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分からない問題はここに書いてね265

1 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 09:47:01
さあ、今日も1日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね264
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141/

18 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:29:53
>>12
そんな関数あるのかよ
問題あってる?

19 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:30:24
>>17
自然数全体の、ある部分集合と一対一が存在するってこと

20 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:30:26
y=-cos(pi*x)+1 0≦x≦1
をx=1を軸に回転させたときの体積を求めよ

お願いします

21 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:31:46
>18
問題はこの通りです。

22 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:32:11
前スレ993
ありがとうございます

23 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:35:56
>16
f(x) = 1/x とおくと f "(x) = 2/(x^3) > 0.
f(x) > f(m) + (x-m)f '(m), m = (a+b)/2  … 接線より上にある。
∫[x=a,b] f(x)dx > ∫[x=a,b] {f(m) +(x-m)f '(m)}dx = (b-a)f(m).

24 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:40:41
>>12
(1)
f(x) = sin(1/x) (x∈Q-{0})
f(x) = 0 (else) ならOKかな

25 :18:2006/11/18(土) 01:41:36
>>12
と思ってたらできた

g(x) = x^2 (xは有理数)
g(x) = 0 (xは無理数)

とすればgは0で連続、他では不連続
この関数をうまく繋げてやればできる

(2)の答えはgそのもの
条件にあわなけりゃ、適当に平行移動しとくれ

26 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:42:25
>>24
無限可算個ってのはどのように示されるのですか?
無限個あるってのはわかるのですが。

27 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:44:09
>>23
詳しくお願いします

28 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:46:02
>>26
sin(1/x) = 0のところで連続だから、
1/x = nπ (n∈N)
x = 1/(nπ) となるxで連続になる。
自然数でラベル付けできてるから加算無限個。

29 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:48:15
なるほど、ありがとうございました。

>>25
この場合は可算無限個であることはどのように示されるのですか?

30 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:49:28
>16
 (1/x) + 1/(2n+1-x) > 2/(n +1/2)  …… 相加・調和平均
 ∫[n,n+1] (1/x)dx +∫[n,n+1] 1/(2n+1-y) dy > 2/(n +1/2).

31 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:55:36
>>29
>>25
>この関数をうまく繋げてやれば
と言ってるから繋ぐのは自分でやらなきゃ。

例えば[0,1]を{0}∪(∪[n=1,∞] [2^(-n),2^(1-n)]) と分割して
それぞれの区間で>>25の関数を平行移動して入れてみるとか。

32 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:56:25
>>30
相加・調和平均とは?

33 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:58:21
>>32
自分で調べることを覚えろ

34 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:58:44
>>31
なるほど〜。自分でも考えてみることにします。

35 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:12:03
>>33
調べました。
逆数の相加平均の逆数ですよね?

36 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:16:26
> ∫[n,n+1] (1/x)dx +∫[n,n+1] 1/(2n+1-y) dy > 2/(n +1/2).

なぜ1/(2n+1-x) dxが
1/(2n+1-y) dyになっているのですか?

37 :30:2006/11/18(土) 02:16:36
>32
〔相加・調和平均の不等式〕
 n個の正の実数 a,b,…,z について
 {(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}/n ≧ n/(a+b+ … +z).
 等号成立は a=b=…=z のとき。

(略証)
 (a/b) +(b/a) -2 =(a-b)^2 /(2ab) ≧0, etc.
 {(1/a) + (1/b) + … + (1/z)}・(a+b+ … +z) = n^2 +(a/b + b/a -2) + …… ≧ n^2,
 {(1/a) + (1/b) + … + (1/z)} /n ≧ n/(a+b+ … +z). 

38 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:32:47
>>16
y=1/x の x=n+1/2 における接線で囲まれる台形の面積と比較してみればいい。

39 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:36:02
第2問

 nを正の整数とする。2n^2+1、4n^2+1、6n^2+1がいずれも平方数であるような正の整数nは存在しないことを示せ。

答えじゃなくてもいいんで、何か解法のヒントを教えていただけたら幸いです

40 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:48:39
4n^2+1が平方数になるnはいくつだ?

41 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:56:59
…………(´^ω゚`;)

0?

42 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 03:30:50
>>39
何だ、マルチか。

43 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 03:37:05
>>39 4^n+1じゃなくて3^n+1ならどっかでやったことあるな。ただマルチは消えろ

44 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 04:58:11
>>20

y = -cos(πx) +1, 0≦x≦1,
S(y) = π(1-x)^2
V = ∫[0,2] S(y)dy = ∫[0,1] π(1-x)^2・(dy/dx)dx = ∫[0,1] (π^2)(1-x)^2・sin(πx)dx
 = [ {-π(1-x)^2 +(2/π)}cos(πx) -2(1-x)sin(πx) ](x=0,1)
 = π-(4/π).

∫(π^2)(1-x)^2・sin(πx)dx
 = -π(1-x)^2・cos(πx) -2π∫(1-x)cos(πx)dx
 = -π(1-x)^2・cos(πx) -2(1-x)sin(πx) -2∫sin(πx)dx
 = -π(1-x)^2・cos(πx) -2(1-x)sin(πx) +(2/π)cos(πx) +c.

45 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 06:27:15
第1問
 1から100までの番号が書かれた玉100個が袋に入っている。いま、この袋から無作為に10個の玉を取り出し
それらに書かれた数字を覚えた後、袋に戻す。次に、再び袋から無作為に10個の玉を取り出す。

(1)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉が7組あるような確率を求めよ。

(2)1回目と2回目で取り出した10個の玉のうち、書かれた数字が同じ玉の組の数の期待値を求めよ。


お願いします

46 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 06:50:26
>>45
最近はマルチが流行なのか?

47 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 08:02:19
半径1の球体を平行な3つの面で切ってできた、4つの立体の体積が等しいとき、中心を通らない面と中心の距離はいくつでしょうか?
すいかを縦に切るようなイメージ。

48 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 08:07:44
>>46
スレごとに専任の回答者がいると思っているのだろう。


49 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 08:30:20
>>47
π∫[d,1](1-x^2)dx=π/3
d-(1/3)d^3=1/3
d^3-3d+1=0 の正の解の小さい方。
d=2sinθ とおくと
8(sinθ)^3-6sinθ+1=0
-2sin(3θ)+1=0
sin(3θ)=1/2
3θ=π/6
d=2sin(π/18)

50 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:26:47
>>45

の2番解ける人いませんか?

51 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:29:58
>>50
マルチではいかんともしがたい

52 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:31:10
>>50
>>46が読めないのか?

53 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:09:59
むきになりすぎー笑

54 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:27:16
>>50
(1)が分かったなら同様に考えたらいいだろ

55 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:29:20
同様に考えたらどうよ?

56 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:51:29
>>39
これの4を3にかえればいいんだよね?
今からやってみる

57 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 11:21:55
ワカラナイ

58 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 11:26:50
理系第2問
nを3以上の自然数とスる。
集合A(k)=[1,2,3,・・・・,kn]としたとき
3数の組(p,q,r)を次の二つの条件で定める。
・p,q,rは全て集合Aの元であり、3数は相異なる
・p+q+rはkの倍数である。
ただしp,q,rを並べ替えたものは異なるものとして考える。
(1)k=3のとき(p,q,r)の組の個数を求めよ
(2)k=4のとき(p,q,r)の組の個数を求めよ


59 :282:2006/11/18(土) 11:51:21
スレ違いだったようなのでこのスレで質問させていただきます。

円に内接する四角形の対角の和は何度ですか?

60 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 11:52:37
>>59
180°

61 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 11:52:50
180

62 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 11:54:37
>>59
マルチしちゃ駄目よ。
しかも前のスレの285に答えが書いてある。


63 :282:2006/11/18(土) 13:17:18
別のスレで質問させていただきますと書き込んだのでマルチにはならないと思うのですが。
答えは見落としてしまいました。

答えて下さってありがとうございました。

64 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:38:59
「ある数xが3の倍数→xの各位の数の和は3の倍数」
(たとえばx=693は3の倍数、6+9+3=18も3の倍数)

の必要十分性はどうやって証明するんですか?


65 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:42:18
>>64
10 = 9+1
100 = 99+1
1000 = 999+1

(10^n) = 99999…9999 +1

693 = 6*100 + 9*10 + 3 = 6*(99+1) + 9*(9+1) + 3
= 6*99 + 9*9 + 6+9+3

66 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:43:13
>>64
単に等式変形

67 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:44:24
>>64
xの各桁の数を1の位から順にa0,a1,,,,,,,a(n)とかくと
x=a(n)*10^n+a(n-1)*10^(n-1)+…+a(1)*10+a(0)
とおける。
これを式変形すれば
x=a(n)*(10^n-1)+a(n-1)*(10^(n-1)-1)+…+a(10-1)
+a(n)+a(n-1)+…+a(1)+a(0)

ここで一般に10^n-1=999…9は3の倍数なので
xが3の倍数ならば各桁の和a(n)+…+a(0)は3の倍数
各桁の和が3の倍数ならxは3の倍数

68 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:48:26
なるほど

69 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 14:09:43
>>49
ありがとうございます。

70 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 14:45:04
(x+1)/(x^2+x+1)の積分はどうやって解くんですか?

71 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 15:09:23
>>70

分母を微分すると2x+1=2(x+1/2)となることに注目して、
(x+1)/(x^2+x+1)=(x+1/2)/(x^2+x+1)+(1/2)/(x^2+x+1)と分ける

1項目は(1/2)log( )
2項目は(1/2)/{(x+1/2)^2+(3/4)}として、x+1/2=tan(t)と置換

72 :70:2006/11/18(土) 15:21:07
>>71
ありがとうございます
やっと分かりました

73 :素数:2006/11/18(土) 15:24:05
x^4+4x^3+2x^2を整式Aで割ると、商がA、余りが4x-1になる。この時Aを求めなさい
どなたがお願いします

74 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 15:33:26
>>73
問題文どおりに式を立てろ

75 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:18:11
>>73
x^4+4x^3+2x^2-(4x-1)を因数分解

76 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:40:47

xy平面上の楕円E:2x^2+y^2=1,z=0を、中心がyz平面上の円弧C:y^2+z^2=1,y≧0,z≧0,x=0上
にあるように平行移動したもの全体が作る曲面をFとする。
さらに、曲面Fをz軸のまわりに回転するときFが通過する部分をKとする。
o≦t≦1を満たす実数tに対して、平面z=tによるKの切り口の面積をS(t)とおく。
(1) t=sinθのとき、S(t)をθで表せ。ただし、0≦θ≦π/2とする。
(2) Kの体積Vを求めよ。


よろしくお願いします

77 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:47:11
>>73
x^4+4x^3+2x^2=A^2+4x-1 から、A=±(x^2+bx±1) とおける。
A^2+4x-1=(x^2+bx±1)^2+4x-1=x^4+2bx^3+(b^2±2)x^2+2(2±b)x=x^4+4x^3+2x^2
係数の比較で定数項が-1のときb=2、よってA=±(x^2+2x-1)

78 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:51:18
>>76は東大実戦模試のネタバレだから誰も答えないように


79 :匿名係長:2006/11/18(土) 17:12:11
実数x,yがx^2+y^2-2xy-4x-4y+6=0を満たし、x+y=p、xy=qとおくとき、pとqの最小値をそれぞれ求めよ

お願いしますm(>_<)m

80 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 17:34:32
>>79
x^2+y^2-2xy-4x-4y+6=0

p^2 -4q -4p +6 = 0

また、x,yは実数で
t^2 -pt +q=0の解だから
D = p^2 -4q = 4p-6≧0

p ≧ 3/2

4q = p^2 -4p+6 = (p-2)^2 +2
だから4q ≧2

81 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 19:11:35
>>76 って楕円である必要性があるのか? 線分1本と変わらん気もするが?

82 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 19:31:26
3^10*m=2^n+1
これを満たす整数m,nを一組求めよ

誰かお願いします

83 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 20:02:00
>>81
z軸が楕円の内部を通っているから
z軸を中心に回転させたときの
楕円の周の通過領域は
円環になる。

84 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 20:51:27
>>83
なるほど!!!

85 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 20:51:54
A,y=2x B,2x+y=5 C,y=2x+5 D,y=-2x+5 E,y=2/x
この中でyがxの1次関数であるものを答えなさい。
よろしくお願いします。

86 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:00:30
中2の問題だ
A 比例なので○
B y=-2x+5なので○
C 普通に○
D 普通に○
E 反比例なので×

87 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:03:58
>>86
ありがとうございました!

88 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:25:31
>>79

45°回す。
 (x-y)/√2 =u, (x+y)/√2 =v
とおくと、
 x+y = v√2, xy = (v^2 -u^2)/2

さて、与式は放物線
 v = (1/√8)(u^2 +3) ≧ 3/√8,
となるから
 p = v√2 ≧ 3/2,   (u=0, x=y=3/4)
 q = (v^2 -2v√2 +3)/2 = (1/2){(v-√2)^2 +1} ≧ 1/2.  (v=√2, u=±1)

89 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:26:48
数直線って数でできているんですか?

90 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:28:50
@f(z)=π/(z^2*tanπz)の極をすべて求め、各極における留数を求めよ。
ARは正の実数とする。z=t±iR(-R≦t≦R)のとき、
ltanπzl≧{exp(2πR)-1}/{exp(2πR)+1}を示せ。
B自然数Nに対して、R[N]=N+1/2とおく。z=±R[N]+it(-R[N]≦t≦R[N])のとき、
ltanπzl≧{exp(2πR[N])+1}/{exp(2πR[N])-1}を示せ。
C4点±R[N]±iR[N]を頂点とする正方形の周に沿ってf(z)を積分しN→∞にすることで、
π^2/6=1+1/2^2+1/3^2+・・・を示せ

そのまま書き写して答えにできる書き込みをしてもらえると、助かります。
よろしくお願いします。

91 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:36:32
>>11
∫liminf n log[1+(f/n)^α]dx = ∞
の極限はどう計算するんですか?
eの式を使うってヒントがあるんですが…

92 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:55:25
>>82 フェルマーの小定理の拡張のオイラーの定理を使うんジャマイカ?
2と3^10は互いに素。
2^φ(3^10)≡1(mod.3^10)かな?
φ(3^10)=3^10-3^9

93 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:05:41
円x^2+y^2=1上を動く異なる2点P,Qがある。
この2点に対し
RP・RQ=a (aは定数)
をみたす直線PQ上の点R全体がつくる図形が2つの円となるとき、
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)一方の円に内接し、他方の円に外接する三角形が存在するとき、aの値を求めよ。

誰か教えてください

94 :小学生:2006/11/18(土) 23:13:17
一粒1gの正露丸が100粒入った瓶が10本有るんだ。でも一粒1.1gの瓶が1本だけ混ざってしまった。これをバネ計りを一度だけ使いどの瓶が知りたい。どうやったら解る?中身は取り出しても良い。

95 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:15:01
征露丸

96 :解らん:2006/11/18(土) 23:21:12
これが解ったら兄ちゃんが500円くれるって!僕には解らん。

97 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:36:08
物理板で質問しているのですが、今のところ回答が得られておらず、
むしろ数学板の方が向いているような気がしてきたので、ここで
質問させて下さい。

ちなみにフィックの法則に従うので、以下のウェブページのフィック
の第2法則のところにある偏微分方程式を解くことになります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3
%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87


■ちょっとした疑問や質問はここに書いてね68■
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1162751854/l50

↓次レスに引用

98 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:36:19
>>94
中身を取り出してもいいんなら
結局、「どの瓶」という設問自体が
意味を成さなくなるな。

99 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:36:45
>>97の続き
890 :ご冗談でしょう?名無しさん :2006/11/18(土) 21:15:07 ID:lmKaz5W3
恥ずかしながら下記の一次元の拡散問題が解けないので、
どなたか解き方と答えを教えて下さい。


以下のような系で、気体Pの固体Qへの拡散を考える。
・x<0 : 気体P(濃度Cg=constant。外部から十分に供給されるため、
        固体Qへの拡散によって濃度は減少しない)
・0<x<a :固体Q(気体Pの拡散係数=D。
        気体Pの固体Qへの溶解度(分配係数)=K。
        時刻0での気体Pの濃度はC(x,t=0)=0)
・x>a : 固体R(気体Pは固体R中を一切拡散できない。)


拡散はフィックの法則に従う。このとき固体Q中の濃度分布
C(x,t)を求めよ。


*図書館で参考書等で調べたのですが、以下のような固体Rがない場合の
解答しかみつかりませんでした。

C(x,t)=K*Cgas*erfc(x/2/sqrt(D*t))
(ただし、erfcは誤差関数)

固体Rがあることによって問題が複雑になっているようです。
恥ずかしながら自分で方程式を解けないので、すみませんが
どなたかご教示頂けないでしょうか?


100 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:39:20
>>97
それマルチっていうんだけど

101 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:40:20
切れてるから貼っといてやろう

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

102 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:41:29
>>97
たった2時間で持ってくんな!
つかさ、チャットじゃないんだから
すぐレスがあると思うな!

103 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:45:21
解説にあったんですが、
3/2log5(x)-1/2log5(x)+1=0
から
3/2-1/2{log5(x)}^2+log5(x)=0
の変換がどうしてもわからん。誰か解説の解説してください。お願いします。

104 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:47:28
>>99
あっちに取り下げる旨書かれていない以上マルチ

105 :ラオウ:2006/11/18(土) 23:47:33
十人に一粒づつ飲んで貰い、一番よく効いた人が飲んだ制露丸の瓶が正解だな。


うん!

106 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:48:35
>>103
両辺にlog5(x)をかけた

107 :97:2006/11/18(土) 23:57:13
>>97の者です。
大変失礼致しました。”マルチ”というのがいけないことだと知りません
でした。ご迷惑をおかけして申し訳ありません。
物理板の方を取り消しました。こちらの板での質問を継続させて
下さい。

どうぞよろしくお願い致します。

108 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 00:02:35
>>106
わかりました。ありがとうございました。

109 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 00:18:23
>>97

溶解度が式の中にどのように入ってくるの?

110 :97:2006/11/19(日) 00:24:30
すみません。溶解度(分配係数)の定義を書いていませんでした。
下記です。

K=Cq/Cgas

ここで、Cqは定常状態(t=∞)での固体Q中の気体Pの濃度です。
つまり、C(x,∞)=Cqとなります。

ご質問ありがとうございました。

111 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 00:36:50
>>110
そうだとすると、
固体がない場合、
 ∂c/∂t=D(∂^2/∂x^2),c(0,t)=Cgas,c(x,0)=0,c(x,∞)=Cgas
固体がある場合、
 ∂c/∂t=D(∂^2/∂x^2),c(0,t)=Cgas,c(x,0)=0,c(x,∞)=K・Cgas

の違いだけになるのですか?


112 :97:2006/11/19(日) 00:47:32
>>111
おっしゃる通りです。ご指摘により固体Qと溶解度の導入によって
問題を無意味に複雑化してしまったみたいです。
固体Qがない場合に、t=0でx<0に存在する濃度Cgの気体Pが0<x<a
の領域(t=0で濃度0)に∂c/∂t=D(∂^2/∂x^2)に従って拡散していく
問題ととらえて頂いてかまいません
(もちろんt=∞ではx<aの全領域の濃度がCgasとなります)。

ご質問ありがとうございました。

113 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:00:26
>>97
熱伝導も同じ方程式だから、何か記憶にあるんだけど、
固体Rの代わりに、
2a<xがCgas、a<x<2に固体Qを置くと、
いいような気もする。
明日っていうか、今日ちょっと調べてみます。

114 :97:2006/11/19(日) 01:34:48
>>113
ありがとうございます。
私もできる限り自分で考えてみます。

115 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 11:22:24
>>90
お願いします。

116 :質問君:2006/11/19(日) 12:34:00
ある会社の男性社員は女性社員よりも240名少なく、男女社員の合計は1,120名であった。
ところが今年は男性社員が60名、女性社員が20名入社してくることになった。
この会社の今年の男女社員数の比率はどのようになるか?

どなたか、お願い。

117 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 12:43:55
2つの球P,Qがあり、その体積比が1:125である。Qの表面積が3600πcm2のときPの半径を教えてください。お願いします

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