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1-1+1-1+1-…=?

1 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 17:47:47
【考え方1】
n項目までの部分和S(n)は
S(n) = 1 (n:奇数), 0 (n:偶数)
となるから振動する。

【考え方2】
|x|<1のとき
1-x+x^2-x^3+x^4-…=1/(1+x)
lim[x↑1]1/(1+x)=1/2

【考え方1】と【考え方2】のどちらが正しいのでしょうか?
もしくはこれはどちらが正しいという議論はできなくて、
現在の数学が【考え方1】を定義として採用しているということでしょうか?

2 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 17:48:55
マジレスすると −π^e

3 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 17:51:56
>>2
はっ?

4 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 17:58:43
股メコスジスレか

5 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 19:35:06
どっちも正しいように思える・・・
??

6 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 19:36:26
あ、考え方2のほうは、左極限じゃね?
極限存在してなくね?

7 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 19:49:49
|x|<1のときに得られた結果について、
それをlim[x↑1]としたものがx=1の場合の結果と一致する保証がない。

8 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 20:27:38
考え方2でx=0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
とすると、級数和はいくつ?

9 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 20:38:19
約1/2

10 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 20:41:29
それが1/2に近いからといって、
問題の極限が1/2に収束することを意味するわけではない、というのは>>7にあるとおり。

11 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 21:34:04

“1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・ ・ ・ ” = ?1/2 ,
“1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・ ・ ・ ” = ? 1/12 ,
“1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ・ ・ ・ ” = 0,
“1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ・ ・ ・ ” = 1/120 , etc.

12 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 22:07:20
?があるのとないのとの違いは?

13 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 22:20:52
>>1
どっちも間違い。

14 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 23:13:38
xを1に近づければ近づけるほど級数は1/2に近づくのにxが1になったとたんに性質が変わるのが納得できん

15 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 23:14:39
解析がくるぞ

16 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/04(月) 23:15:15
talk:>>14 ところで、双曲線は縮小して見ると二直線と区別がつかない。

17 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 23:28:42
>>16
ほう面白い着眼点だ
そこから話をもっと引っ張ってくれないか
ぜひ

18 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/05(火) 08:53:09
talk:>>17 細かく見ると違って見えるのはよくあることだ。

19 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 09:13:17
>>1
両方正しい。前者はスタンダードな極限で考えている。後者は別の意味での
極限で考えている。詳しくは知らないが、そういうのは俗に「総和法」と
呼ばれていて、100年以上は研究されている。結構役に立つらしい。
「Borel総和法」とか「発散級数論」とかで検索すれば なんか出てくる。

20 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 12:48:32
「1と0の間を振動してます!」ってよりかは「平均して1/2です」って方が俺は好きだ

21 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 13:39:51
どう考えても−π^e だろ
解析接続ぐらい勉強しろ

22 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 15:00:50
>>21
どう考えても1/2だろ。Borel総和法くらい勉強しろ。

23 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 17:43:55
>>21
強烈に賛同する

24 :132人目の素数さん:2006/12/06(水) 07:30:32
どうやらこの問題はそうとうに奥が深そうだ

25 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 04:16:46
Borel総和で…1/2
解析接続で…ーπ^e
はて…?

26 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 15:57:37
>>1の下ってなんかあやしい感覚的に気がする
xの指数が大きくなるがそれっていいの?
最初方のの1-1+1-・・・と
後のほうの・・・1-1+1・・・の意味がちがくなるんじゃね?

27 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 03:34:59
1乗してもなんら問題ないだろ

28 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 05:32:34
あぁもぉっ!!

アーベルの連続性定理!!

29 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 07:42:57
そんなもん
つかえん

30 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 07:50:55
>>26
普通の極限でも、「最初の方」と「後の方」の意味は全く違うのだが。無限級数Σ[i=1〜∞]ai
において、後の方の「a(m+1)+a(m+2)+…」を”0である”と見なしているのが普通の極限。
この見なし方の場合、最初の方=「a1+a2+…+am」,後の方=「0」だから、最初の方と後の
方で全然意味が違う。

31 :132人目の素数さん:2006/12/10(日) 09:14:19
an+1=(an)+1,a1=1
limanは偶数か奇数か

32 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 13:49:09
その問いは、まずlim a_nが整数でないと意味ないな。

33 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 15:31:43
liman=∞だけど、mod 2で考えるとan≡1,0,1,0,…となるから、これを普通の実数列と
見てBorel総和法でlimanを求めると1/2になる。つまりliman≡1/2 (mod 2)になる。
ところで2≡0 (mod 2)だからliman≡1/0 (mod 2)になる。…これはliman=∞に対応してないか?

34 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 18:00:57
実数x,yに対するx≡y (mod 2)って何なのかと。
x-y∈2Zの意味だとするとx≡y->1/x≡1/yはおかしいし。

35 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 04:02:25
>>34
>実数x,yに対するx≡y (mod 2)って何なのかと。
それが定式化されていると仮定して計算すると>>33になって、整合性がとれている。
これはつまり、そのような定式化が実際に存在する可能性を示唆している。

36 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 20:40:57
b_{n+1}=b_n+2,b_1=1
の場合はどうなる?

37 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 20:29:28
>>33,35の人はもういないのか?

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