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小・中学生のためのスレ Part 19

888 :132人目の素数さん:2007/01/08(月) 17:18:33
>>887
*完全数
完全数(かんぜんすう)とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のこと。6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+14 など。完全数が無限に存在するかどうかということも分かっていない。
古代の人は、最初の完全数が6なのは「神が6日間で世界をつくったから」、次の完全数が28なのは「月の公転周期が28日」と関連があると考えていたとされる。
完全数は、メルセンヌ素数と関係が深く、M がメルセンヌ素数ならば M×(M+1)/2 が完全数であることが、ユークリッドによって証明されている。
このことから、紀元前には、(22-1)(21)=6, (23-1)(22)=28, (25-1)(24)=496, (27-1)(26)=8128 が完全数であることが知られていた。
また M = 2n-1 であるので、完全数  M×(M+1)/2 = (2n-1){(2n-1)+1}/2 = (2n-1)(2n)/2 となり、これは 2n-1 番目の三角数である。つまり全ての完全数は三角数でもある。
その後、オイラーが登場するまでは、(213-1)(212)=33550336, (217-1)(216)=8589869056, (219-1)(218)=137438691328 が完全数であることしかわからなかった。
オイラーは、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数 M を用いて M×(M+1)/2 で表せることを示した(オイラーの定理)。

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