：１３２人目の素数さん：02/04/25 16:33

>>271 は間違ってないような気がする。 とりあえず、英語として正しく読めなきゃ論外だと思うんだけど…

282 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 15:23

>>266はその例題で何を言いたいんだＥ？
次の展開は？

283 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 20:38

270,280 にある「任意のＡが存在する」なんて表現は数学をする人の
表現とは思えない。「あるＡが存在する」っていうのもおすすめできない。
「Ａが存在する」といえばよい。同様の理由で There exists some A ,,,
なんてのは慣用ではあるが数学の表現としては There exists an A ,,,
の方がずっと気持ちがよい。数学の表現は論理式で書けるのだから「任意」
と「存在」の区別こそが大切なのに「任意のＡが存在する」なんて表現は
論外！

284 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 22:14

>>283
何を力説したいの（ｗ
その例題の次の展開を示せＹＯ！

285 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 22:17

単発の問題かＹＯ！

286 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 22:25

>>284
普通に考えると一様連続から一様収束へ説明して
ε‐δを使うんじゃないの？
無意味な例題じゃ誰も答んだろ（ｗ

287 ：266：02/04/28 22:34

>>282
えーっと、その
ε-δ論法をわかりづらくしている一つの原因として、
「任意のε＞０に対して、δが存在して、〜」
という日本語が、どうも馴染み無くぎこちないという事が
挙げられるんじゃないかと思いまして・・・

288 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 22:48

>>287
一様連続や一様収束で
εとδの相互関係がいかに抑えられるか
という例を示せば十分と思われる.

289 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 23:05

>>284
なにも力説などしたくない。ただ平明に書けばよいのに変に形容詞を
つけるなといってるだけ。「任意の A が存在する」なんて表現をみて
なんとも思わないひとは証明をちゃんと書けないと思う。
あなたがそういう人かは知らないけどね。わたしゃ 282 に答えたの
ではない。
>>287
日本語としてどうのこうのでなく、論理的な受け止め方を問題にすべき
だと思います。数学以外の場面で「任意」「存在」が組合わさる論理的
に複雑な性質はあまりないと思う。だから日本語の表現の問題ではない
と思います。上記の「平明に書け」というのも余計な形容詞をつけるこ
とで論理性への焦点がぼけないようにした方がよかろうと書いたのです。

290 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 23:06

>>287
もう書いてあるけどε−δは一様連続と一様収束が理解できれば十分だ.
言葉の問題は東大の上野健爾がよく力説してる.
でも現実的には一様連続と一様収束を理解するほうが大事.

291 ：１３２人目の素数さん：02/04/28 23:18

ずっと前にも書いてあるけど、「任意」「存在」は一様性で問題なだけでなく
数学の色々な概念を正確に定義するのに不可欠だから、ともかく正確に理解で
きることは大切なのでしょう。

292 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 00:37

>>291
＞数学の色々な概念を正確に定義するのに不可欠だから
例えば？

293 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 00:45

291の代わりに>>292へお返事

微分方程式の安定性
「安定」「一様安定」「漸近安定」「一様漸近安定」等の定義
これらの定義にはεδが用いられています。

294 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 01:02

>>293
へー。はじめて聞きます。
ありがとう。
調べてみます。

295 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 06:34

>>291
たとえば距離空間で P が開集合とは、「任意の P の点 x について
a>0 が存在し、「d(x,y) < a となる任意の y について y が P に
属する」」 であること。
開集合でこれだから、ユークリッド空間を基礎概念としても、多様体
なんてなると、開集合族が存在し、、、、となり大変である。そして
座標系の同値性、同値だと写像の微分可能性が不変である、などなど
どんどん複雑になる。
このような「任意」「存在」の数と概念の複雑さは必ずしも直接関係
しないが、数が少なければ、あまり複雑にはならない。というわけで
数学の概念の正確な理解には「任意」「存在」ってのは大切なのでしょう。

296 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 06:45

訂正： 295の一行目、「任意の P の点 x」の任意は「点 x」にかかる
ので「P の任意の点 x」と書いた方がよかった。

297 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 13:10

数学板で296のように訂正しないと突っ込んでくる人がいるように
数学でも任意、存在ってのを正確に言わないと突っ込んでくる人がいる。

そこら辺は面倒くさい事の1つだろうけど、見ず知らずの人にも説明出来る
物でなければいけない学問であるから仕方ない事なんだろう

298 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 15:40

>>297
そだねー

299 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 15:52

「任意」「存在」の数が増えるごとに
概念の複雑さが増すので言葉では説明しにくくなっていく。
だから>>289は短く切って簡潔に判りやすくしようということかな。

ε−δの方は別なアプローチで、
記号を使って判りやすくしましょうということ。

アプローチが違うんだから受け手によって、
どれが判りやすいかという印象は違うよね。

記号であれ、言葉であれ、どちらにしても正確に使うことが大事で、
概念を正確に表わし、論理を辿れれば数学として成り立ちますね。

300 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 19:00

　 ∧∧
　（ﾟдﾟ )
300げっと！

301 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 23:03

日本の場合、論理を軽視しすぎるからε−δで躓くのではないかな。
一般教養が終わって、アメリカとかの中学程度でやっている論理が
終わる幹事だからね。
まあ、アメリカが良いとは言わないが（ｗ

ちなみに、そのアメリカはε−δを授業では扱いません。

302 ：１３２人目の素数さん：02/04/29 23:21

ε-δを扱った授業、それを教えるための授業は無いけど、
数学の授業でε-δを道具として使う、って事だよね？

303 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 01:09

>>302
院ではε−δをやるけど大学ではやらない.
知ってる範囲では
プリンストン、キャルテクではやっていない.
普通は院で、Rudinあたりをやるころに、
関数解析まで視野にいれて取り組む.

304 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 01:23

ラング「解析入門」岩波
を見れば話は早い.
ε−δを使わない日本の高校方式で連続等を済ませてしまう.

305 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 01:39

MITのテキスト一覧
http://www-math.mit.edu/text-only/undergraduate/class-textbooks.html

306 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 01:50

MITのテキストへのリンク
http://www.wiley.com/cda/product/0,,0471000051,00.html
http://www.wiley.com/cda/product/0,,0471000078,00.html

307 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 02:09

>>305
18.100B *Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. Rudin McGraw-Hill

ＭＩＴでは今でもルディンを使ってるんだぁー
ストラングよりこっちのほうがいい本だよ。

308 ：１３２人目の素数さん：02/04/30 23:28

ルディンの本や、線型代数の佐武のなんかは
初学者には壁になるけど、ある程度わかってくると
名著だと思える本だよね。

309 ：１３２人目の素数さん：02/05/01 20:25

For any number ε>0,there exists some natural number N such that for any integer n≧N,|ａn−α|<ε
これがε-N法。

(1)For any integer N, there exists some integer A such that N+A=0
(2)Tere exists some integer A such that for any integer N, N+A=0

(1)は、
任意の整数Nに対して、次の条件を満たす整数Aが存在する。
N+A=0　これは真。
(2)は、
ある整数Aが存在して、次の条件を満たす。
任意の整数Nに対して N+A=0　これは偽。

310 ：１３２人目の素数さん：02/05/01 20:28

>>309
>>266のやつね。ちゃんとした答えをキボン。

311 ：１３２人目の素数さん：02/05/03 00:10

312 ：１３２人目の素数さん：02/05/04 08:51

age

313 ：１３２人目の素数さん：02/05/04 10:29

18.100B *Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. Rudin McGraw-Hill

これのペーパーバックでないかなぁ〜

314 ：１３２人目の素数さん：02/06/03 12:54

315 ：１３２人目の素数さん：02/06/09 14:12

おしえてくれ

316 ：１３２人目の素数さん：02/06/24 20:28

いやだ

317 ：１３２人目の素数さん：02/06/26 02:23

318 ：１３２人目の素数さん：02/06/28 02:58

319 ：１３２人目の素数さん：02/06/28 04:28

今井数学ではεは使うがδは使いません

320 ：１３２人目の素数さん：02/06/28 21:20

>>319
なかなか鋭い指摘だな。任意のもの、すべてのものについて成立する
ってのはわかり易いんだよね。それに比べて、存在するってほうは、
存在するものをうまく選ばないといけないから難しいんだよね。

321 ：１３２人目の素数さん：02/06/29 22:03

322 ：かつお：02/06/29 22:23

http://sports-reports.com/buruma
ロリはここに逝ってよい！ゴラァ！サンプルだけでも最高！
　 iii■∧　 /
━ (,, ゜Д゜) / ━━━━━ ∧∧━━　　　 ∧∧
　 　|　　 つ　∇　　　（゜Д゜；）　　　（゜Д゜；）
　　 |　 ｜┌─┐　　　/⊂　　 ヽ　　　　/⊂　　ヽ
　〜|　 ｜｜□｜　　√￣ (_＿_ノ〜　√￣ (_＿_ノ〜
　　 ∪∪ ｜ 　 |　　||　　　━┳┛　 ||　　　━┳┛
￣￣￣￣｜ 　 | ＝＝＝＝∧＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　　　　／￣￣￣￣￣￣￣　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 　｜ 　すげー！！サンプルだけで抜けるよ！！！

323 ：１３２人目の素数さん：02/07/01 02:11

324 ：１３２人目の素数さん：02/07/29 21:44

eps del

325 ：１３２人目の素数さん：02/07/31 13:33

326 ：１３２人目の素数さん：02/07/31 15:41

327 ：１３２人目の素数さん：02/08/27 04:44

一年。

328 ：１３２人目の素数さん：02/09/04 10:58

329 ：32：02/09/05 02:29

ずいぶん すさんでしまたなぁ

330 ：１３２人目の素数さん：02/09/12 11:33

>>308
それならば初学者の教科書には不向きってことになるような。

331 ：１３２人目の素数さん：02/09/12 11:54

>330
壁になるってのは、いいことともいえるので、不向きとはいえないかも
しれない。壁の好きな初学者にはよいともいえるのでは?

332 ：１３２人目の素数さん：02/09/12 14:56

Eン月殺法

333 ：１３２人目の素数さん：02/09/20 09:59

祝３３３達成。　

334 ：１３２人目の素数さん：02/10/27 05:02

335 ：１３２人目の素数さん：02/10/30 19:53

336 ：１３２人目の素数さん：02/11/01 11:15

330-331のような本を「初心者向きでない初学者の本」と呼ぶ

337 ：１３２人目の素数さん：02/11/23 04:34

338 ：１３２人目の素数さん：02/12/12 04:20

339 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 11:24

「ε"ー"δ論法」というスレタイのまま一年以上経ってるのが感慨深い

340 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 13:58

>>339
ﾜﾛｳﾀ

341 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 14:46

アルファがベータをカッパらったらイプシロンした。

342 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 14:46

何故だろう

343 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 14:48

太陽が黄色かったから

344 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 15:24

「任意の」って言ってもε-δの場合は、
ひそかに「任意に小さな」と思ってるからなあ。
まあ、大きくても全然間違いじゃないし、
大きい小さいは比較の問題ではあるが。
「任意の」といえば、数学的帰納法の場合は、
結論の方の「任意の」は「全ての」を想定してる。
論理を簡潔にするために捨ててる部分はあるし、
それが数学を分かりにくくする原因だとも思う。

345 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 15:37

εって形が小さいじゃん。だから「小さい」って意味が含まれてるんだよ。たぶん

346 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 15:41

　　　　　　　　　　　　　　　　＼　│　／
　　　　　　　　　　　　　　　　　／￣＼　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　─（ ﾟ ∀ ﾟ ）＜　∀ε∀ε！
　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿／　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　／　│　＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∩ ∧　∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
￣￣￣￣￣￣￣￣＼∩ ∧　∧　＼（ ﾟ∀ﾟ）＜　∃δ∃δ∃δ！
　収束〜〜〜！　　　 ＞（ ﾟ∀ﾟ ）/ ｜　　　　/　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿／ ｜　　　 〈　｜　　　｜
　　　　　　　　　　　　　 /　／＼_」　/　／＼」
　　　　　　　　　　　　　 ￣　　　　 / ／

347 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 15:54

ε-δ って error-differece だと思ってた
許容誤差に収まる差を実現できるという風に

348 ：１３２人目の素数さん：02/12/24 16:19

　　　　　　　　　　　　　　　　＼　│　／
　　　　　　　　　　　　　　　　　／￣＼　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　─（ ﾟ ∀ ﾟ ）＜　∀ε>0、∃δ>0、|x-a|<δ；|f(x)-f(a)|<ε
　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿／　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
イプシロン-デルタ！　　　　　／　│　＼ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　 .∧∧　　　　　　イプー、イプー！ ⊂ヽ　　⊂ヽ
　γゞ （∀°）　　　　　　　　　　　　 ∩　　　|　|　　,/,/
　　＼＼/⌒ ＼ 　　　　　　.∧_∧ / i　　　.＼＼/ /
　　　 ＼_/＼　 ＼ 　　　　（ ﾟ ∀ ﾟ） /　　　　/ 　　|
　　　　　　i￣＿:;）） 　 mo￣　　　イ　　　 (/ 　 ／ヽ、
　　　　　　.i　| / /　　　　￣|　　　/ 　　　　(。A。）"ヽ⊃
　　　　　⊂ソ　ヽヽ,　　　　（ ＼ /＼　　　　 ∨∨ 連続連続！ 　
　　　　　　　　　/ノ　　　　　＼,"iヽ　|
　　　　　　　　　　　　　　　　 / /　| ::|
　　　 　　　　　　　　　　　　 .ヽヽ　(__..ﾐ

349 ：１３２人目の素数さん：02/12/27 18:41

>348

∀ε>0、∃δ>0、∀x( |x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε)

にしておくれ。

350 ：１３２人目の素数さん：03/01/06 22:57

350ｹﾞｯﾄｫｰ!!!

351 ：１３２人目の素数さん：03/01/09 06:17

練習問題：
実数aと任意の正実数x＞０に対して、a＋ｘ＞０であるときに
aの値域を求めよ。　

352 ：１３２人目の素数さん：03/01/09 07:15

｡･ﾟ･(ﾉД‘)･ﾟ･｡

353 ：１３２人目の素数さん：03/01/09 07:23

０＜ａ＜∞？？？？？？？

354 ：１３２人目の素数さん：03/01/09 20:00

ε-δ論法なんかクソだ。

超準解析マンセー。

355 ：１３２人目の素数さん：03/01/10 19:59

超準解析はεやδを使って命題を記号として表す事が出来る事を理解する事から始まる。

356 ：１３２人目の素数さん：03/01/11 02:49

>>353
君は不合格だ。

357 ：１３２人目の素数さん：03/01/11 02:51

>>356
俺も思た

358 ：１３２人目の素数さん：03/01/11 03:01

ニュー速板で>>348のAAを見ると εーδ を思い浮かべる私は逝ってよしですか？

359 ：１３２人目の素数さん：03/01/11 03:05

このスレにpart2があるなら>>1に348のAAを貼ってもいいな

360 ：山崎渉：03/01/11 12:12

（＾＾）

361 ：１３２人目の素数さん：03/01/16 02:33

362 ：１３２人目の素数さん：03/01/24 14:07

>>351 これがわからない奴は、解析の門をくぐる事を許さないぞ。

363 ：１３２人目の素数さん：03/01/24 14:13

a≧0

364 ：やきちんぽ：03/01/24 14:25

…で351の答えは？

365 ：１３２人目の素数さん：03/01/24 14:27

君の一族はそんなことも忘れてしまったのかね？

366 ：１３２人目の素数さん：03/01/24 14:41

実数ａと−＞実数ａが
ａの値域−＞？

367 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 13:49

誰かεーδ論法について書いてある部分をｕｐして下さい。

368 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 14:02

>>11
>>14-16
>>31-33
>>53-54
>>58
>>60-63
>>67-100

369 ：367：03/01/26 14:25

>>368
違う違う、教科書にのってるεーδ論法の定義みたいな文章のことですよ。

370 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 14:49

εーδ論法の定義みたいな文章

???

371 ：367：03/01/26 14:55

>>370
εーδ論法が何なのか全くわからないんで、その説明文です。

372 ：１３２人目の素数さん：03/01/26 20:26

εーδｱｹﾞ

373 ：１３２人目の素数さん：03/02/02 09:05

374 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:38

>>368
∀ε∃δ（0＜|x-a|＜δ　→　|f(x)-b|＜ε)

と　　　　　　

lim[x→a]f(x) = b

が同値
だっけ？

375 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:42

>>374
同値というよりは定義だろ。

376 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:43

εーδって必要ない気するけど
ちゃんとやっといた方がいいの？

377 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:48

>>376
必要ないのか？

378 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 21:59

全ての人に必要ではない
必要な人もいれば必要ない人もいる

379 ：１３２人目の素数さん：03/02/06 22:07

解析をやる上では必要？

380 ：１３２人目の素数さん：03/02/07 17:21

ε-δ　死ねage

381 ：１３２人目の素数さん：03/02/08 03:44

υ-σ

382 ：１３２人目の素数さん：03/02/09 14:14

超準解析があるから、もう今では忘れてもいいんだよ。

383 ：１３２人目の素数さん：03/02/09 14:24

数学的に厳密な定義には必要

384 ：１３２人目の素数さん：03/02/09 14:26

>>382

>>354-355

385 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 09:41

0≦d∈R が任意の 0 < e に対し d < e ならば d = 0
というのはどうやって証明すればよいですか？

386 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 11:23

>>385
挟み撃ちの定理

387 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 11:50

>>386
挟み撃ちが証明として認められる理由が知りたいのです。実数の定義から？

388 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 13:22

>>387
参考までにはさみうちの定理の証明

はさみうちの定理
関数f g h がaを除き定義されaの十分近くでf(x)≦g(x)≦h(x)が成り立つとする
またx→aの時f(x) も h(x)も共に収束して、同じ極限値αを持つとすると
g(x)も収束して lim[x→a]g(x)=α

証明
仮定より任意の自然数εに対しδが定まり
0<|x-a|<δならば
|f(x)-α|<ε　かつ　|h(x)-α|<ε
α-ε<f(x)<α+ε かつ　α-ε<h(x)<α+ε
f(x)≦g(x)≦h(x)であるから
α-ε<f(x)<g(x)<h(x)<α+ε
∴α-ε<g(x)<α+ε
∴|g(x)-α|<ε
すなわち lim[x→a]g(x)=α　□

389 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 13:42

「0≦d∈R が任意の 0 < e に対し d < e ならば d = 0」

d>0ならばd>dとなり矛盾。q.e.d.

390 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 14:47

391 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 15:06

はさみうちはいつから定理になったんだ？

392 ：１３２人目の素数さん：03/02/14 15:55

>>391
３分前くらいじゃないの

393 ：１３２人目の素数さん：03/03/12 03:10

>>385
ｄが０ならざる正数とせよ。
eとしてｄよりも小なる正数が取れる。（たとえばd/２とせよ）
するとそのとき、０＜e＜dだから仮定に反する。
よってd＞=０だとすれば、d=０であるほかないが、
d=０としてみれば、ｄ＜eは必ず満たされるので、ｄ＝０でよい。

394 ：山崎渉：03/03/13 13:03

（＾＾）

395 ：１３２人目の素数さん：03/03/16 08:28

396 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 21:19

実用性で数学を学んでる香具師はεーδ必要ないんですか？
そもそもεーδってのは今まで直感に任せてきた極限という概念を
論理的に定義したいという考えで作られたものなんだと思うんですが違いますか？

例えば有理数で成り立つ四則を、まず体を定義して有理数は1つの体を構成していると考える様に
また、カントールが大小の関係を写像の概念を使って定義しなおしたみたいに←これは違うか

物理をなどを専攻する人には全くと言っていいほど必要ないと思うんですが・・。

397 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 21:54

おまえには必要ないから安心しな

398 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 21:57

＞実用性で数学を学んでる香具師はεーδ必要ないんですか？
　
　微妙・・・
　
＞そもそもεーδってのは今まで直感に任せてきた極限という概念を
＞論理的に定義したいという考えで作られたものなんだと思うんですが違いますか？
　
　そんな感じか・・・
　
＞例えば有理数で成り立つ四則を、まず体を定義して有理数は1つの体を構成していると考える様に
＞また、カントールが大小の関係を写像の概念を使って定義しなおしたみたいに←これは違うか
　
　うーん・・・
　
＞物理をなどを専攻する人には全くと言っていいほど必要ないと思うんですが・・。
　
　微妙・・・

399 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 22:23

日本人は論理を軽視するからεーδを知らなくても
ある程度なら物理は問題無い。らしい

400 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 22:26

早い話がεーδは論理面でしか役に立たないってことだろ？
違うか？

401 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 22:26

にっこり

　　↑
じーと眺めていると・・・・何かに見えてくる？

402 ：１３２人目の素数さん：03/03/17 22:32

>>400
それに比べて超準解析はどう？実用性がある？
というか>>396も何を持って実用性があるというのか書いて欲しかった

>>401
まつい

403 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 01:13

>>400
論理面でしか役に立たない⇔論理面ではε-δが無いと意味がないんです。
物理屋さんが「連続」＝「つながってる」といいたいなら、
それでも、良いでしょう。
あなた方は、つながっていることがどういうことかすら分かっていない。

404 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 01:17

解析学はε-δ無しじゃ成り立たんです。

405 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 01:24

>>404
位相を導入すりゃわざわざεとδの文字を使用しなくても良いのだ。

406 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 01:27

超準解析なら成り立つぞ。っていうか、そのための超準解析だけど。
まあ悪名高きε-δを避けられると思ってみんながわっと飛びついたものの、
ε-δよりも遥かに分かりにくくてあっという間に廃れたってのが超準解析だけど。

407 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 02:33

そういうわけで、ε-δは無くして、
解析の前に位相をやらせようってことで。

408 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 08:57

150 付近 および 290−295 に関連したことがある。

409 ：１３２人目の素数さん：03/03/18 17:52

っていうか超準解析は単元的には解析には入らないのか？

410 ：１３２人目の素数さん：03/03/19 01:11

>>403
「連結」＝「つながっている」
「連続」≠「グラフがつながっている」

411 ：１３２人目の素数さん：03/03/19 12:37

人はε-δでつまずくのではなくε-δ｢論法｣でつまずくんだよ。
そんな奴が位相の言葉に慣れるか？いや、んなわけない。
せいぜい道具として使うのが精一杯。
そんな奴はこれからの時代、物理屋と名乗っちゃいかんよ。

412 ：１３２人目の素数さん：03/03/19 17:46

みんな、ε-δを過大評価し過ぎだよ
世の中にはもっと難しいことがいくらでもあるよ

413 ：403：03/03/20 22:07

>>410
確かに位相では「Rは連結である」と言う。
にもかかわらず、QになくRにある性質は「Rの連続性」と言う。

ちなみにε-δで定義されるのは関数の「連続」性です。

414 ：１３２人目の素数さん：03/03/21 06:54

連結だって、平面で連結を定義しようと思えば、開集合の定義
をすることになるから、ε-δを使うわけでε-δ論法を理解でき
ないで、数学をするのは無理ってことが 408 にある番号付近に
ある。

415 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:04

>>406で超準解析分かりにくいって言ってるけど実際どうなの？
εーδ以上分かりにくいものがあるの？　詳細キボンヌ

416 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:06

ε-δは理解してしまえばそんなに難しいものとは思えないが。

417 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 20:10

>>414
遅レスだが、開集合の定義に ε-δ は使わん。

418 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 21:44

○●○●○●○ゆかり祭り開催中○●○●○●

みんな！数学板で久しぶりの祭り開催だ！！場所は

複素数２
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1047796252/

ゆかり房 VS　数学板住人　の激しい激論！皆も参加しよう！

419 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 22:21

P が開集合であるというのは、 P の任意の要素 x についてある d>0
が存在して x の d 近傍が P に含まれるという定義である。この論理
形式こそがエプシロン−デルタ論法を理解できない人が理解できない
ことであり、わからない人にとっては同じことである。もちろん開集合
の定義はわかるがエプシロン−デルタ論法はわからないという人もいる
かもしれない。しかし、そのような人が開集合の定義をわかっていると
思うとしたら、その人も論理的にものを考えられない人であろうと思う。

420 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 22:55

どうでもいいが今位相を勉強しはじめてるんだけど
俺の本に近さの概念という事が書いてあるんだけど
「近さ」という概念は「距離」の概念が無くては成り立たないのでは？

421 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 22:56

どうでもいいな

422 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 22:57

距離がなくては近さ自体が定義されないのでは？

423 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 22:59

「距離」は数学用語だが、「近さ」は数学用語ではないのでそこんとこよろしく

424 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:08

>420
「近さ」とか「広さ」という概念が数学的に定義できると思う
のは数学がわからなくなる第一歩。
むしろ、数学によって定義された概念を理解し、それにあう自分
の表現、言葉を対応させるつもりのほうが理解の早道であろう
と思う。

425 ：１３２人目の素数さん：03/03/23 23:09

「近さ」は数学用語でないかもしれないが。
「近く」はていぎできる。それが開集合。
>>419 の場合は少し特殊で、位相は位相でも距離位相が入っていないとだめ。
他にも開集合はたくさんある。

426 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 11:48

近さってのは連続性が保存されるってことじゃないんですか？

427 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 21:39

>425
初めから、開集合のすべての族を指定する位相の入れ方なら、
その族が満たすべき性質として、同じ論理形式がある。
また、近傍基を指定する場合なら、その族が満たすべき性質
として、また開集合の定義として「任意」「存在」の組合せ
の概念設定がある。いずれにしても、この組合せの概念設定
を理解できないと数学はとても無理でしょう。

428 ：425：03/03/24 22:10

>>427
言ってる意味がよく分かりませんが、
何か間違ってますか？

429 ：１３２人目の素数さん：03/03/24 22:37

やっぱり解釈の仕方は皆同じだけど表現の仕方はみんな違うのね
これも抽象数学の特徴だって誰か言ってたなぁ

430 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 09:19

このスレの　>>1 から　>>10 までのスピーディな展開にわろたｗ

431 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 09:26

ε-δを理解できない人が理解できないんだが…
ほんとに数学やめた方がいいと思う

432 ：１３２人目の素数さん：03/03/25 11:47

>428=425
別に距離空間でなくても、427に書いてある論理形式が
ε-δあるいはε-δ論法を理解できないという人の理解
できないものなのであろうということです。
間違っているとかいうことではありません。

433 ：１３２人目の素数さん：03/03/29 01:06

近傍という言い方は、具体的ではないが、背後に「任意の小なる」という
ことが含められた概念である。

434 ：１３２人目の素数さん：03/03/29 01:12

先生、位相の導入できない集合を発見しました！！

435 ：１３２人目の素数さん：03/04/13 23:39

超準解析のいいページｏｒいい本ありますか？

436 ：１３２人目の素数さん：03/04/16 22:46

age

437 ：１３２人目の素数さん：03/04/19 18:31

(･∀･)ｹﾞﾊﾊﾊﾊ

438 ：山崎渉：03/04/20 03:59

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

439 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 10:29

εδって、抽象位相の理解できない知的障害者向けの説明でしょう？
これが判らないとサスガに数学きついかも。

440 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 12:50

>>435
和書では三、四冊しかない。
っていうか、何のために超準解析やるの？

441 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 13:01

>>439
位相を勉強するのに必要でないか？

>>440
435じゃないけど、よかったらその３−４冊を紹介してもらえますか？

442 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 13:18

�@齋藤の超積と超準解析（どこだったか忘れた）
�A東京図書の無限小解析の基礎
�B培風館の超準解析
などがあります。洩れは�@しか読んだことないけど。

443 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 13:36

>>441　位相を勉強するのに必要でないか？
なくても距離位相の定式化には困らないのでは。
従って、「必要」ではなかろう。
もっとも、解析の入門時にわざわざ位相を定義するのはウザい。
ε−δのほうが簡単だから、あったほうが便利なのは確かだ。

444 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 14:22

位相を勉強するのにいい本はありますか？

445 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 15:03

>>444

Bourbaki

446 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 15:22

おいおい、ブル履きは学習書ぢゃないだろう。
あんなもんじゃ勉強できないよ。
も少し親切な本を紹介してやれよ。
たとえばケリーの位相空間論とか・・・

447 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 15:41

>>444

ジャポニカ学習張

448 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 16:05

>>441
[1]超積と超準解析　斎藤正彦（絶版）　東京図書
[2]無限小解析と物理学　竹内外史　遊星社
[3]超準解析と物理学　中村徹　日本評論社
[4]超準的手法にもとづく確率解析入門　釜江哲郎　朝倉書店
[5]無限小解析の基礎　キースラー　斎藤正彦/訳　東京図書

1=0.999…スレの過去ログよりコピペ。
普通に[1]が短くまとまってていいと思う。けど絶版。

449 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 16:34

超準解析って何の役にたつの？

450 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 17:49

>>449
εーδの代わりだろ

451 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 17:50

>>446
Kellyで勉強した強者ですか？

452 ：446：03/04/20 21:32

>>451
っつーか、何せ指定参考書がケリーだったもので。
余り読みやすい本ではないがね。

453 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 21:39

>>450
ε−δって何の役にたつの？
ひょっとして超準解析の代わり？

454 ：１３２人目の素数さん：03/04/20 22:19

>>453
極限の概念を正確に定義するため、
微積分などの論理的な証明などに必要。

実用性は全然内けど解析を学ぶ上では初歩の初歩＾∞

455 ：１３２人目の素数さん：03/04/21 02:45

ε-δは実用性が命です。
この概念を理解するには、
与えられたεに対して具体的にδを作る演習問題を５つほどやればよい。
「具体的に」読者にやらせるにように誘導している本をさがすこと。
ありきたりの理屈だけ書いてあっさりすます本が多いので要注意。

456 ：１３２人目の素数さん：03/04/21 03:41

つうか、ε-δ使わずに数列の極限をどうやって定義するのか誰か教えれ。

457 ：１３２人目の素数さん：03/04/21 08:20

根性

458 ：１３２人目の素数さん：03/04/21 23:23

>>456実数体に距離位相を入れれば良い。

459 ：１３２人目の素数さん：03/04/22 00:58

>>458
456では偉そうに訊いてしまいましたが、
距離位相を入れたあとどうやって数列の極限を定義するんですか？

460 ：１３２人目の素数さん：03/04/25 22:58

通常の位相の点列の収束で極限を定義すれば良いです。
つまり、位相空間Ωにおいて、x∈Ωの近傍系をB(x)と書くとき、
点列{a(n)|n∈Ｎ}⊆Ωが一点x∈Ωに収束するとは、
∀U∈B(x)：∃m∈Ｎ：n≧m⇒a(n)∈U
が満たされることです。ここに、Ｎは自然数全体の集合です。
詳しくは、位相の入門書でも読むか、位相の授業を受けて下さい。

461 ：１３２人目の素数さん：03/04/25 23:10

Moore-Smithの収束って何ですか？

462 ：１３２人目の素数さん：03/04/25 23:25

>>461
ttp://mizar.uwb.edu.pl/JFM/pdf/yellow_6.pdf

463 ：１３２人目の素数さん：03/04/26 00:10

>>461
定義だけだったら、こんなところで聞くよりも本読んだほうが早いんじゃない？
岩波数学辞典にも結構詳しく出ているし・・・

464 ：ななし：03/04/27 13:30

>>461
一般に、「点列」の議論ができる土壌っていうのは第一可算公理が成り立つ
位相空間で、第一可算公理成り立たないと、点列の収束とか考えると問題が
生じる。
（たとえば、可測空間で関数列を考えると、その「可算性」が問題となって、
当然収束するはずの値（関数）に収束してくれないって事が起きる）

で、一般の位相空間に対しても、「収束」って概念を考えたくなるわけで、
Ｎではなく「有向集合」を添え字とする有向集合族に対して収束を定義する、
ってのが Moore-Smith の収束、だったと思う。

詳しくは、現代数学概説�U（岩波）を読んでみてちょ。

＃落ち度があったら突っ込みきぼん。

465 ：１３２人目の素数さん：03/04/27 15:18

aaaare

466 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 15:37

>>439
俺は実数の上でεδ→距離空間でεδ→位相の順に理解していったけど
やっぱり致傷ですか？

467 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 20:58

>>466
漏れも
普通はどういう順番なん？

468 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 21:36

解析の入門レベルで実数上のεδを使うのは兎も角、
次は位相を直接理解してはどうでせうか。
距離空間でまたεδをやるのは迂遠でせう。

469 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 21:58

>>468
迂遠ってこともないんじゃないの? 大抵の重要な空間は距離空間なの
だし、距離がはいらない空間で重要なものには、距離がはいらないと
いうことを示すことも大切なことがおおいのだから、466、467 って
のは普通だし当然だろう。迂遠というのは理論を展開する場合のこと
だけでものを理解する過程を考えれば、わかればぺらぺら進むのだから
迂遠ということはないんじゃない?

470 ：１３２人目の素数さん：03/04/29 22:20

実数上のεδと距離空間のεδは論理展開が同じだから迂遠だといったまででつ。
実数のεδで極限概念が理解できたら、位相の学習の中で距離位相をやれば十分でせう。
距離空間が頻繁に出てくるのは確かでつが、
それとεδを二度重複することとは別問題でせう。

実数のεδが十分に理解できなければ、距離のεδを重複して学習しないとダメだけど、
実数のεδが十分に理解できているのなら、距離位相は抽象的に習っても十分理解できまつ。

471 ：あはれな大学生：03/05/08 23:38

うちの解析の先生なんか、授業概要の本に「ε−δ論法にもふれる」とかかれていることをいい事にε論法メインの授業しやがる。
そんで挙句の果てには「なにも私が物好きでやってるわけじゃないんですよ」と。

472 ：１３２人目の素数さん：03/05/08 23:41

>>471
あはれなのは、君に嫌な奴と思われている教官の方と思われ。

473 ：高校生：03/05/08 23:44

漏れん所の先生は微積の一番初め（極限の計算）の授業からε-δをやってる。
更に、定義だけ説明した後、超準解析で極限の四則を証明している。

この前友達が俺に聞きに来た。
「limって関数みたいなもんなの？」

474 ：１３２人目の素数さん：03/05/08 23:47

>>473
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

475 ：１３２人目の素数さん：03/05/08 23:49

>>473
ﾜﾛﾀ
学校名晒せ

476 ：山崎渉：03/05/21 22:54

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

477 ：山崎渉：03/05/21 23:16

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

478 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 02:30

13

479 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 20:21

lim[n→∞] x[n] = a のとき、ある自然数Nについて | x[n] - a | < ε / 2 (n > N)
(x[1]+x[2]+･･･+x[n])/n = y[n] とすれば
| y[n] - a | = | (x[1] - a) / n + (x[2] - a) /n + … + (x[N] - a) / n + … + (x[n] - a) / n |
<=(1/n) * (| x[1]-a | + … + | x[N] - a | + … + | x[n] - a |)

(1/n)*(| x[1]-a | + ・・・ +| x[N]-a |) + (1/n)*(| x[N+1]-a | + ・・・ +| x[n]-a |)
と二つに分ける

前半部分について、分子は n と無関係な定数なので
∃p such that n>p, (1/n)*(| x[1]-a | + ・・・ +| x[N]-a |) < ε/2　　・・・（１）

後半部分について、>>65 より
(1/n)*(| x[N+1]-a | + ・・・ +| x[n]-a |)
< (1/n)*( (ε/2) + (ε/2) + ・・・ (ε/2)) = (n-N)/n*(ε/2)
< ε/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２）

（１）、（２）より n > max( p, N) に対し
| y[n]-a | < ε/2 + ε/2 = ε

よって題意は示された。

480 ：bloom：03/05/26 20:23

http://homepage.mac.com/ayaya16/

481 ：高べ：03/05/26 20:31

An→α（≠±∞）とするとき次を証明せよ
�@｛An＋Bn｝が収束ならば｛Bn｝も収束
�A｛AnBn｝が収束して、α≠０ならば、｛Bn｝も収束
↑lim(An±Bn)=α±β、lim(cAn)=cα
　lim(AnBn)=αβ、lim(Bn/An)=β/α (An≠0,α≠0)
が前提でイプシロンデルタ論法使うっぽいです

他でも聞いたんですけど、大学入ったばっかでεーδ論法？？って感じで全然わかりません。
教えてくれる人いませんか？

482 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 20:37

>>481
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1053787128/357

483 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 21:15

>>481
書くのめんどい。
ちょっと待ってて

484 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 21:22

(1)Bn=(An+Bn)-An
(2)Bn=(AnBn)/An
(α≠０より、必要なら有限個の項を除いてAn≠0)
(3)具体的に書き並べてみて
(定数)*(a/k)^n-k
(|a|<k)
のように評価

485 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 21:26

四則の極限が極限の四則になるという前提はない上で解くと

仮定より
適当な0<εに対して　N<nならば|a_n-α|<ε　となるようなNが存在する
また同じεに対して M<nならば|(a_n+b_n)-C|<ε　となるようなa_nが存在する
この時　|b_n-β|=|(a_n+b_n)-C+(α-a_n)+C-α-β|<|(a_n+b_n)-C|+|a_n-α|+|C-α-β|
ここでn_0=Min{N,M}とすると、|(a_n+b_n)-C|+|a_n-α|+|C-α-β|<2ε+|C-α-β| []

よく見たら、「他でも聞いたんですけど」ってマルチかよ
おまけで答えてあげたけど失礼過ぎるぞ。精神鍛えて出なおして来い！

486 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 21:33

>>485
しかも、既にレスが付いていたが、
よくわからなかったので無視してこちらで聞きなおしたらしい

487 ：１３２人目の素数さん：03/05/26 21:58

>>485
同情するよ・・。

488 ：１３２人目の素数さん：03/05/31 06:52

8

489 ：大学生：03/06/03 23:13

ε−δ論法って定義のときはいいけど、証明のときは逆に気持ち悪くなりません？

490 ：１３２人目の素数さん：03/06/03 23:38

むしろ証明のときに便利なのだが

491 ：１３２人目の素数さん：03/06/04 00:24

俺の高校の先生は極限についての授業で
ε−δ論法のことも話してくれた。
しかも↓こんな感じでこれはlim[x→a]f(x)=bを表しますとか言って。
∀ε>0∃δ,|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
おかげで大学で習ったときもすんなりと入っていけた

492 ：１３２人目の素数さん：03/06/04 22:10

↑　　↑
えええ、これだけじゃ理解んねえよ。
高校生じゃあ無理だろ？

493 ：１３２人目の素数さん：03/06/04 22:24

εδ論法が分らんやつって、不等式理解できる？　不等式とベン図との
間の一対一の対応関係を理解できれば、この論法は楽勝なんだが。
→が不等式と不等式の間の包含関係を表してる事にきずければ、こんな
所でつまずくことはない

494 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 01:28

>>493 は自分が何を言ったるのかも気付かないDQN。

495 ：493：03/06/05 06:30

|x-a|<δ も　|f(x)-b|<ε も関数fの定義域の要素に関する不等式だろ。
んで、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε　は、前者の不等式を満たすものは後者の
不等式を満足するってこと。　んで任意の正の実数εを代入しても、この関係
を満足させる正の実数δが存在するってこと。　以上の条件を関数f、実数a,bが
満足するとき、lim[x→a]f(x)=b　って書く。ただそれだけ。　めちゃ簡単。

496 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 06:47

>>495
ベン図は何処にいった？

497 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 06:49

>>495は値域も定義域も区別できないDQN。

498 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 06:51

>>497
は？　どこ？

499 ：493：03/06/05 07:00

ちなみに、
|x-a|<δ　は x,a,δ　に関する条件
|f(x)-b|<ε　は　関数f,b,ε,x　に関する条件
しかし
|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε　は関数fの定義域の要素xを主体とする２つの条件（不等式）
の間の関係。　つまりこの時点で、この式は、a,b,f,ε,δに関する条件。xは外れた。
んで、εとδを束縛して
∀ε>0∃δ,|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε　の式は、f,a,bに関する条件。
ちょいややこしいのは、aやb,xといった記号をある段階では変数と認識したり、パラーメータ
と認識しなければならないこと。

500 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:17

>>499
＞xは外れた。
はじめから x は fix しているわけだが。
DQNが得意げになってもDQNであることには変わりないぜ？

501 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:19

>>499
不等式とベン図の一対一対応とやらを教えて欲しいなｗ

502 ：493：03/06/05 08:24

連続かきこご苦労。　さあ学校いかねば

503 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:28

>>493
わざわざこむずかしい言葉を並べ立てんでも、もともと距離が入ってて、
距離が近いってのを、高々εやらδやらの半径を持つ円のなかにあると
表現してるだけだ、といえば済むことだろ。

504 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:28

DQN が自己満足して立ち去ります。

505 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:34

で、結局ベン図の話は何処にいったのだ・・・？

506 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:39

＞んで、|x-a|<δ ⇒ |f(x)-b|<ε　は、前者の不等式を満たすものは後者の
＞不等式を満足するってこと

なるほど、、、、　”⇒”ってのはそういう意味だったのですね。なんか
理解できた気がします。　

507 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:41

ｼﾞｻｸ(・∀・)ｼﾞｴﾝ　のオカーン

508 ：506：03/06/05 08:43

>>499
→と⇒の違いってあるんですか？　追加質問すまそ

509 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:48

(ﾟ∀ﾟ)

510 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:52

>>508
→のほうが弱弱しい

511 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 08:56

(ﾟAﾟ)

512 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 09:01

495さんの説明、非常に分りやすですよホントに　ってまた自演だと言う意地悪
な人もいるけど。　自分の持ってる教科書より単純明快で分りやすかったです。
どうもありがとう〜！

513 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 09:02

>>512
それは気の所為。

514 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 09:06

う〜ん、、、気のせいですか？　ではもっと分りやすく説明してください〜！
他人の説明の批判ばっかりやってる人って、、、、。もっといいものを提供して
くれるなら、その批判にも説得力が生まれるのですが、、、。　批判だけなら馬鹿
でも出来るし、、、、ってごめんなさい

515 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 09:09

藁　同意ｗ

516 ：515：03/06/05 09:14

515は　>>514へのレスね 　　逝ってきます、、、

517 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 09:19

(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

518 ：神戸高専３年：03/06/05 10:55

>>495

うむむ。。。。なかなかのご説明です。　論理的に理解できました。
どうもεδ論法は自分には難しすぎて理解できないかったのですが、
だいたいの感覚を得ました

519 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 14:21

>>508
解析の話題で→をならばの意味に使うのはまぎらわしい。
論理学では命題論理のならばに⊃を使い、
高階のならばに→や⇒を使うことがある。

520 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 15:00

>514 一つの理解方法を示してみる。
数学の命題は問いに対してyesかnoで答えてくれる装置と思って良い。
例として ∀ε>0: ∃δ>0: (|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε) で考える。
本体の |x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε は
|x-a| がδより小さければ |f(x)-b| がεより小さいといっている。
0.01よりも小さいのかと聞かれれば、|x-a| がδより小さければ yes といってる。
0.00001よりも?と聞かれても |x-a| がδより小さければ yes といってる。
0.000000000000001よりも?と聞かれても |x-a| がδより小さければ yes といってる。

じゃあそんなδは存在するのかという問いに対しては ∃δ>0 によって保証する。
どんなεに対してもyesなのかという問いに対しては ∀ε>0 によって保証する。

つまり、どんな(に小さな)正数εに対しても【∀ε>0】
ある(適当な)正数δをとってくることが出来て【∃δ>0】、
|x-a|<δ を満たすなら |f(x)-f(a)| がεより小さい【|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε】
と主張するのが ∀ε>0: ∃δ>0: (|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε) という命題。

∀と∃の順番の違いが分からない者は次の命題を満たすf(x)の違いを考えれば良い。
∀x: ∃y: (x≠y かつ f(x)=f(y))
∃x: ∀y: (x≠y かつ f(x)=f(y))
例えば f(x) = sin(x) は前者を満たすが後者を満たさない。

521 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 15:34

A⊂R^m (m∈N):有界⇒∃{pn}∈A (n∈N):収束する部分列｡

ってε論法でどう示すの?

522 ：１３２人目の素数さん：03/06/05 19:27

>>521
Bolzano-Weierstrass の定理で帰納法。
ε-δは直接は使う必要は無い

523 ：521：03/06/06 16:07

>>521
存在が言えた後にp(n)→p(0)をε論法で書き表せと言われました。
変な言い方になりましたが、要は{p(n)}[n∈N]∈R^mにおいてp(n)の各ベクトル成分が極限p(0)の各成分に収束する様な番号n0を上手く選べと言われました。
{p(n)}[n∈N]∈R、つまり数列の場合は∀ε>0∃n0∈N s.t. |p(n)-p(0)|<ε (∀n>n0)で良いのですが、
ベクトル成分だとこのn0が各成分毎に異なる様で、全ての成分がp(0)の各成分に収束する様なn0を与えろと言われました。
どうしたら良いのでしょうか？

見難くてなってすいません。

524 ：１３２人目の素数さん：03/06/10 04:38

>>523
有限次元なんだからmaxを取ればいいのでは？

525 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 19:46

関数の極限の問題で、
f(x)＝ 1/x のとき、
∀ε＞０ に対して |x-a|＜δ であれば |f(x)-f(a)|＜ε になる
δ＞０って問題で、

| (1/x) - (1/a) |＝|(a-x)/(ax)|＝|x-a|/(ax)＜ε
になるためには、|x-a|＜εax
よって、
-εax＜x-a＜εax
これをxについて解くと、
a/(1+εa) ＞ x ＞ a/(1-εa）
ここで、
(-ε*a^2)/(1+εa)　＞ x-a ＞　(ε*a^2)/(1-εa)

と評価したのはいいんですが、このあとどう操作すればいいか見当がつきません。
m(__)m

526 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 20:27

-M < x-a < N
M,N > 0
で十分って形になったんなら、MとNの小さいほうをδにすればよかろう。
それ以前にεと1/aの大小やらでちゃんと場合分けしる

527 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 21:06

>>526
一応、a＞ ０なんですが・・・・・・(^_^;)

528 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:08

>>525はマルチ
大学生活板に単独スレ立てて質問してる
放置だな

529 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:09

>>528
分からないからそういう風に言うんでしょ？
あなたには聞いてませんって。

530 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:17

ルール違反しといてそれを指摘されたら逆切れ･･･
ロクでもない奴だね
>528の言うように放置するのがよさそう

531 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:22

>>529
（　´,_ゝ`）ﾌﾟｯ
お前必死すぎ

532 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:23

>>530
2chにルールなんてあったもんかねぇ？ｗｗｗ

533 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:27

>>525 は yahoo にも出現したようだ。

534 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:27

>>532が何ヶ月2chやってんのか知らないが、本気でそう思ってるんだとしたら学習能力がかけてるとしか言い様がないな
ご愁傷様

535 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:30

もうこねぇよ.
何とでも言うがいい。


−−−−−−−−−−終−−−−−−−−−−−

536 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:31

ｹﾞﾗｹﾞﾗｹﾞﾗｹﾞﾗ

537 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:32

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bft3xbcalda53a1bca5ja1bc&sid=1835554&mid=5189

マルチ馬鹿が必死必死

538 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 22:38

激しくﾜﾛﾀ
>525ほどの厨は久しぶりだ

539 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 23:03

525が大学板で必死になってますｗ

540 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 23:08

もうなんつーか・・
馬鹿としか言い様がないね。>>525

＞2chにルールなんてあったもんかねぇ？ｗｗｗ

よくこんな恥ずかしい事をどうどうといえるな

541 ：526：03/06/25 23:15

暇だったからまじめに答えてみれば・・・
> >>526
> 一応、a＞ ０なんですが・・・・・・(^_^;)
よくみると、a>0って行間に書いてあるな・・・・・・(^_^;)
漏れあほだから、a>0だとなんで場合分けがいらんのか見当がつきません。
m(__)m

542 ：１３２人目の素数さん：03/06/25 23:51

〒 大学生が分からない問題を一緒に考えるスレ 〒
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/campus/1056545108/

543 ：鰐淵 ◆httSo1HzlI ：03/06/26 02:09

なんか知らんが、大学板から来た人は帰りましょう

544 ：１３２人目の素数さん：03/06/27 22:06

ε−δ論法についてだけやたらと詳しく扱っているサイトってあるの？

545 ：１３２人目の素数さん：03/06/27 23:15

>>525ってさ、あのあとに

「よって δ = min((-ε*a^2)/(1+εa), (ε*a^2)/(1-εa)) とおけばよい。おわり」

という一行を書くだけでしょ。（特に場合分けする必要もないと思うが）

どうしてこれができないのかという理由に、「高校までは等式の数学ばかりで、不等式の
数学に慣れていないから。別にギリギリの評価をする必要もないときに、なんでもいいか
ら評価してしまうなんてのは、やり方が一通りと思い込んでたりすると難しい」といった
趣旨のことを何かの本で読んだ。

だから高校生に次のような問題を出すと解けないんだそうな（答えを教えるとナーンダ…）：

「x>0, y>0, z>0, x+y+z < 5 のとき、 x + 2y + 3z < 17 を示せ。」

546 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 02:49

547 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 21:33

548 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 21:50

x+2y+3z < 3(x+y+z) < 15 < 17

549 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 23:14

>>54 >>55 >>57
「任意のε＞０ に対して」って、言ってる時点で
無限個のεを扱ってないか？
無限大を扱えないから回避すると言っておきながら、
ちゃっかり使ってるじゃないか。
ていうか、そもそも数は「無限個」あるんだから、無限大
扱えないってのはおかしい。
ε-δって、無限大を扱うことを回避した「つもり」に
なってるだけじゃないのか？

550 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 23:16

無限大が扱えないというのならば、「数の個数」だって定義できないはずだ。
個数が定義できないんだから、「数が存在する」とも言えないと思うが。

551 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 23:22

無限(個) と無限大（無限小）の区別もつかないヴァカが
ご高説たれるスレは此処でつか？

552 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 23:44

>>551
実無限は扱えないが∞は扱えるわけでつね。
ちなみに、実無限が理論に入り込んでいるのは無限数列を扱っているから。
無限数列で極限や収束や連続を考えているのは危なっかしい。

553 ：１３２人目の素数さん：03/06/28 23:50

実無限…

554 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 00:03

>>552
>>551の(>>549-550への)指摘の意味がまるで分かっていないようだね。
ε-δ論法では、無限大・無限小は排除できてるんだよ。

555 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 00:16

俺はε-δによって初めて無限大無限小が
論理的に扱えるようになったと思っていたのだが
それは違うのか?

556 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/29 00:31

歴史的に無限大無限小を始めて取り扱ったのがε-δかどうかは知らないYO。

でも、無限小、無限大の意味にもよるNE。
たとえば、無限大といえば、濃度（可算濃度、非加算濃度等）、測度、
複素解析のリーマン球面のコンパクト化等々、いろいろな意味があるYO。
ε-δの無限小は、これらと異なり動的な概念だよNE。
これを静的に捉えたのが超準解析だYO。

557 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 00:34

>>555
論理的に有限のところしか出てこなくて、無限大、無限小が回避できてるじゃん。

558 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:28

>>551
>無限(個) と無限大（無限小）

無限（個）というのは、「個数が無限大」という意味じゃないのか？
どう違うのか、君のご高説を解説してほしい。
それから、無限(個) と無限大（無限小）が違うとして、
無限大は使っていけないのに、無限個は使っても良いという
理由を聞かせてもらいたい。
俺には、区別がつかないし、わから無いので。

559 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:31

>>557
少なくとも、無限個の数を使っている。
なぜこれで回避したなどと言えるのか。
「無限個は回避していないが無限大は回避した」というのなら、
このようなことをする意味を教えて欲しい。

560 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:37

>>559
論理に出てくるのは、「任意にとって固定した」一つの数だが、何か？

561 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:38

>>560
「任意にとる」方法が無限にある。
無限の数に対して定義している。

562 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:41

>>559
誰が何を回避したって？

何をむきになってるのか知らんが、とりあえずε-δのいいところは、
・「無限大」「無限小」という「数」を考えなくてよくなった。
・無限個の数を同時に使わず、任意だがその都度はひとつのεを考えるだけでよい。
じゃないか？

いわずもがなとは思うが、「そもそも無限にかかわることをいっさい考えない」
なんてのは数学じゃないんで、無限など現実には存在しないから無意味、など
という論にはくみしないのであしからず

563 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:41

>>558-559
とり方に任意性があるものの、ε-δ論法では無限個の数ではなく、
勝手に選び出した一つの数しか出てこないよ？
εはどのように取り出しても、適当なδのもとで抑えられるという
論理の中に、無限という概念は回避されている。

564 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:43

>>561
とり方が無限個あろうとも、「どのとり方であっても言える」という
論法の中にそのとり方の濃度は関係しない。

565 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:44

>>562
>・「無限大」「無限小」という「数」を考えなくてよくなった。

εを取る方法の「数」は「無限大」に見える。
俺には無限大を考えているように見える。

>・無限個の数を同時に使わず、任意だがその都度はひとつのεを考えるだけでよい。
>じゃないか？

「同時に使ってる」の意味がわからないが、仮にその「同時」なるものが
回避できてるとしてそれに何の意味がある？

>>563
しかし、勝手に選び出す方法が無限にある。
無限という概念を使ってるように見えるのだが･･･

566 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:45

>>564
そういう言い方ならわかる。
でも、それでは「無限を回避した」とはいえないんじゃないのか？
それから、濃度が関係しないことに何の意味があるの？

567 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:47

>>565
＞俺には無限大を考えているように見える。
自分が見えるだけで、論理の中に無限大が出てくるわけではない。

＞しかし、勝手に選び出す方法が無限にある。
＞無限という概念を使ってるように見えるのだが･･･
無限集合は扱わないとは、誰も言っていないように思うのだが・・・。

568 ：564：03/06/29 01:48

>>566
君が無限がどうたらと言ってたんじゃないか。

569 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:49

>>566
＞でも、それでは「無限を回避した」とはいえないんじゃないのか？
回避できていないとする根拠は？

570 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:49

>>567
>自分が見えるだけで、論理の中に無限大が出てくるわけではない。

そうかもしれない。というか、そうだろうけど、その理由が、わから無い
と言ってるんだよ。
俺には「論理の中に無限大が出てくる」ように見える。
なぜなら、無限にある方法に対して定義を行っているから。

>無限集合は扱わないとは、誰も言っていないように思うのだが・・・。

無限集合を扱ってるのなら、無限を扱ってると思うのだが・・・。

571 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:50

>>569
「とり方が無限個ある」と言っている。
俺は無限個は「個数が無限大」という意味だと思っているので、
無限大を回避してるようには見えない。

572 ：_：03/06/29 01:55

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

573 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 01:57

>>571
個数が無限個とは、適当な自然数 n を取り出して、ｎ以下の自然数全体
の成す集合との間に全単射を作れないということであって、個数が無限大
という意味ではない。

574 ：573：03/06/29 02:00

＞適当な自然数 n を取り出して、ｎ以下の自然数全体の成す集合
＞との間に全単射を作れない
の部分を
n：自然数のうち, n 以下の自然数全体の成す集合との間に全単射を
つくれる n　がない
と訂正。

575 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:01

>>573
なるほど。
でもそこでも、全く同じ論理が使われていて、自然数 nの選び方は
任意である。
ならば、無限個の定義の中に「無限個の選び方」が出てくるので、
循環論法に見える。

576 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:04

どうやら、「任意の選び方」なるものを使って「無限大」が
出てこないようにしようとしているということは伝わるのだが、
俺には前者も後者も本質的には何ら変わりないように見える。
こういうことをする、意味を教えて欲しい。

577 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:07

>>575
本当に興味深い。ではあなたの論理では、実数全体で定義されたはずの関数
f(x)=x とか、g(x)=a*x^2+b*x+c といったものも
「選び方が無限個あるから、定義できない」という話になってしまいそうですね。

578 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:08

>>577
そうだろうな。
「無限が扱えない」とするならば、そうならざるをえない。
だから、無限を扱えるようにするしかないと思う。

579 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:13

関数が扱える理由が無限が扱えるからだと思ってるのは痛い限りだな。

で、なんか話がこじれているようなので言ってしまうが、ε-δ論法というのは
定質的な「無限」の概念を「定量的に扱えるようにした」ってとこがみそ。

ただし、論法の中身には「無限が出てこない」という意味で「無限が回避」
されている。

580 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:13

あと、「無限個」が「個数が無限大」という意味じゃないのなら、
「無限個」は数じゃないのか？
数じゃないとしたら、無限個という言葉を使う意味は？
そもそもどういう文脈で使えるんだ？

581 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:16

>>579
>関数が扱える理由が無限が扱えるからだと思ってるのは痛い限りだな。

無限が扱えないなら、「xが無限に選べる」ということは無限を
扱っていることにならないはずだが。
実際には「無限に選べる」と言っているとおり扱っているように見えるが。

>定質的な「無限」の概念を「定量的に扱えるようにした」ってとこがみそ。

で、これに何の意味があるの？
εを選ぶ方法の「数」は定義できるのか？

582 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:24

>定質的な「無限」の概念を「定量的に扱えるようにした」ってとこがみそ。

つうか、結局扱ってるのか？
つまり、俺の考えが正しいのか？

間違ってると思って質問したんだが･･･

583 ：579：03/06/29 02:26

>>581
・・・関数自体は「元と元との対応」なので、集合の濃度にはよらないのだがね。
まあいい、
＞>定質的な「無限」の概念を「定量的に扱えるようにした」ってとこがみそ。
＞で、これに何の意味があるの？
だから、量として捉えられる。したがって量れるって言ってんジャン。
εの選び方が無限通りとか関係ないし。

てか、俺もなんか引きずられて混乱してしまっているんで、まとめなおす。
おまえら、「極限操作」と「無限」とを混同するな。
ε-δ論法が言っているのは、「無限大に発散したとき」とか「無限に近づくとき」
とかいう「定性的」な極限の話でなくて計算できる量として極限が捉えられる
ということだ。

584 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:28

>>582
だーかーらー、ε-δ論法の中身には無限は出てこないだろ？
「ε-δ論法そのもの」は「無限を扱う為の論理」なの。

585 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:31

>>583
>・・・関数自体は「元と元との対応」なので、集合の濃度にはよらないのだがね。

元が「無限個」なら、関数が存在するために、「無限個」という数を
使わなくちゃいけない。
使わざるをえないと思うのだが。
無限個の定義も納得できない今の俺としては「痛い限りである」
理由が皆目見当つかないわけだが。

>だから、量として捉えられる。したがって量れるって言ってんジャン。

つまり、「無限大」という量が存在し、それを扱ってると
そういうことか？
それだったら、俺の疑問と一致してしまうわけだが。

586 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:33

>>584
だから、少なくとも「任意の選び方」は確実に出てくるわけだろ？
「その数＝無限」なのだから、「論法の中味」に無限が
出てくるとしか言いようが無いが。
つうか、実数全体が出てきてる時点で無限が出てきてると思うのだが。
なぜなら、実数の個数は無限だから。

587 ：_：03/06/29 02:48

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

588 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 02:52

なんか大変なことになってるな・・・
数学には元々無限を扱う仕組みとして集合論つーのがあって、
そこで、要素の数が無限個の集合を扱う方法を決めている。
この枠組みは、昔の数学者が無限に対する直感と矛盾がでないように決めてある。
この直感が >>566 の感性とあってないのが問題なのだと思う。

で、ε-δはこの枠組みを使ってまだ決められてない他の無限を記述するための仕組みだから、
結局ε-δは、無限集合というより簡単な無限に問題を置き換えてるに過ぎないんだよ。

589 ：566：03/06/29 02:54

>>588
いやはや、あなたの書き込みで疑問がすべて解決しました。
感性とあっていないわけではないと思う。

どうもありがとう。

590 ：566：03/06/29 02:55

結局、「無限を扱っている」ということで間違いなかったようだな。

591 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 12:41

　　　　　　あっぱれ>>588

　　　　　　　　　これにて　「εの取り方が無限」厨祭りも幕を閉じたのであった

592 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 13:44

jien

593 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 15:24

無限が出てこないという主張の方が厨だったな。（ｗ

594 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 16:09

たしか集合論での公理で実無限を排除した無限集合を定義できる様にしたんだよね。
ε‐δは素晴らしい道具だけど、無限を扱っているから選出公理を由来とする逆理に出会う可能性はあるわけだよね。

595 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 16:29

無限を扱う＝無限集合を相手にする

の意味なら、無限を扱わない数学の分野など無いよ。

596 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/29 16:30

>>594
ZFは無矛盾だから、逆理に出会う可能性はないと思われるYO

597 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/29 16:30

>>595 有限群論

598 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 16:35

有限群論では自然数や整数は使わないのですか？そうですか。
帰納法も使えないなんて大変ですなあ。

599 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/29 17:57

>>598
別に自然数や整数を使ったからといって、可算濃度を取り扱う必要は全くない。
もう少し有限と無限の勉強をしなＹＯ。
スレ違いだけど

600 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 18:06

600get

601 ：aaad ◆ryUYPic4Ec ：03/06/29 18:10

子供じみたスレですね

602 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/29 18:12

というか、数式に基づく議論でなく印象による議論だから、
殆ど神学論争だＹＯ。
バカバカしいから、ちゃんとした数学の話をした方が建設的だＹＯ

603 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 19:15

>>599
誰も濃度の話なんかしてないが。
無限集合を扱うか扱わないかの話をしているのだ。

604 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 19:15

>>596
じゃあバナッハ・タルスキーはＤＱＮだと？ｹﾞﾗｹﾞﾗ

605 ：_：03/06/29 19:18

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku10.html

606 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 19:19

paradoxには２通りの意味がある。
話が食い違っている原因はそこにある。

607 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 20:22

>>597
有限群論では表現論が強力な手段になっている。これは通常、無限体を扱う。
バーンサイドの定理なんて今はどうか知らないが表現論を使う証明しか知られていなかった。

608 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 20:30

誕生日のパラドクス【Part 5】
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1050319796/l50

609 ：１３２人目の素数さん：03/06/29 21:50

>>606
無限集合、微積分、ε‐δの文脈でパラドックスといえば、どう考えたって
バナッハ・タルスキーをはじめとする選出公理由来のものを指すと思うけどな。

食い違いじゃなくて間違えたダロ！

610 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 01:24

>>609
バナッハ-タルスキの「逆理」は、パラドックス（矛盾）ではなくて、単なる定理。
直観と合わないので、「逆理」と呼ばれるだけ。

611 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 01:40

>>610
ばーか！屁理屈いってんじゃねえ！

612 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 08:30

有限群は無限にあるので有限群論は無限を扱っている。

613 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 08:58

数学の知識は大学生以上なのに、精神面や文体は非常に幼い人が
いますね。

614 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 14:02

>>613
潜在意識による自己評価でつね（ｗ

615 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 21:13

ε‐δを細かく扱ってるサイトはないものか・・・・・・

616 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 21:27

>>615
ε-δは大学に入って一番最初に出会う壁だ。
大学では高校数学までとは違い、簡単に理解できるほど単純な事はやらないのだよ。
大切なのは理解するまで何回も本を読みつづける根気です。
特にεδなんてどの教科書見ても同じような事しか書いてないよ

617 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 21:35

>>610
> パラドックス（矛盾）

そうか、paradoxが矛盾のことだと思ってる間違いが
食い違いの大本だったわけだ。
paradox = 逆理
矛盾 = contradiction, inconsistence

618 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 21:40

だーかーらー、paradoxには矛盾の意味もあるんだよ。
相反する２つの意味を持つわけさ。

619 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 21:44

☆頑張ってまーす！！☆女の子が作ったサイトです☆
http://endou.kir.jp/betu/linkvp2/linkvp.html

620 ：１３２人目の素数さん：03/06/30 22:15

連続と一様連続の違いがいまいち分かりません。誰か教えてください

621 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/30 22:21

>>620=http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1055156439/905
（・３・）　エェー。マルチするなＹＯ。せっかくオレが答えてやったのにＹＯ

622 ：猫：03/07/01 00:46

誰か大学の数学教えてくれませんか？？集合・位相あたりを・・・

623 ：１３２人目の素数さん：03/07/01 01:54

www.reddnat.hpg.ig.com.br/temas/fashion/0008/0008_01.jpg

624 ：１３２人目の素数さん：03/07/01 03:36

>>622
猫に小判

625 ：１３２人目の素数さん：03/07/01 07:15

>>615
ttp://www.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/Bolzano_v_Cauchy.html

626 ：山崎 渉：03/07/15 13:01

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

627 ：１３２人目の素数さん：03/08/05 09:33

3

628 ：山崎 渉：03/08/15 19:18

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

629 ：１３２人目の素数さん：03/09/08 09:25

11

630 ：１３２人目の素数さん：03/10/11 13:47

14

631 ：１３２人目の素数さん：03/11/04 05:29

19

632 ：１３２人目の素数さん：03/11/19 08:41

3

633 ： ：03/11/24 00:42

ちょっとしつれい･････

理科大二部受験生の皆様へ
11月21日〜24日まで開催される理大祭にて、二部受験を希望しているのに赤本がない!!という声にお答えして、解答つき問題集を配布いたします。
冊子はインフォメーションセンターか３５４教室にて。（神楽坂キャンパスのみ）
二部希望者は今すぐＧＯ!
詳細は以下に載ってます。

http://www.ed.kagu.tus.ac.jp/suuken2/guide/

634 ：１３２人目の素数さん：03/11/29 17:33

２９

635 ：１３２人目の素数さん：03/12/08 03:22

28

636 ：１３２人目の素数さん：03/12/10 23:56

>>79
ﾜﾛﾀ

637 ：１３２人目の素数さん：03/12/17 05:55

3

638 ：１３２人目の素数さん：03/12/17 08:39

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1069178454/294-

うんこを発見しました。

639 ：１３２人目の素数さん：03/12/17 16:32

>>638
ﾜﾛﾀ

640 ：１３２人目の素数さん：04/01/04 06:07

30

641 ：１３２人目の素数さん：04/01/12 09:16

30

642 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 03:57

εδで連続性を考えると、有理数も連続となってしまうんですが、εδでの有理数と実数の違いって何なんですか？

643 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 04:00

>>642
＞εδで連続性を考えると、有理数も連続となってしまうんですが、
そんなことはない。証明を示せ。

644 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 04:00

>>642
君は「実数の連続性」をどういうステイトメントのことだと思っているのかね？

645 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 04:57

有理数は加算だけど無限個あるから任意のεに対してδが存在するように思ってしまうんです＾＾；
間違いなのは知ってるけど、どう間違っているのかわからない＞＜
どう間違ってるんですか？

646 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 05:29

> εδで連続性を考えると、有理数も連続となってしまうんですが、
> εδでの有理数と実数の違いって何なんですか？

有理数が連続ってなんですか?
一般に連続性といったら関数の連続性です。
実数の連続性などというのは完備性のことで、有理数は完備じゃないです。

> 有理数は加算だけど無限個あるから任意のεに対してδが存在するように思ってしまうんです

言ってることが無茶苦茶ですよ。

たぶん君はそもそもεδが分かっていない。勉強しなおせ。

647 ：１３２人目の素数さん：04/01/13 16:49

∀ｘ∈Ｒ、∀ε＞０、∃ａ∈Ｑ　ｓ．ｔ．　ａ∈（ｘ−ε，ｘ＋ε）は、
有理数の“連続性”ではなくて、稠密性だよね。

648 ：１３２人目の素数さん：04/01/14 00:39

>>642
いや、多分「連続」と「連続性」が一緒になっちゃってるのだと

「関数が連続」・・εδを使って定義、
「実数の連続性」・・公理、「上限性質を持つ」など

だから「〜が連続」というのは関数（一般的には位相空間上の写像）にのみ使われる言葉
だから数学で「有理数が連続」という言葉は意味を持たない。
「有理数が連続」ってのが「有理数が実数と同じような連続性を持つ」
って意味だとしても間違ってるけどね。εδの前に実数の連続性を勉強しなおした方がいいかも
地味だけど、この「実数の連続性」がめちゃめちゃ大事。今のうちにちゃんと理解しないとね

649 ：646：04/01/14 05:08

>>647
そうか、稠密性と勘違いしてたってのはありそうだな。

650 ：１３２人目の素数さん：04/01/25 13:23

age

651 ：１３２人目の素数さん：04/02/01 04:45

328

652 ：１３２人目の素数さん：04/02/16 07:38

14

653 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 01:12

アブサヤク

654 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 02:55

>>45
遅ﾚｽですみませんが、知ったの何歳のときですか？

655 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 03:47

x→a　のときのf(x)の極限はbである
⇔∀ε＞０、∃δ∈Ｑ　s.t |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε

教科書よんでたらこんなのがあったけど、
これってx=aの場合は考えちゃだめですよね？
だから|x-a|<δの部分は0<|x-a|<δじゃないんですか？

656 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 06:23

>>655
そうだね。君が正しい。その教科書間違ってる。

657 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:04

『０に最も近い実数は０だが、０に最も近い数は０ではない』
これは本当ですか？

658 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:07

>>657
お前の言ってる数ってなんだ?

659 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:10

>>657
その文が意味してることは
実数以外の数で 0 よりも 0 に近い数がある
か、もしくは
後ろのほうの「近い数」の「数」には 0 が入っていない
のどちらかのようだが、
> これは本当ですか？
といわれると、「近い」というのが通常の距離に基づくもので、
「数」が複素数か実数か有理数か整数を表すなら、嘘です、と答えることになる。

660 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:13

『０に最も近い実数は０だが、０に最も近い有理数は０ではない』
でした。すみません

661 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:14

>>655
杉浦や小平も上の表現を使ってる。
俺には杉浦や小平が間違ってるなんて言う勇気はないよ。

662 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:14

>>660
じゃ、嘘です。
0 は有理数だし。

663 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:20

この事を友人から聞いてから考えてみたんです。
結果、実数の列で限りなく０に近づくと、実数は連続であり、濃度がアレフであるから、最も近い実数とくっついて０になる。
また、有理数の場合は稠密なだけで濃度がアレフゼロであるから必ず０と限りなく近い有理数と０との間に実数が存在し、０とはならない。
という考えに達しました。この考えはどうなのでしょうか？

664 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:23

そうなんですか！？私なりに納得しようと考えてみたのですが、無駄どころか勘違いの種になりました（＞＜）
私の考えはどの辺がおかしいですか？ご教授お願いしますm(__)m

665 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:24

無限に近いの間違いでは。

666 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:27

>>655
君の考えでいいんでない｡

まず、f(x)がx=aで定義されているか？という問題がある｡
もし、f(x)がx=aにおいて定義されていたとしても
x→a　のときのf(x)の極限値はbである
⇒∀ε＞０、∃δ∈Ｑ　s.t |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε
は一般には成り立たない｡
しかし
∀ε＞０、∃δ∈Ｑ　s.t |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε
⇒x→a　のときのf(x)の極限値はbである
は正しい。

>>661
具体的にどのページで使われているか知りたい｡

667 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:29

>>663
>０と限りなく近い有理数
これは0以外にありえません。

668 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:40

無限に近いと訂正すると、私の考えは合っているのですか？

669 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:45

また、実数上ではなく有理数上で０と限りなく近い有理数を考えると、０になりました。なんかおかしいですよね＾＾；

670 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:51

『∀ε＞０、∃δ∈Ｑ　s.t |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε』についてですが、これは収束するが、近づくだけでその数にはならないような気がします。
『∀ε＞０、∃δ∈R　s.t |x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε』ならなると思うのですが

671 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:53

>>668-670
いい加減にしろ、これだけいって分からんのならお前には一生分からん。

672 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:57

>>670
f(x)=b for all ｘ∈R　
はその２つみたしますね。ＲがＱでも、、。

673 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 09:58

>>663
> ０と限りなく近い有理数と０との間に実数が存在し、０とはならない。

0 ではないが 0 に限りなく近い有理数というものがあって、
それと 0 の間にはなんらかの(0ではない、有理数でもない)実数があるから
その数(0 に限りなく近い有理数)と 0 は違う、と言ってるわけだね。
実数の場合は、0 に限りなく近い実数と 0 の間には、
0 でも実数でもない数など存在しないから、0 に限りなく近い実数は 0 だ、と。

間に数が存在しない場合等しいってのは正しい。
けど、ある特定の「0 に限りなく近い有理数(0 は除く)」という有理数なんてない。
だから、その数と 0 の間ってものも考えられないし、
そこに実数があるなんて考えられない。

「0に限りなく近づく有理数列」ならあるけど、
それはあくまで数列であって、ある特定の有理数ではない。

ないものを仮定してものを考えちゃいけませんよ。

674 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:02

教科書にだって、誤植もあれば、間違いもある。なんでも鵜のみにせずに、
買わせたのが教授なら直接聞いたらどうだろうか？

675 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:04

だいたい、こんな感じのこんなイメージではすまされない話でのちょっとしたミスは致命的。

676 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:10

なるほど。ということは、『0に限りなく近づく有理数列』は0に収束するが、決して0にはならない。
また、『0に限りなく近づく実数列』は0に収束するし0になる。と考えて良いのですか？間違っていたらすみません

677 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:17

>>676
「0 になる」とはなんだね? 収束以外に何かあるのかね?
数列の特定の項、もしくはある n 以降の項で 0 ということかね?

その辺のことを考えなさい。

678 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:25

確かに！納得しました！

679 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:28

う＾＾；考えてみるとなんか反例みたいなのを思いついてしまいました＾＾；またわからなくなった（＞＜）
有理数からなるコーシー列って有理数に収束値を持たないことがありますよね？このコーシー列の２つの有利数列間の距離をCｎとでも置いて考えてみてはどうなるのでしょうか＾＾；

680 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:30

数学なんだから、いちいち聞かないで、しばらく自問自答してみたらどうなんだ？
一体、なんの為に、数学するんだい？
反例を考えていくのは、良い事なんだけど、、、。

681 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:32

> 有理数からなるコーシー列って有理数に収束値を持たないことがありますよね？

うん。任意の無理数に対し、その無理数に収束する有理数列がある。

> このコーシー列の２つの有利数列間の距離をCｎとでも置いて考えてみてはどうなるのでしょうか

その二つの列が同じ値に収束するなら、Cn は 0 に収束するが、それが何か?

682 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:38

あ＾＾；考えてみたら普通にそうですね＾＾；無理数に収束しても２つの数列間の距離は普通に０になる＾＾；なんかハッキリしました＾＾ありがとうございます♪

683 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:40

ほんとに大丈夫? なんかあるなら今のうちに訊けよ。

684 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 10:46

はい＾＾なんかモヤモヤしていた部分が全て繋がった感じがします！

685 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 11:51

εδを初めて勉強した高校生のような初々しいスレですね。

686 ：１３２人目の素数さん：04/02/24 19:58

ε-δ< ﾆｹﾞﾛｰ!!

687 ：１３２人目の素数さん：04/03/01 09:09

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320012402/
には、解説に多数怪しい所がある、と書かれているが
どこら辺にあったんでしょうか。
気づかなかったんですが。

688 ：１３２人目の素数さん：04/03/01 16:00

>>655
違う。
０＜はない。

689 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 07:57

>>687
それ書いてる奴がアレなのかもしれないし、気にしなくていいんじゃ。

>>688
違わねーよ。
f(x)=1 (x=0), f(x)=0 (x≠0) の 0 の点での極限は 0 だ。
0< を付けないとそうはならない。
0< 無しで極限の定義とすると、極限が存在する点では連続ってことになるし。

690 ：１３２人目の素数さん：04/03/02 09:00

ｌｉｍ＿｛ｘ−＞１｝（（ｘ＾２−１）／（ｘ−１））は存在する。
ｘ＝１は（ｘ＾２−１）／（ｘ−１）に定義域に入ってないので連続でない。

691 ：１３２人目の素数さん：04/03/03 01:02

>>690
だから何?
なんにせよ 0< は付けるもんなんだよ。

692 ：１３２人目の素数さん：04/03/03 02:00

付けないもんなんだよ。

693 ：１３２人目の素数さん：04/03/03 08:11

んなこたない。

694 ：１３２人目の素数さん：04/03/07 14:51

407

695 ：１３２人目の素数さん：04/04/02 09:42

545

696 ：１３２人目の素数さん：04/04/25 18:23

543

697 ：１３２人目の素数さん：04/05/05 08:24

226

698 ：雀聖：04/05/07 19:10

俺もε−δやり直すか。文系なのにいいのか俺は。

699 ：１３２人目の素数さん：04/05/07 20:42

>>688=693
極限の定義も知らないﾊﾞｶは無用です。

700 ：１３２人目の素数さん：04/05/07 21:00

693ではなくて692じゃないのか。
688は0<が要らないと言ってるが
693は、692が0<は「付けないもんなんだよ」と言っていることを「んなことない」と否定してる。
つまり0<は必要だと言っている。
アンカーくらい間違えるなよ。

というわけで
>>688=692
極限の定義も知らないﾊﾞｶは無用です。
理由は689の最後の行。

701 ：１３２人目の素数さん：04/05/07 23:09

>>689 の最後の行は微妙にピントずれてるね。

702 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/05/07 23:35

0＜
はいらないでしょ。複数の極限が存在すると考えれば問題なし。
右極限とか左極限なんていうし。

703 ：１３２人目の素数さん：04/05/07 23:42

またﾊﾞｶが現れたな。
f(x) の x→a のときの極限を考えるとき、f(a) は未定義でいいんだよ！

704 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/05/07 23:58

ヲイヲイ、f(x) の x→aの極限を考える際二通りの値が出てきたらどうすんだ?
ｆ（ｘ）　　ｆ（ｘ）＝2　　　　ｘ＝0
　　　　　　ｆ（ｘ）＝1　　　　ｘが有理数
　　　　　　ｆ（ｘ）＝0　　　　ｘが無理数

この関数のｘ＝0での極限値は複数になるはずだが。

705 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 00:08

意思の疎通が欠けているようだ。

706 ：雀聖：04/05/08 00:13

>>704
最近勉強した初学者だけどそれはf(x)の極限を考察しているように思うのですが。
極限を考えるのにf(x)がどうとかはあまり興味がないのではないでしょうか。
連続を考えてるのなら別なような気がするのですが、皆さんどうなのでしょうか。

707 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/05/08 00:16

ｆ（ｘ）の極限について考えているのでは?

708 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 00:16

>>704
０は有理数ですね（と揚げ足とる

709 ：福田和也 ◆P.o66TRa1E ：04/05/08 00:17

>>708
あぁ、0を除く有理数で1、ね。

710 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 00:18

>>704
複数って、ちなみにおいくつかな

711 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 00:19

極限の定義を勝手に変えないようにしたまへ ＞ 福田官房長官

712 ： ◆P.o66TRa1E ：04/05/08 00:20

3つ。A1=0 A2=0,,,,,,
なる点列も含めて考えて。

713 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 00:23

まともなﾔｼはいないか．．．

714 ： ◆P.o66TRa1E ：04/05/08 00:28

ノシ

715 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/08 00:37

俺、ε-δだけには精通してるからなんでも聞いてよ

716 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 09:09

>>704
> この関数のｘ＝0での極限値は複数になるはずだが。

あぁ？ だれがそんな極限を求めろといってるんだ。

717 ：１３２人目の素数さん：04/05/08 11:39

まじレス。 f(x)= 2 (x=0)，1 (x∈Q-{0})，0 (x∈R-Q)
の、x=0での極限は存在しない。
極限の定義式に「 0< 」を入れようと入れまいと。

718 ：１３２人目の素数さん：04/05/09 21:41

上極限と下極限が一致したときに極限が存在するというのだよ。

719 ：１３２人目の素数さん：04/05/16 16:02

ふむ。

720 ：１３２人目の素数さん：04/05/22 22:53

δを求める方法を教えてください

721 ：１３２人目の素数さん：04/05/25 00:59

結局δ(ε)なのですよ

722 ：１３２人目の素数さん：04/05/25 05:27

>>720
fの点aでの連続性の証明に使うなら
δ=min{ inf_{x: |f(a)-f(x)|>ε} |a-x|, ε }
で計算するのが簡単だよ

723 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 23:10

εδ論法を用いて、関数のある一点での連続性を証明するときに
δをεの関係式で表現してやらないと、やっぱり駄目ですかね？
具体的にいうと
「0<δ<ε^2+ε　を満たすδにおいて・・・」とするよりも、
「δ=min{ε/5,2}とすれば・・・」などと言うような解答を作るべきですか？

724 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/27 23:37

んなことない。
示すべき事実を示すだけでいい。
δの取り方なんて一意的じゃないんだから。

725 ：１３２人目の素数さん：04/05/27 23:43

それが一度前者の解答を書いて、先生に思いっきり×食らったんですよね（汗
「まだεδの意味がわかってないねぇ」とまで言われた。計算は間違っていなかったはずだけど…

726 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/27 23:45

それは根本的にほかが間違っているんだろう。

727 ：堀江由衣：04/05/28 03:45

>>715
高校生？
それはそうと大学に入る前にεδだけは完璧に理解してくる人多いね。
んでもってデデキント切断とかinf、supをつかってlimを定義する方法とかに
面食らって一気に挫折。

728 ：１３２人目の素数さん：04/05/28 12:29

f(x)=√(x+2)　が　x=2　で連続である事を示せ。

　｜f(x)-f(2)｜=｜√(x+2)-√2｜=｜x/(√(x+2)+√2)｜≦｜x/√2｜
　∵（√(x+2)+√2≧√2）
　なので、任意のεに対して、0<δ<(√2)ε　としてδをとれば、
　｜x｜<δをみたす任意のxに対して
　｜x/√2｜<｜(√2)ε/√2｜=ε　となる。

どこが間違ってるのか教えてください…

729 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/28 14:53

δの取り方が激しく意味不明
ｘ＝２で連続を示すのに、なぜそんなδの取り方してるんだ？
教科書嫁レベルだったな。
出直してきなさい。

730 ：728：04/05/28 15:15

ごめん即興で問題考えてたから激しくミスった。ちょっとまって。

731 ：728：04/05/28 15:18

x=0における連続性だった。｜f(x)-f(2)｜も｜f(x)-f(0)｜の間違い。

732 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/28 15:44

なんか日本語の順序が聞いたことない順序だけど、間違ってはいないんじゃない？

俺はこうやる。
∀ε＞０、∃δ； |ｆ(ｘ)−ｆ(０)|＜ε（|ｘ|＜δ)
を示すんだから、まずどのようなδかをεによって決める。
｜x/(√(x+2)+√2)｜＜｜x/(√ｘ+√2)｜＜|ｘ/√ｘ|＝√ｘ
なので、
∀ε＞０、∃δ＜ε^2；|ｆ(ｘ)−ｆ(０)|＜ε（|ｘ−０|＜δ)

変なところを言うなら、｜x/(√(x+2)+√2)｜≦｜x/√2｜ だろうか。
分母も分子もｘの関数だから、分母を一気にそうもっていくのはマズいかな。

733 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/28 15:58

あと、もうちょっと複雑なのになれば、
|○|＜εを逆に解いて先にδに検討をつけるんだぞ。
それから証明汁

734 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 01:30

ｘの関数だろうがなんだろうが
０≦Ａかつ０＜Ｂ≦ＣならばＡ／Ｃ≦Ａ／Ｂ。

735 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/30 01:46

そうだけど、あえて言うならってことだ。
別に間違っていない。
まぁ、あえてもクソもないけどな。
「どうせならこうやる」みたいに書いたつもりだけど、少し言い方悪かった

736 ：１３２人目の素数さん：04/05/30 05:05

>>732は０≦√（ｘ＋２）となることが分かってない。

737 ：ε-δ ◆wFtHsXYwD6 ：04/05/30 11:17

>>736
許してよ

738 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 00:04

544

739 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 21:22

たびたび申し訳ないのですが
f(x)=x^2は連続を示す
aを任意の実数とする
任意のε＞0に対しδ＝min｛1,ε/2|a|+1｝とおくと
δ＞０で|x-a|<δならば
|ｆ(ｘ)−ｆ(a)|=|x^2-a^2|=|x-a||x+a|=<δ（２|a|+1）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦ε
よって連続
の意味がよくわかりません。どなたか解説お願いします。

740 ：１３２人目の素数さん：04/06/07 21:57

毎年この時期になるとεδ厨が増えるな
まぁ何年か前の俺もその厨の一人だったんだが

>>739
任意のεに対して〜を満たすδが存在する
の意味をイメージしまくれ。後は慣れ
色んな本読みまくってイメージを固めてくしかない

その場合も明らかにδの取り方はε（任意）に依存してるだろ

741 ：数学科二年 ◆z43KfXmNYE ：04/06/07 22:24

>>739
別にそんなことしなくてもできそうだけど、
とにかく|ｘ−ａ|＜δを変形しまくる。
|ｘ|＜|ａ|＋δ，|ｘ|＋|ａ|＜δ＋２|ａ|などなど・・・
>>740さんの言うとおり、最後の不等式にもっていくことが大事じゃなく、
任意のεに対して、どんなδをもってくればいいのかを考える。

742 ：１３２人目の素数さん：04/06/08 00:04

708

743 ：１３２人目の素数さん：04/06/14 14:48

107

744 ：１３２人目の素数さん：04/06/15 15:25

test

745 ：１３２人目の素数さん：04/06/18 01:18

あげておきます

746 ：１３２人目の素数さん：04/06/18 21:31

ε−δ法って、日本語になってないから初学者が戸惑うんじゃないの？
英語で読むと意外とスッキリしてて、気持ちいいよ

747 ：１３２人目の素数さん：04/06/19 00:13

いや違う。日本語は語順で意味が決まるという構造を持たないから、日本語に
すると複雑に感じるだけ。

748 ：１３２人目の素数さん：04/06/27 22:04

712

749 ：ご冗談でしょう？名無しさん：04/06/29 01:08

>>739
(もう遅い?)
(1) 任意の\epsilon>0と
(2) 任意のa \in Rに対して，
(3) ある\delta >0があって(\deltaは\epsilon, aに依存する)
(4) |x-a|<\deltaなる任意のx \in Rで(もちろんxはa, \deltaに依存する)
(5) |f(x)-f(a)| < \epsilon
を示す．これが連続の定義．

ちなみに
|f(x)-f(a)| \leq \epsilon
|f(x)-f(a)| < \epsilon
のどちらを示しても同じことです．
この同値性を示すのは\epsilon-\deltaの練習に結構いいと思います．
暇だったら示してみてください．

とりあえずxは|x-a|<\deltaであると思って固定しておく．
どのような\deltaがよいかはこれから決める．

(6) |f(x)-f(a)| = \leq \epsilon

と評価したいのだが，
まずxをa,と\deltaで書くことで消去する．
それから\deltaを\epsilon, aを用いてどのように書けば\leq \epsilonの形で評価できるか考える．
(変数の依存関係(3),(4)に注意)
ここまではfの形に関係なく，一般的な指針．

750 ：ご冗談でしょう？名無しさん：04/06/29 01:12

続き（訂正(6)→ |f(x)-f(a)| < \epsilon )

これからfに応じた個別の考察がいる．
|x-a|<\deltaという形を持っているので
(7) |f(x)-f(a)| = |x^2-a^2| = |x-a||x+a|
と変形した方がよいと気づく．なぜなら|x-a|ごとxが消去できる．
残ったのは|x+a|だが，|x|-|a| \leq |x-a|<\delta　より|x|<\delta+|a|だから|x+a| \leq |x|+|a| < \delta+2|a|.
したがって
|f(x)-f(a)| = |x^2-a^2|
= |x-a||x+a|
\leq |x-a|(|x|+|a|)
< \delta (\delta + 2|a|).
これでxがなくなったので，
(8) \delta (\delta + 2|a|) < \epsion
は\deltaを\epsilon, aでどう書けば満たされるかを考える．
これは(8)を\deltaに関する2次不等式とみて
\delta < \sqrt{|a|^2+\epsilon}-|a| (>0)
とおけばよいことは直ちにわかる．そして意図した不等式|f(x)-f(a)| < \epsilon　を得る．
別の\deltaの取り方としては\delta = \min{ 1, \epsilon/(1+2|a|) }がある．
こうすると\delta \leq 1　かつ　\delta \leq \epsilon/(1+2|a|)だから
\delta (\delta + 2|a|) \leq \delta (1+2|a|) \leq \epsilon.
この\deltaの取り方はちょっと技巧的だけど，こういう評価の仕方に慣れることは，もちろん重要．

751 ：linear PDE ◆O5M8Y2WWjk ：04/06/29 20:04

TeXで書かれると見ずらい罠．

752 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 01:31

脳内dvioutでフィルタかけるのはTeXnicianのデフォ

753 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 01:46

単純なことでも
750みたいに書くとウザイな

754 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 21:06

ε-δって近似概念の正当化法の一つに過ぎないとおもうんだけど。

755 ：１３２人目の素数さん：04/06/30 21:11

>>754

何が言いたいのか良くわかりません。

756 ：１３２人目の素数さん：04/07/01 04:50

>>754
正当化っていうより定式化だと思うんだけど。

757 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 20:14

高１のとき
基礎数学選書「微分」という本でεδの説明を読んで
すいすい理解できた。
あれほどわかりやすい説明を他の本で見たことない。

758 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 20:22

>>757
その本の詳細をいへ

759 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 20:23

基礎数学選書　茂木勇「微分」
これで十分だ

760 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 20:31

>>759
ゼパーン本だな。

761 ：１３２人目の素数さん：04/07/17 20:32

古本で買った

762 ：１３２人目の素数さん：04/07/22 16:49

日本人が発明してたら、にーほ論法だったな。

763 ：１３２人目の素数さん：04/07/30 10:56

642

764 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 22:38

さっぱり理解できないや
ぜんぜん使いこなせない

765 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 23:10

ε-δ に変なロマンもってんじゃねーよ
ヴァカども

766 ：１３２人目の素数さん：04/08/07 21:38

三年。

767 ：１３２人目の素数さん：04/08/08 02:26

ほしゅったらageろ！

768 ：１３２人目の素数さん：04/08/14 10:49

709

769 ：１３２人目の素数さん：04/08/21 13:51

828

770 ：１３２人目の素数さん：04/08/21 21:41

739 の証明を理解することは基本的で重要。
x^2 が実数全体を定義域とするとき一様連続でない。
そのため、このδの取り方は a によっている。
そこをわかっていれば、かなりの線。

771 ：１３２人目の素数さん：04/08/21 21:51

>>770
ネタ？一回の前期で習うことじゃないか。

772 ：１３２人目の素数さん：04/08/22 06:22

>>771
つまり、連続関数の積が連続となるということが難しいことだと
いうこと。x^2 の場合、delta は epsilon と a の連続関数でと
れるが、ではどういうとき、連続関数でとれるのか? 連続関数で
delta が epsilon と a の連続関数でとれない例をあげよ、と
いった問題になると、そう簡単ではない。

773 ：１３２人目の素数さん：04/08/29 23:53

146

774 ：１３２人目の素数さん：04/09/04 02:42

269

775 ：１３２人目の素数さん：04/09/09 03:47

469

776 ：１３２人目の素数さん：04/09/09 14:54

えーろ論法

777 ：１３２人目の素数さん：04/09/12 14:50:19

小論法ー

778 ：１３２人目の素数さん：04/09/17 22:13:20

969

779 ：１３２人目の素数さん：04/09/23 04:19:40

992

780 ：１３２人目の素数さん：04/09/27 23:49:14

605

781 ：１３２人目の素数さん：04/10/03 23:37:36

375

782 ：１３２人目の素数さん：04/10/08 22:55:10

499

783 ：１３２人目の素数さん：04/10/14 01:41:40

730

784 ：１３２人目の素数さん：04/10/14 21:22:17

>>750
TeX はコンパイルして出してくれよ

785 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:42:27

Re:>784 そういえば、DVIファイルがネットに転がってるのを見たことが無い。

786 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM ：04/10/14 21:45:14

Re:>785 どうでもいいけど、偽者は消えてくれ。

787 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:45:50

Re:>786 何の偽者だよ？

788 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM ：04/10/14 21:46:25

Re:>787 俺様の偽者だ。おまえ、いいかげんにしろよ。

789 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:47:23

Re:>788 二番煎じが何をいうのか？

790 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM ：04/10/14 21:48:20

Re:>789 ウンコしか言えない偽者が何を言うのか？

791 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:50:18

Re:>790 お前とうとう痴呆が始まったか？

792 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

793 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM ：04/10/14 21:52:14

Re:>791 ウンコしか言えないお前のほうが痴呆だろ？
みんなにどんなに迷惑かけたと思ってるんだ、馬鹿野郎。

794 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:52:40

Re:>792 お前何考えてんだよ？

795 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:53:51

Re:>793 ウ■コと言ってるのはお前だろが。

796 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM ：04/10/14 21:54:46

Re:>795 偽者が、いまさら人のせいにする気か？

797 ：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw ：04/10/14 21:59:35

Re:>796 私の所為ではないしな。それに何の偽者だよ？

798 ：１３２人目の素数さん：04/10/15 23:58:53

逝かれた自作自演はこっちでやれよ。
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1090091601/l50

799 ：１３２人目の素数さん：04/10/20 18:19:34

462

800 ：１３２人目の素数さん：04/10/25 11:04:17

859

801 ：１３２人目の素数さん：04/10/31 13:32:03

411

802 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

803 ：１３２人目の素数さん：04/11/05 21:39:03

715

804 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

805 ：１３２人目の素数さん：04/11/13 03:39:27

923

806 ：あぼーん：あぼーん

あぼーん

807 ：１３２人目の素数さん：04/11/16 07:52:24

king にそんな勇気無いよ

808 ：１３２人目の素数さん：04/11/23 06:32:43

407

809 ：１３２人目の素数さん：04/11/30 11:54:52

800

810 ：１３２人目の素数さん：04/12/07 16:59:04

702

811 ：１３２人目の素数さん：04/12/14 11:43:24

137

812 ：１３２人目の素数さん：04/12/21 14:51:08

279

813 ：１３２人目の素数さん：04/12/23 19:41:38

ほしゅったらageろ！

814 ：１３２人目の素数さん：04/12/28 20:07:34

435

815 ：１３２人目の素数さん：05/01/01 17:14:53

663

816 ：１３２人目の素数さん：05/02/10 19:46:21

ほしゅったらageろ！

817 ：１３２人目の素数さん：05/02/18 01:24:13

533

818 ：１３２人目の素数さん：05/02/27 10:44:02

895

819 ：１３２人目の素数さん：05/03/10 00:26:04

844

820 ：１３２人目の素数さん：05/03/10 00:46:36

宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教宗教

821 ：１３２人目の素数さん：05/03/17 18:59:06

>>820
氏ね

822 ：１３２人目の素数さん：2005/03/21(月) 23:50:26

age

823 ：１３２人目の素数さん：2005/04/03(日) 02:54:36

358

824 ：１３２人目の素数さん：2005/04/03(日) 03:16:30

あぼーん対象を正規表現で指定出来たらいいのにな。
ある文字列の10回以上の繰り返し、とか。

825 ：１３２人目の素数さん：2005/04/03(日) 16:11:47

稚拙な……

826 ：１３２人目の素数さん：2005/04/05(火) 03:14:59

糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞
糞

827 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 04:43:11

558

828 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 06:12:16

イプシロンデルタは極限を正確に定義する方法だろ。これを宗教とかいってるやつはばかだな

829 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 06:41:28

イプシロンデルタはものの言い方だよ。

830 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:06:48

それは間違い。εδを導入することで言えることが多くなる。

a(n)→α、b(n)→βのとき、ab→αβはεδでなければ証明できない

831 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:10:39

>>830は新一年生

832 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:12:48

間違い。俺は法学部3年生

833 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:31:27

どうりで言ってることが厨房臭いわけだ。

834 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:35:07

なんとでもいえ。おれは法学部なのにεδができる。厨房とかいわれてもでもいたくもかゆくもない。だって法学部だから

835 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 07:35:38

数学屋は職がなくてかわいそうでつね

836 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 09:42:24

>>835
やたらと悔しがってるだろｗｗｗ
実数列の極限でちょっと不等式の評価いじったからって恥ずかしくないの？
厚顔無恥とはこのことですね。

837 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 09:44:03

別に。俺はお前ら無職同然と違って将来を嘱望されてる法学部生だから趣味でやってる数学がどうなったところで
将来に影響しないので痛手なし。むしろお前らみたいに数学で成功しないと食っていけない奴は哀れだな。

838 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 09:47:18

世間に爪弾きにされ、才能もないのにあると思って数学ばっかやって成功せずに野垂れ死にするのが数学者の末路

839 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 09:48:38

数学記号みたいな金にもならないものしか威張れない役立たず、ゴミ。法学部卒渉外弁護士が年収一億かせいでいるのに
数学者は収入もなくその日暮

840 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 10:31:02

法学部のヤシ必死だなｗｗｗ

841 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 12:12:34

ロースクールが出来て弁護士資格を取りやすくなったら、
弁護士の価値が暴落するだろうからな。

842 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 13:08:02

法学部3年生で数学をちょこちょこやってるなら負け組。
または現実逃避組。
勝ち組の場合は、司法試験と国家一種試験の勉強を両方やってて
土曜日の朝早くは7時台にはなかなかおきれないと思う。
　　または土日はﾃﾆｽｻｰｸﾙの活動で
朝早くに家を出て
さんさんと太陽の光の注ぐ中
どっかのﾃﾆｽｺｰﾄで御茶ノ水なんかの女の子と遊んでるとか。
　　法学部の勝ち組は、その以後の人生は
　　美人の奥さんの美貌を維持するための働き蜂になる
　　という説があるけど。

ところでここは数学者をﾏｼﾞｷﾞﾚさせるｽﾚなのかな？

843 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 13:23:45

別にεδが無くても超準解析があるし。
自分の知ってることが全てだと思ってるような香具師が法学部に行ってるってのは
考えただけでもゾッとするな…。

844 ：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU ：2005/04/23(土) 13:47:49

Re:>839 お前にそんな金があったら、私の邪魔をする奴を止めてください。

845 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 19:48:01

理解できなくても超準解析と言っておけばＯＫと思っている奴ならいる

846 ：１３２人目の素数さん：2005/04/24(日) 00:46:03

みんなでsynthetic無限小解析を流行させようぜ

847 ：１３２人目の素数さん：2005/04/24(日) 01:00:45

synthetic無限小解析と言いたいだけの馬鹿きた

848 ：１３２人目の素数さん：2005/04/24(日) 06:34:32

馬鹿といいたいだけの馬鹿が巣食ってるからこのスレもうだめぽ

849 ：１３２人目の素数さん：2005/04/24(日) 19:21:43

このスレは最初からだめぽ

850 ：１３２人目の素数さん：2005/05/09(月) 21:50:29

746

851 ：１３２人目の素数さん：2005/05/28(土) 13:48:39

ていうか「論法」っていうのがどういう意味かわからない。

極限の定義じゃないのか。数列anの極限aは任意のεについてnが存在してn<mなら|am-a|<ε。>>495はその実数関数のバージョン。他に極限の定義ってあるの？

論法って背理法とか帰納法と何かを証明する手法でしょ。この論法はいったい何を証明するんだ？

852 ：Mozilla in X11：2005/05/28(土) 15:16:03

>>851
論理とは、読んで字のごとく「論ずる方法」のこと。何かを証明する
手段とは限らない。極限の定義をするのに、εーδ論法が必要になっ
た。極限がこのように数学的に定義できなければ連続の定義すらまま
ならない。

853 ：１３２人目の素数さん：2005/05/29(日) 03:27:48

まあ極限が定義も曖昧なまま使われていた時代があって。その経緯で既にあった概念をただしく議論しなおす方法ということなのかもしれない。

最初の曖昧な定義ってどんなもの？無限大のときの値とか等しくなくて限りなく近いときの値って定義だったの？

それならば極限が存在することやある値になるという種類の命題があったら。それを無限大や限りなく近い値を認めない普通の数学で証明する論法ということかも。

854 ：１３２人目の素数さん：2005/05/29(日) 03:31:16

>>853 命題をそういうふうに使うのは、
哲学マニアで数学ができないやつだけ。

855 ：１３２人目の素数さん：2005/06/06(月) 09:55:43

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856 ：１３２人目の素数さん：2005/06/11(土) 07:07:36

age

857 ：１３２人目の素数さん：2005/06/11(土) 18:48:14

極限を言うのだったら、εだけで良いのだろ。

858 ：１３２人目の素数さん：2005/06/26(日) 02:07:14

67

859 ：１３２人目の素数さん：2005/07/31(日) 06:42:52

907

860 ：１３２人目の素数さん：2005/07/31(日) 07:25:11

クソすれのなかに、こんな高度なスレをあげるなんて・・・。
よい文献おしえれ。

861 ：１３２人目の素数さん：2005/08/06(土) 01:49:48

http://d.hatena.ne.jp/fer-mat/

862 ：１３２人目の素数さん：2005/08/07(日) 21:38:30

四年。

863 ：１３２人目の素数さん：2005/08/10(水) 23:11:42

age

864 ：１３２人目の素数さん：2005/08/28(日) 03:54:29

大学1年でつまずく人多いな

865 ：１３２人目の素数さん：2005/08/29(月) 16:11:03

任意のε＞0に対して次の不等式（１）を満足することと（２）を満足することは同値ですか？
（１）ｘ＜ε
（２）ｘ≦ε

866 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/08/29(月) 22:59:32

talk:>>865 私は惑わされないぞ。同値ではない。

867 ：１３２人目の素数さん：2005/08/29(月) 23:38:34

どうちじゃないの〜？

868 ：１３２人目の素数さん：2005/08/30(火) 00:04:09

どちらも(-∞,0]に見えるんですけど・・・・

869 ：１３２人目の素数さん：2005/08/30(火) 16:21:39

>>865
上げ足取りだが、その言い方だとそもそも命題が一つしか上げられていない。

870 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/08/30(火) 19:05:37

talk:>>865 x=εのとき反例。私は惑わされないぞ。

871 ：１３２人目の素数さん：2005/08/30(火) 19:07:17

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なにか見えてこないかい？

872 ：１３２人目の素数さん：2005/08/30(火) 21:11:36

∀ε>0 ( x＜ε ⇔ x≦ε ) は不成立。
∀ε>0 ( x＜ε ) ⇔ ∀ε>0( x≦ε ) は成立。

873 ：865：2005/08/31(水) 02:32:13

私の感覚では
（１）ではｘ＝０、（２）ではｘは無限小
って感じなんですけど、いまいち消化不良で。
>>872さんによれば同値ではないのか。ふ〜む。

874 ：１３２人目の素数さん：2005/08/31(水) 02:33:13

http://orz.2chan.net/13/src/1125408473602.jpg

875 ：865：2005/08/31(水) 02:43:29

あれっ・・てか
（i）∀ε>0 ( x＜ε ⇔ x≦ε )
（ii）∀ε>0 ( x＜ε ) ⇔ ∀ε>0( x≦ε )
この２つはどう違うんでしょうか？
（ii）の場合は⇔の右と左でεが別々に選ばれてるってこと？

876 ：１３２人目の素数さん：2005/08/31(水) 08:10:51

872 は正確にいえば、
∀x∀ε>0 ( x＜ε ⇔ x≦ε ) は不成立。
∀x(∀ε>0 ( x＜ε ) ⇔ ∀ε>0( x≦ε )) は成立。

普通、∀が省略されることが多いから,872 のように書かれる
こともある。これが 866=870 の錯覚の説明。

一方で、
∀x(∀ε>0 ( x＜ε ⇔ x≦ε ) ⇔ (∀ε>0 ( x＜ε ) ⇔ ∀ε>0( x≦ε )))
は成立。

877 ：865：2005/08/31(水) 13:52:27

∀x∀ε>0 ( x＜ε ⇔ x≦ε ) は不成立。
∀x(∀ε>0 ( x＜ε ) ⇔ ∀ε>0( x≦ε )) は成立。

であるわかりやすい理由お願いします。

878 ：１３２人目の素数さん：2005/08/31(水) 16:35:34

上式で x=ε=1 の場合「⇔」の左は偽、右は真 。

下式は x > 0 の場合、「⇔」の両辺とも偽 、
x ≦ 0 の場合、「⇔」の両辺とも真 。

879 ：１３２人目の素数さん：2005/09/28(水) 17:56:38

一様連続と連続の違いがピンときません。

http://www.ma.is.saga-u.ac.jp/uehara/bmath04/bm2len12.pdf
の(12.2)と(12.3)の違いが分からないです。
(12.2)のx_0をyにおきかえれば、(12.2)と(12.3)が同じ式になるような気がして・・・

何か分かりやすい解説はないでしょうか。

＞621 ：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU ：03/06/30 22:21
＞>>620=http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1055156439/905
＞（・３・）　エェー。マルチするなＹＯ。せっかくオレが答えてやったのにＹＯ

はもう見れないみたいです・・・

「連続」といわれるとイメージは沸くんですが（「グラフが途切れず、繋がっていれば連続」みたいに）、
「一様」のイメージがわきません。

880 ：１３２人目の素数さん：2005/09/28(水) 18:57:48

エプシロンとデルタはどんな関係だったの

881 ：１３２人目の素数さん：2005/09/28(水) 20:07:59

イプシロンとデルタはどちらが先か。。

882 ：１３２人目の素数さん：2005/10/08(土) 15:54:01

194

883 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 15:34:32

>むしろお前らみたいに数学で成功しないと食っていけない奴は哀れだな。

ありがとう

884 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 15:35:45

デルタだろ。

885 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 16:41:02

>エプシロンとデルタはどんな関係だったの

不倫だよ
エプシロンが台所にいるとデルタが郵便屋なんだけど
入ってくるんだ

886 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 19:24:09

age

887 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 19:27:06

エプロンーデルタ論法、、、古代ギリシャで発見されたメイド系哲学

888 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 19:33:33

ぶっちゃけこんなの中3とか高1でも理解できると思うんだけど

889 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 19:35:34

超準解析ならこんなものいらねー

890 ：１３２人目の素数さん：2005/10/20(木) 19:42:36

>>879
アフォ？
っていうか何年生？中3とかならわかるけど高3とかでそーいうのはどうなのよ
たとえばy=1/x
が(0,1]で定義されていたとしよう
この関数は連続だ
だけど一様連続ではない
なぜならば如何なるεをとったとしてもある定数δはとりえない
なぜならばイプシロンに対して関数δ（ε）が定まりイプシロンが小さければ小さいほどδ（ε）はいくらでも小さくなりある定数なんぞはとることが出来ない
図を描け

当たりだが[0,000000001,1]でも上の関数は一様連続だし(0,0000000000000000001、1]でも一様連続だからな
なぜならば上の区間のもっとも小さい数より遥かに小さい数に対して更にとてつもないほど小さくεをるとδ（ε）はとてつもなく小さくなる
そんなδ（ε）を定数デルタにすれば一様連続だ

891 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 02:40:37

>>881は>>879の回答か？

まだ、一様の言葉の意味がわからん。
「連続性」に何か尺度を持たせて、それが一様（同じ）って意味？

892 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 02:46:38

>>891
その通り！
連続性の程度をδで表して，
x軸上のどこででも，同じδが使えるときに
一様連続というのさ

893 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 05:43:02

一様連続じゃないと微分できないから

894 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 07:59:31

>>893
1/x (x>0)ってxで微分出来ないのか。知らなかった。

895 ：１３２人目の素数さん：2005/10/21(金) 23:22:04

>>890の例について丸一日悩むのがよかろう。

896 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 00:05:46

ε-δ論法ってのは、a<bである、ある実数a,bを考えた時
かならずa<x<bを満たすxが存在するってのを利用した論法って事ですかね？

897 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 09:03:58

連続性の公理を全て勉強汁
それまでは発言を我慢汁

898 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 09:32:22

よりエレガントな公理からよりトリビアルな公理まで、順に並べてみよう！

899 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 11:23:57

ルール
先ず誰かが最初の一つ目の公理を投稿する
次の人は別の公理を投稿すると共に、その同値性を証明
その途中で別な公理を使ってはダメ
果たしてこのスレの残りはそれで全て埋められるのだろうか…

900 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 13:44:23

最初の投稿は、最もトリビアルな公理と最もエレガントな公理のどっちがいいのさ。

901 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 14:15:24

アルキメデスの原理
lim_{n→∞} n=+∞

902 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 14:18:04

トリ〜ビア〜♪

903 ：１３２人目の素数さん：2005/11/07(月) 16:56:04

ちょっとずつ積み上げてエレガントにしていきましょう！

904 ：１３２人目の素数さん：2005/11/18(金) 11:18:50

570

905 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 12:17:44

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なにか見えてこないかい？

906 ：１３２人目の素数さん：2005/12/05(月) 12:52:15

練習問題を出す。
関数f(x)=xは0で連続であることを示せ。

907 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 04:24:33

>>906
ぬるぽ

908 ：１３２人目の素数さん：2005/12/07(水) 23:17:54

任意に正の実数εが与えられたとする。
δ＝εとおくと、δも正の実数であり、
0＜|(x-0)|＜δ　ならば　|f(x)-f(0)|=|f(x)|=|x|＜δ=ε
∴ｆ(x)はx=0で連続

909 ：１３２人目の素数さん：2006/01/02(月) 02:03:46

425

910 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 11:36:47

金具

911 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2006/01/25(水) 11:39:07

talk:>>910 私を呼んだか？

912 ：１３２人目の素数さん：2006/01/25(水) 16:51:57

簡単なことでも
伝え方によっては
むずかしく見えることがある
という代表例だ

913 ：１３２人目の素数さん：2006/02/05(日) 07:01:51

147

914 ：１３２人目の素数さん：2006/02/25(土) 02:53:38

>>893
積分

最近、微分方程式f'(x)=F(x,f)で、F(x,f)がf(x)に関してリプシッツ連続のとき解が一意的に決まる事を知った。
何か感動した。連続も奥がふけーな。

915 ：１３２人目の素数さん：2006/03/01(水) 20:59:37

age

916 ：１３２人目の素数さん：2006/03/06(月) 16:43:51

数学にはルールってものが存在する

917 ：１３２人目の素数さん：2006/03/06(月) 16:58:25

根本的な証明なのに、初めて習う人が納得しにくいということは証明としては失格だな。
だって一般人を納得させられてないじゃん。

918 ：１３２人目の素数さん：2006/03/06(月) 17:29:03

これを認め合うからこそ、数学という学問は成立する

919 ：添削：2006/03/09(木) 00:34:25

>>917
× 初めて習う人 → ○ 917
× 一般人 → ○ 917

920 ：１３２人目の素数さん：2006/03/26(日) 14:15:57

921 ：１３２人目の素数さん：2006/04/15(土) 19:47:23

922 ：１３２人目の素数さん：2006/05/02(火) 23:42:41

これを高校生で理解するのは不可能か？

923 ：１３２人目の素数さん：2006/05/06(土) 17:11:08

age

924 ：１３２人目の素数さん：2006/05/06(土) 17:16:34

しょせん公理だろ。
代数サイクル＋演算構造＋定義空間でやろうぜ。

925 ：ピカ ◆FMcOvuHCU. ：2006/05/06(土) 17:18:01

これ意味分からんよな

926 ：１３２人目の素数さん：2006/05/06(土) 17:20:12

次スレは、「ブルバキスタイル VS εーδ論法」で。

300日 一本勝負。

927 ：927：2006/05/06(土) 18:05:05

9-2=7

928 ：１３２人目の素数さん：2006/05/10(水) 18:49:14

数学での証明法
矢ケ部 巌
http://www.amazon.co.jp/gp/product/432001247X/503-5605893-5925536?v=glance&n=465392&SubscriptionId=15JBHWP7TH9QYT1RMHG2
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/50280612.html
こんな感じの本他に知りませんか？

929 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 20:13:00

以前は、今頃に書き込みが多かったスレだが・・・
最近は、εーδ を最初にやらないことも増えたな。

930 ：１３２人目の素数さん：2006/05/12(金) 23:16:18

>>922
これはそのうち高校の課程に含まれるだろう。

931 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 00:18:00

>>928
俺が書いている。そのうち出るから待て。

932 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 00:47:34

これを教えるまえにトポロジーをやるべき。

933 ：１３２人目の素数さん：2006/05/13(土) 18:24:29

>>931
ホワッチュ・ユア・ネエム？

934 ：１３２人目の素数さん：2006/05/26(金) 11:41:45

378

935 ：１３２人目の素数さん：2006/06/16(金) 00:04:19

890

936 ：１３２人目の素数さん：2006/07/19(水) 15:42:19

まともな理論に対してタテツく場合は、↑のような非難を受けるのが当然の仕打ちだということをよーく考えてね

937 ：sage：2006/07/23(日) 21:31:50

つまりはさ、
「この廊下は無限に続きます」じゃなくて
「この廊下は何m続くとでしょう？あなたがなんと答えようがこの廊下はそれより長いです」

「動点Pは点Aに限りなく近づきます」じゃなくて
「PとAの距離はどれぐらいでしょう？あなたがなんと答えようがこの距離はそれより小さいです」

ってことでしょ？

938 ：１３２人目の素数さん：2006/07/23(日) 22:01:03

>>368のせいでこのスレがものすごく見にくいんだけど

939 ：１３２人目の素数さん：2006/07/23(日) 23:33:32

1000ゲットしますた

940 ：ぴか ◆pikaMw.D1M ：2006/07/24(月) 05:50:58

>>938
どんなブラウザを使ってる？

941 ：１３２人目の素数さん：2006/07/28(金) 17:54:58

194

942 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 13:57:03

>>929
おいらの大学では論理記号をしっかり習ってからε-δ論法に入った。
「任意の〜」とか「〜が存在して」がちゃんとわかってないと、ε-δ論法は一層難しく感じると思う。

943 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 15:35:15

>>942
昔は命題論理や述語論理の初等的理解は高校に範囲だったんだけどな。
ゆとりの弊害がここにも

944 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 15:41:00

>>943
すまんが、それだけは俺、洗脳と呼ばせてもらいたい。

945 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 15:46:54

脳を洗えばいいじゃないか

946 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 15:50:02

>>944
かもな。お互いｗ

947 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 15:54:27

>>946
だから数学が好きだｗ

948 ：１３２人目の素数さん：2006/08/07(月) 23:38:30

五年二時間。

949 ：１３２人目の素数さん：2006/08/08(火) 00:54:16

5年も持ってるのかこのスレｗｗｗｗｗ

950 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 18:00:59

今リア高2で、n-εのさわりやってるんだが、
任意のεに対して、数列{An}の極限値がbのとき
|An-b|<ε
を満たすnがL以上になるようなＬを上手く見つけることができる
と言う理解でＯＫ？
あと、このＬは見つけることができると言う事に意味があり、値はいらないの？

951 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 18:07:40

それだとA1=bのときL=1でおｋってなことにならんかな
やっぱ「n>=Lの全ての整数nについて|An-b|<ε」を満たすLが存在するって考えたほうがいいと思う

952 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 18:16:57

>>951
即レスサンクス
951が言った事を言いたかったんだが、日本語力が未熟だった。
Ｌより小さいｎで、　|An-b|<ε　を満たすnがあっても問題ないよね
こんな工房に丁寧に教えてくれてありがとう

953 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 21:19:09

>>950
あなたの書き込みの中で意味が取れないところがあるので、これを見て
考えてください。

「n→∞のとき、a[n]→b　（　a[n]　は或る値 b に限りなく近づく）」
とはどう定義されるのがいいかという問題ですね。

「a[n]　が b に限りなく近づく」という事は
「a[n]　を b にいくらでも好きなだけ近づける事ができる」すなわち
「｜a[n]−b｜をいくらでも好きなだけ　0　に近づける事ができる」と解釈されます。

そして、極限の定義ですが、それは次のようなモノになります。

「どれほど小さな正の数εを与えられても、或る番号Nをうまく選んでやるとN以降の（n≧Nである）
すべての番号nに対して｜a[n]−b｜＜εとできる。」

N　をうまく選べば　N以降のすべての番号に対してεより小さくできるのですから・・・
｜a[N]−α｜＜ε
｜a[N+1}−α｜＜ε
｜a[N+2]−α｜＜ε
｜a[N+3]−α｜＜ε
　･･････
とN番以降のすべての項が満たしているという事です。

954 ：１３２人目の素数さん：2006/08/20(日) 22:44:35

>>953
実にわかりやすい解説をありがとう。
Nより大きい任意の数nに対して
| a[n]-α |<ε
となるから、nがどんなに大きくなっても |a[n]-α| <ε　となる。
εは任意の正の数を取るので、0に近い正の数を取ることもあるから、
結果としてnが大きくなっていくと a[n]はαに近づいていくのだと
解釈しました。
>>953
の説明を見て、なぜ N を選ぶ必要があるのかやっと理解できました。
ここのスレッドの住人はやさしなあ

955 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 17:07:27

956 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 18:45:08

age

957 ：１３２人目の素数さん ：2006/08/30(水) 19:02:30

　

958 ：１３２人目の素数さん：2006/08/30(水) 22:03:03

deruipuワカンネ

959 ：１３２人目の素数さん：2006/09/02(土) 19:36:03

グロタンディーク最強伝説

960 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 08:13:30

一言で言うと
数列と極限値の差の絶対値がイプシロンより小さくなる
これだけなんだけどねぇ。。。

961 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 08:57:26

>960
全然違うと思います．

962 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 11:05:58

>>961どのあたりが違うの？

963 ：１３２人目の素数さん：2006/09/03(日) 11:13:29

要するに胸の谷間は無いよりもあった方が好ましいということ

964 ：１３２人目の素数さん：2006/10/02(月) 23:18:26

965 ：１３２人目の素数さん：2006/10/05(木) 06:20:18

【追悼】コミケ代表交替【ありがとう米やん】２
http://comic6.2ch.net/test/read.cgi/doujin/1159807055/

966 ：１３２人目の素数さん：2006/10/20(金) 23:38:24

五年七十四日二時間。

967 ：１３２人目の素数さん：2006/10/28(土) 17:35:32

age

968 ：１３２人目の素数さん：2006/10/30(月) 21:15:22

そもそも高校じゃどうやって連続だの極限だのを説明してたんだっけ

969 ：１３２人目の素数さん：2006/10/31(火) 16:09:53

代数的整数論　＃003
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/l50
より転載。

>709 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2006/10/27(金) 12:24:40
>そおーゆう言葉で説明できない「物」を可能な限り排除するために
>概念、用語が発明されてきたのだと思うのだが。
>
>先端領域では、論理的に難の無い説明や証明が無くて、この手の
>怪しい「物」で構成された証明や説得しか無かったりするよね。
>ε-δ以前の古の極限理論なんかはその典型。

970 ：１３２人目の素数さん：2006/11/13(月) 02:34:28

400

971 ：１３２人目の素数さん：2006/12/07(木) 05:23:02

なんで400？

972 ：１３２人目の素数さん：2006/12/10(日) 06:24:25

age

973 ：１３２人目の素数さん：2006/12/10(日) 08:40:52

洗濯公理もけっこうあやしい　洗濯屋健ちゃん

974 ：１３２人目の素数さん：2006/12/11(月) 15:01:22

　

975 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/11(月) 19:24:19

talk:>>974 お前に何が分かるというのか？

976 ：１３２人目の素数さん：2006/12/12(火) 05:11:47

king

977 ：１３２人目の素数さん：2006/12/12(火) 08:20:47

king氏ね

978 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/12(火) 19:26:30

talk:>>976 私を呼んでないか？
talk:>>977 お前に何が分かるというのか？

979 ：１３２人目の素数さん：2006/12/12(火) 20:24:02

l<ing

980 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 09:09:50

981 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/13(水) 14:55:48

talk:>>979 何やってんだよ？
talk:>>980 お前に何が分かるというのか？

982 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 19:18:11

983 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/13(水) 19:28:40

talk:>>982 お前に何が分かるというのか？

984 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 19:54:03

キングコング

985 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 19:56:26

ハッキング

986 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 20:25:58

インキング

987 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/13(水) 20:41:26

talk:>>984-986 何やってんだよ？

988 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 21:36:26

ムシキング

989 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 21:38:24

五年百二十八日。

990 ：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 ：2006/12/13(水) 22:05:42

talk:>>988 何やってんだよ？

991 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:21:40

sage

992 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:22:35

sage

993 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:23:16

sage

994 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:24:53

sage

995 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:25:01

kinq

996 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:26:14

l<ing

997 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:27:45

kingよ続きはこちらで
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1076545294/

998 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:37:34

sage

999 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:38:09

999

1000 ：１３２人目の素数さん：2006/12/13(水) 23:46:24

五年百二十八日二時間八分。

1001 ：１００１：Over 1000 Thread

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