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独学]ガロア理論2週間[文系

1 :ガロア理論勉強始めました:2006/10/29(日) 20:50:03
ここんところ、文系スレ、独学スレをあまり見ないのでたててみました。
スレタイは、『アルメニア語2週間』とかの本と同じく2週間でマスター
しようということです。できるかどうかは別問題です。

理系のかたで不愉快に思われる方もおられるかと、思いますが、わたしも
まじめに取り組んでおりますのでお怒りにならないでください。

ガロア理論独学中のかたの参加を歓迎します。

2 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 20:54:21
素人はうせろ

3 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:02:42
さっそくの激励ありがとうございます。

過去スレを見ますと、ガロア理論は前提知識なしでOK とかで、つまり高校生
でも勉強できるらしいということで、独学者向きの題材といえます。

ここで、わたしのプロフィールといっても、数学の知識ですが、文系
のなかでもとくに数学駄目人間でしたので、高校数学は0に等しい
知識でした。最近すこし勉強してます。


4 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:03:02
今日は線型代数の復習、明日は群論の復習。
最低限こんなもんかな?

5 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:05:05
>>1
読む本決めなよ。

6 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:07:40
ですが、文系で抽象概念の思考力を磨き、方法論をまなんだので、高度の
数学はともかく、ガロア理論程度ならこなせるだろうという不思議な自信
があるのです。バカとおもわれそうですが、じっさいバカかもしれない。

でも、ゆるぎない自信が湧いてくるのです。2週間でマスターして終わりに
なるスレですが、興味をもたれたかたご参加ください。

7 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:10:19
抽象概念の思考力を磨いたのは結構として。
で、具体的に今日は何やるの?

8 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:15:21
>>4,5
匿名とはいっても恥をかきたくないので、すでにすう日勉強しております。
様子をみて、できそうだなと感じたのですれ立てしました(インチキ)。

ガロア理論じたい、2ヶ月まえから始めようとおもって、本を用意したの
ですが、なかなか気が重く、つい小説、2チャンネルで時間をつぶし、
いままで始まらなかったのです。ただし、寝るまえのちょっとの時間を
利用して、代数の入門はすこしできたとおもいます。

本は図書館から借りました。だれか特定されそうなので本の名は特に秘し
ます。

9 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:19:28
素人でも見つけやすくて簡単そうなのといえば、アルティン本かな?

10 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:20:46
でなけりゃ、数!!!方式とかう奴。

11 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:22:01
そもそも2週間でどこまでやるつもりだよ。
l進表現とかまで行くの?

12 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:22:40
文系で抽象概念の思考力を磨き、方法論をまなんだので、高度の
数学はともかく、ガロア理論『程度』ならこなせる
                 ↑
                ここ注目w

13 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:24:04
これなんか超初心者向けだけど、内容は中々のもんじゃて。
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/8/0079150.html
数学が育っていく物語5(岩波)  方程式 ―― 解ける鎖,解けない鎖 ――
志賀 浩二


14 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:24:04
数III方式のナントカっていうのは?

15 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:24:57
五次方程式云々とかいうレベルなことくらい、空気を読んであげなきゃw

16 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:27:02
>>14
これ
ttp://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=4-7687-0011-X

17 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:27:35
>7
体の拡大次数が、既約方程式の次数と一致するというところを今日やりました。
まず既約方程式がわからなくて、苦労しました。そもそも、整数の素数はわかる
のですが(あたりまえか)、整数どうしの素であるというのを理解していなかったり
して自分ながら情けなくなりました。(小学生以下)
ただ、同型関係とかはたやすく理解できるので、商体もなんとかわかりますし、
さきへすすめるでしょう。

18 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:29:26
>>11
15で正解です。

19 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:30:26
>>1 みたいな馬鹿でアタマが
悪そうな文系は

クズ哲、哲豚、哲ちゃん

だろ?

中沢新一が学生時代、
わかりもしない、
ボストニコフのガロワ理論の本を
常に持ち歩いていた、という
エピソードを思いだす

もちろんカッコつけのために

>>1 もそれと同じ

20 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:32:23
最近こんなくだらんスレやレスが横行している

文系の低能どもはさっさと失せろ


21 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:32:51
高校生(2年)だけど参加しようかな・・・

22 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:34:23
>>21
なに?!

ファッション的に
ガロワ理論みにつけて
まわりの友達を見下そうってハラ?

23 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:36:13
あのさ、中川とかいうバカもそうだったけど、
計算練習とか問題練習しないと意味ないから。

24 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:37:10
>>21
>>16 マジおすすめ。

25 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:37:58
過去スレをみますと、体の拡大と同型写像のつくる群が対応関係をなすというのが
ガロア理論の核心らしく、ポイントは体、群、と同型写像だなと考えていますが、
この辺は理解できているのではと思っています。

体も群も同型写像も定義と、初歩的な定理は小学生でも理解できるとみました。

26 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:42:48
じゃあね、ある群Gに対して、正規部分群じゃない部分群Hをとる。
このときでもG/Hという剰余類は考えられるけれど、
どうしてこれじゃ剰余群にならないのだろう、って考えてみたことあります?

27 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:43:12
そこまで本当に解っているなら、泥臭い計算をやってみるのが一番w
Gal(K/Q) = 四元数群、となるKの例は?みたいな。

28 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:43:59
>>19、20
激励ありがとうございます。
>>21
おなじところを20回読み直せる根気があるなら、高校生でもできるでしょう。

わたしの数学力は高校生以下ですが、文系でつちかった思考力と方法論の力が
あるので、やりとおせるとおもっているわけです。ただの高校生だったら
ガロア理論はきついとおもいます。

29 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:46:10
こいつの発言の端々から中川と同じ臭いが漂っているんだがw
手に負えないコテハンがまた一人ふえたか・・・

30 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:46:37
>>26
それは問題でやりました。解答にwell-definedうんぬんと本文で説明のない
話がでてきてまいりました。

31 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:47:50
>>30
いや、それは問題でやりましたで済ませないで、きちんと納得するまでやっておかないと後で困る。
とりあえず読みました、というのと人に説明できるくらい理解しました、の間の壁を意識して欲しい。

32 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:48:39
>>30
well-defined の意味もわからんのか
この馬鹿が

33 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 21:50:49
>>27
15のレスが目標です。

34 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:50:50
>>30
もうボロがでたかw
これで良くくもまあ同型写像を理解できたもんだ。

35 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:51:27
こいつ中川だろw

36 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 21:52:15
>>35
中川はもっと頭悪い。

37 :1:2006/10/29(日) 21:52:25
すいません、僕の名前は中川です

38 :ガロア理論勉強始めました :2006/10/29(日) 22:00:25
>>31、32
正規部分群は重要なところだと、ぴんときましたので、なんども練習しました。
そのうちwell-definedの意味もわかるようになりました。
たとえば、xy=y'x
となるばあい、y'は一意に決まるのだろうかとか、いろいろ確かめてみました。
>>34
激励どうもすみません。

39 :ガロア理論勉強始めました ◆ToNjjhaRSA :2006/10/29(日) 22:04:44
37はにせもの。
このスレの目標のひとつに、中川が不当な論評を文系にたいしておこなっている
ことを是正したいということがあるのです。
文系の学問が(分野によっては)数学にも役にたつことをしめしたいという点があるのです。

40 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:05:43
いや、中川よりは格段にラベルが高いw

41 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:08:40
あとは、これじゃろか。
http://www.saiensu.co.jp/magazine-htm/spsk-200309.htm

42 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:12:06
>>1

おまえ必修科目を履修してないやつだろ?

おまえなんか文系どころか
高校の卒業資格もないんだよ
馬鹿が

43 :ガロア理論勉強始めました ◆ToNjjhaRSA :2006/10/29(日) 22:15:09
>>40
ラベルで結構です。ともかく中川は仇敵です。

>>41
お値段が手ごろですね。


44 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:19:12
G、G’を群、f:G→G’を準同型とする。

このとき、Gの部分集合 N={ x ∈ G | f(g)=id } は、
Gの部分群になるか? 正規部分群になるか?

G’の部分集合 I={ f(x)| x ∈ G } は、
G'の部分群になるか? 正規部分群になるか?

45 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:21:17
>>1

準同型とか正規部分群とかいう
言葉に酔ってみたい年ごろかな?

厨房がビール飲んで、
偉くなったつもりみたいなもん?

46 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:24:02
おっとタイプミス

> このとき、Gの部分集合 N={ x ∈ G | f(g)=id } は、

 ↓
このとき、Gの部分集合 N={ x ∈ G | f(x)=id } は、

47 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 22:25:45
>>41
ご激励多謝。

文系で習ったことのひとつというか、小学生でも知っていることですが、わからな
ければ、何度も読むということがあります。群論かんけいの言葉は、定義が似ていて
混同しておぼえられないです。それでも、20回読み直せばおぼえられます。
高校生とか文系で代数をやるなら、そういった気構えが必要だとおもいますです。

48 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 22:41:46
>>46
ん?問題ですか。緊張しちゃう。
最初の問題は、
id ってのは、恒等写像の意味ですか?それともG'の単位元の意味ですか?
N っていう文字自体、ヒントになっているみたいなので、後者と見れば
正規部分群でしょう。

あとの問題は部分群でしょう。

49 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:44:16
>>48
>id ってのは、恒等写像の意味ですか?それともG'の単位元の意味ですか?
空気読めれば、自ずと明らかですね。

50 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 22:44:54
>>45
酔ってみたいだけでは、20回は読み直せないです。

51 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:48:44
>>48
正解だが、文字でとか文脈で、ではなく
証明まで確信して考える癖をつけるともっと良い。

52 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:48:57
20回なんて、まだまだケツが青いぞ。
まあ、そんなもんだ。

53 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 22:49:37
>>49
数学の経験が浅いと、空気が読めないので、レスもそうですが、数学の本が
よめなくてつらいのです。本当に20回見直ししないと、なにごとも覚えられません
し、わかりません。

54 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 22:52:12
>>51,52
どうも

55 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:54:19
>6 が、院崩れのなりすましでなく、本当に法文系だとすると・・・

> 文系で抽象概念の思考力を磨き、方法論をまなんだ
というのが、まず理解不能。 つまらんレトリックと抽象的思考力と取り違えてないか?

>  高度の数学はともかく、ガロア理論程度ならこなせる
ガロアの基本定理を理解するだけなら、良いテキストと良い指導者が居れば高校生でも出来るだろう。
何せ、元祖ガロアが基本定理を発見したのは19歳だったから。
使いこなすとなると、話は全然別だが。

56 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 22:58:31
>49
> 空気読めれば、自ずと明らかですね。
「空気読めれば」?

57 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:00:46
>>56
扱っているmapが解れば、でおk?

58 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/29(日) 23:04:38
>>55
>つまらんレトリックと抽象的思考力と取り違えてないか?
それはないとおもいます。

>良いテキストと良い指導者が居れば高校生でも出来るだろう。
後々のためにも独学で頑張ります。

では、もう寝ます。あしたもガロア理論を勉強するぞー。

59 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:19:08
学校の勉強は余裕だから、俺も参加します
テキストは何使ったら良いですか?
出来れば安いのでお願いします。


60 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:19:45
やめとけ

61 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:21:08
スレ主さん一緒に頑張りましょう!!

62 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:23:31
>>59
Bourbakiの数学原論

63 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:25:28
>62
因みに幾らです?

64 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:25:50
>57
> >>56 扱っているmapが解れば、でおk?

まあね。「Group morphism が理解できていれば」と言えばいいんじゃないか?

>60
> やめとけ

そうやって、初心者をdiscourageする事こそ「やめとけ」。

65 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:26:35
>>59
>>16
馬鹿らしくなった頃には、↑や↓も読めるようになるかとw

66 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:29:16
割り込み失礼.邪推します
思うに
ガロア理論勉強始めました≒文kei
の気がしてなりません.
因みに 文kei とは過去に「理系は役に立たない」に近い題名のスレをたて,
結局完全に論破されてしまい,「PCが壊れそう」と口実をつくっておいて,
いつの間にかどこかへ去っていった輩です.

67 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:30:21
>41が安いですね
明日早速買ってきます


68 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:34:24
>>67
リア工にはちと難しいと思うが、がんがれ。

69 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:43:57
>68
何か読むのに仮定する知識などあるんですか?


70 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:45:01
やめとけ

71 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:45:13
高校生なら先に解析と線形代数の知識をつけたほうがいいような気がしますねぇ。

72 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:48:56
>>69
とりあえず明日先の方を立ち読みしてみたらいいよ。
おじさんの杞憂だが、この程度余裕というなら頼もしい、未来はそこそこ明るいw

73 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/29(日) 23:51:24
>72
どうもです
頑張ってみます
因みに高校数学は一応終わりました

74 :132人目の素数さん:2006/10/29(日) 23:53:39
やめとけ

75 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 00:23:46
K/{0} ってどういう意味ですか?

76 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 00:54:46
>>75
文脈にもよるが代数系 K を単位元だけの {0} で割ったてこと。 構造的には結局 K と同型だが。

77 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 00:59:15
単位元の{0}とは何でしょうか?

78 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 01:29:35
>>77
単位元とは
通常の数の足し算の 0 や掛け算の 1
のように同じ代数系(群)の他の元 a と演算しても 結果も aになる元。{ 0 } は元として0だけを含む集合。

たとえば K が整数全体とすると足し算 + を演算とするとある元 e ∈ K があり 任意の k ∈ K に対して e + k = k + e = kとなる。実際 e = 0 とおけばよい。つまり0が単位元。


79 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 06:41:40
ゼロから二週間でガロア理論は無理じゃないの

80 :132人目の素数さん :2006/10/30(月) 10:08:05
個人的には

大学数学の入門3 代数学III 「体とガロア理論」 桂 利行

はかなり読みやすかった。代数学I「群と環」とセットみたいな
感じだけど、この一冊だけなら2週間で読めるんじゃないかな。

81 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 10:16:26
ちまたには例えば「C言語を2週間」とかあるんだが、
「2週間でC言語の何がわかるっていうんだ」
プログラマーの声が聞こえてくるよ。

82 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 10:29:09
工学部の俺におすすめのガロア理論入門書教えて
2週間で読もうとは思わないけどw

83 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 10:32:34
ガロアがやろうとしたのは「計算を飛び越えて」だから、
全体像をまず掴んだ方がいいと思う。お勧めは
「群の発見」
後はどれでもいいよ、演習をする。よく聴くのは
「現代代数学」が結局はいいよ。って話はよくきく。(ヴェルデン)

84 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 10:46:32
文系でわかった気になればいい場合や、
工学で使えさえすればいい場合には
自ずとまた違った本の方がいいかもしれない。
文系なら「ブルーバックス」あたりとか、
工学だと「群と代数方程式」とかかな、ここらへんは
好みもあるし、さらっと読んで、自分に合った奴が一番いいよ。

85 :82:2006/10/30(月) 11:24:26
>>83-84
ありがとうございます
「現代代数学」と「群と代数方程式」は絶版みたいです
「群の発見」は評判よさそうなので検討してみます

86 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 11:43:15
絶版か、悪かった。自分の相性が一番大事だったりするから、好きなのがいいよ。

87 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 12:29:51
とりあえず、
「数III方式 ガロアの理論」
か、
「代数方程式のガロア理論」
を読んで貰って、飛び越える前の時代の計算を見てもらって
(うんざりしすぎたら途中で読むのやめていいというか
うんざりしてもらって(´・ω・`)

その後
「群の発見」(原田耕一郎)

「ガロア理論講義 増補版」(足立恒雄)
を読むといいお

本は図書館に買ってもらえばいいお(´・ω・`)

88 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 13:15:34
よくある語学の本って『○○語四週間』じゃないの?
まあどっちでもいいけど。

89 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 16:10:19
『○○語三日坊主』だな。戦前からありそうなギャグだが・・・

90 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 16:30:54
ごめん、どこらへんがギャグなのか分からんかったw

91 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 16:44:46
気にするな

92 :82:2006/10/30(月) 18:47:34
>>87
「代数方程式のガロア理論」はJean‐Pierre Tignol、新妻 弘の物でいいんですかね。
とりあえず図書館にないか探してみます。
「群の発見」は本屋で見てきました。日本語が多い感じの本ですが
面白そうなので他になければこれを読もうと思ってます。

93 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 19:05:32
well-definedの意味も知らなかったのに
初歩的な定理は小学生でも理解できるってのはちょっと何か勘違いしてないか

そんなんじゃ準同型定理も理解できないだろ

しかし覚えられませんもなにも覚えるものじゃないぞ
数学の定義とか定理って

94 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 19:06:27
>>66
そんな気がするね

95 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 19:41:59
昨日薦められた>41を買って読んでるんですけど難しいですね
分からない単語はネットで調べながら進んでる状態です


96 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 19:49:15
とりあえず今日は群、環、体、部分群、正規部分群、イデアルの定義は覚えました
ポイントは『閉じてる』って事だと思いました。

97 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:05:54
>>96
正規部分群の重要性は何?

98 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 20:17:01
>>97
・・・難しいですね・・・
今の所、定義そのままにaN=Naという事が大切なのかと思ってます

99 :132人目の素数さん :2006/10/30(月) 20:20:09
>>98
つ【「やるなブライト・・」】

シャアの言葉の意味をよく考えるんだ

100 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 20:24:13
>99
シャアとかよく分からないんですが・・・
とりあえず頑張ります

101 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:34:16
群の次数は部分群の次数で割り切れる

102 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:40:44
しゃあ
よっしゃ
うっしゃ
あっしゃ


103 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:40:52
群の次数って何?

104 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:42:51
シャアがわからなければ、数学は厳しいな

105 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:50:24
10個、粒が詰まっている群は次数が10だよ。

106 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:52:46
俺は同値分割の定義は一日で覚えたけど、
それを「体得した」と言えるようになるまで半年近くかかった。

107 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:53:33
シャアの補題

108 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 20:55:15
>>105
位数と混同してる?

109 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:02:13
オーダー

110 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 21:23:04
ー第2日目ー   残り13日

高2生の人はもう本を手にいれたようですね。
はやい行動は、非常にいいです。
とりあえず、いろんな言葉の定義を読んでおくと、そのうちわかってきます。
読まないことには始まらないので。

今日はきのうのつづきです。
環準同型定理をはじめてみたときは、こんなの必要あんのか?とおもいましたね。
証明ものってなかったし、群の準同型定理で代用ということです。

ところが、この定理をガロア理論で使ってみると、切れ味抜群すごいです。
やっぱし使ってみないとなにごともわからないということなんですね。
体の拡大次数と既約多項式の次数の一致がわかるだけでなく、この
方程式の他の解を添加してできる体との同型もでてきてしまうわけだし、
超越拡大(πなどの添加)が無限次元になることもでてきてしまいます。

111 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:35:05
>>110
よう文Kei。調子良さそうだな

112 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 21:36:09
>>66、111
わたしは新参なので、文keiなんて人は知りません。

超越拡大の話のづづきです。これはガロア理論と関係なさそうですが、おもしろい
とおもったのでちょっとかんがえてみました。
π^iとπ^j(j≠j)は基底として独立となるはずですが、確かめてみると本当に
そうなんです。(あたりまえか)
準同型写像は定義は簡単ですが、切れ味はすごいです。(くりかえしですよ)

他スレで、「群論なんかやっても意味ないでしょ」という発言を見たことが
ありますが、誰もなにも答えなかった。使って経験しないうちはそのすごさが
わからないのでしょう。わたしも3日前までは、環論なんて必要ないじゃんと
おもっていたのですから、ひとのことはいえません。

113 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:36:54
>>112
必死だなw

114 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:39:25
とりあえず >>97 の中の人は、前途ある若者のために
今日のうちに答えを書いてあげるです ノ

115 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 21:42:56
>>114
正規部分群のはなしは最初のほうのレスにでています。

116 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 21:50:24
>>115
ざっと抽出してみたが
役に立たない会話しかないw

117 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 22:08:02
>>116
冷たいことをおっしゃる。w

well-defined を調べれば、わかるのじゃないかな。
代数でまず、重要なのは割り算のかたちをした商群、商環とかいわれるものです。
基本の基は、商群です。商群はある群を正規部分群で割ってつくるものなのです。
割るがどういう意味がは自分でしらべてください。


118 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:19:48
>>117
何かものすごい勘違いしてるような気がするが
well-definedという言葉自体は別に代数の言葉とは限らんし
それとも関係ない。

119 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 22:35:35
>>118
そうね。正規部分群と  well-defined をいっしょにぐぐらないとだめでしたね。

120 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:44:23
well-definedという言葉に
何か変な夢でも持ってんのかねぇ
変な人だ

121 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 22:44:42
正規部分群の重要性は剰余群が定義出来るという事で良いですか?


122 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 22:49:36
>121
> 正規部分群の重要性は剰余群が定義出来るという事で良いですか?
もうひとつ、Group morphsim の kernel になること。
”Homomorphism Theorem" で調べると良い。

123 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 22:58:30
なるほど・・・・
>1さんのレスをみて、何故部分環でなくイデアルが大事なのか分かった気します。


124 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 22:58:38
>>121
> もうひとつ、Group morphsim の kernel になること。
>>46 を参照してください。

125 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 22:59:34
>122
有り難うございます
なんか横文字難しそうですね・・・

126 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:00:53
>well-defined を調べれば、わかるのじゃないかな。
そ れ は な い

127 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:06:14
>>124
群モルフジムって何ですか?

どうせ射と準同型写像の違いなんて分かってないんだから
知らない単語なんて使わなければ良いのに

128 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/30(月) 23:06:49
>124
有り難うございます
見慣れないものが多いのでもうちょい勉強します
なんかパズルみたいで面白いですね


129 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/30(月) 23:12:22
>>120
> well-definedという言葉に何か変な夢でも持ってんのかねぇ
>>30を参照してください。

>>127
わたしがつかったのではないです。122のコピペをしただけ。homomorphism を
略したんでしょう。

さて、きょうも寝るとします。明日も頑張ろう。

130 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:15:40
群は3の倍数とかの構造を組み込むための道具です。

131 :97:2006/10/30(月) 23:17:22
>>128
席を外している間に>>122で答えが出たみたいだけど、、、
写像f:G→G'がf(xy)=f(x)f(y)を満たすときfは準同型写像となる。
{x∈G|f(x)=e'}をKer fと書くことにすると、Ker fは正規部分群。
e'はG'の単位元

132 :97:2006/10/30(月) 23:18:34
>>129
綴りが間違ってるってことでない?

133 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:18:51
>homomorphism を略したんでしょう。
ちゃうやろ

というか>>46の「おっとタイプミス」を参照してどうすんだろ

134 :97:2006/10/30(月) 23:19:32
>>131
×fは準同型写像となる。
○fは準同型写像という。

135 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:20:00
あるパターンが現れれば、群の構造がないか調べます。整数は加法について
1の無限群。

136 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:33:25
>>129

↓これはアホだ。

30 名前:ガロア理論勉強始めました [sage] 投稿日:2006/10/29(日) 21:46:37
>>26
それは問題でやりました。解答にwell-definedうんぬんと本文で説明のない
話がでてきてまいりました。

137 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:37:51
well-doneと書いてあるのもある。。。

138 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:38:30
well-doneがあるならgood job!もあっていいな

139 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:54:13
good-girlsもある。。。ciaがたむろしているジョージタウンの
ストリップ小屋、なぜかグーグルアースに名前はないけど、画像はある。


140 :132人目の素数さん:2006/10/30(月) 23:55:55
オセロどぞ
++++++++
++++++++
++++++++
+++○●+++
+++●○+++
++++++++
++++++++
++++++++

141 :132人目の素数さん :2006/10/31(火) 07:02:44
「やるなブライト・・」=(ミサイルの)中身が核

ということで、>>98
よく「逆襲のシャア」を勉強しておくように

142 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 09:03:29
どう見ても文keiです。
本当にありがとうございました。

143 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 09:44:22
文keiさん,お久しぶりです.今回は途中放棄,退散はなさらないで下さい.
期待してます.

144 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 16:06:23
ロットマンどうよ。最強入門書の声があるが。

145 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/31(火) 17:46:19
学校でずっと読んでます。
素イデアルや多項式環、既約多項式などをやりました
難しいと思ったのは既約多項式ですかね
Q上でも4次以上になると判断は難しいのに、一般の体上の多項式が既約かどうかの判断というのが全くイメージできませんでした
それと、今の所数学をやってるというよりパズル感覚なんですが、その内数学と思えるようになるんでしょうか?


146 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 19:18:30
>一般の体上の多項式が既約かどうかの判断というのが全くイメージできませんでした
そういう判断はそもそも必ずしも出来るとは限らない。
Q係数の一次式の因子を持つかどうか、つまり
(ax+b)*( (n-1)次式 )の形に因数分解できるかどうかは、
すぐに判定する方法があるけどね。
一般に(m次式)*((n-m)次式)の形に因数分解できるかどうか、
というのは人間には分からないかもしれない、
と思っといたほうがいいかも。

>今の所数学をやってるというよりパズル感覚なんですが、その内数学と思えるようになるんでしょうか?
数学ってパズルみたいなものだから。

147 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 20:14:38
1は何学部何学科(出身)ですか

148 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 20:41:13
多項式のグラフの0点が有理数を通るかどうか。。。。
リーマンゼータの0点が1/2の上にあるか。。。。


149 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 20:53:12
ax^2+bx+c=0
x=p/q
ap^2+bpq+cq^2=0
(ap+xq)p=-q((b-x)p+cq)
(p,q)=1
ap=0 mod q
cq=0 mod p
a=0 mod q
c=0 mod p

150 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 20:58:41
3x^2+bx+3=0
x=(-b+/-(b^2-36))/2


151 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 21:23:55
>144
> ロットマンどうよ。最強入門書の声があるが。

これかい? ⇒ h ttp://www.amazon.com/Galois-Theory-Universitext-Joseph-Rotman/dp/0387985417/sr=8-1/qid=1162297145/ref=sr_1_1/002-0721240-1480042?ie=UTF8&s=books
読んだ事は無いが、Rotmanだからそうひどい本ではないだろう。

152 :82:2006/10/31(火) 21:38:26
「群の発見」を買ってきました。
内容はこんな感じです。
第1章 シンメトリー
第2章 代数方程式の解法と群の誕生
第3章 ガロア理論
第4章 群論の基礎
第5章 ガロアの最後の手紙
第6章 アーベルとガロア

正規部分群とかは4章まで出てこないのでしばらくは
みなさんが話してるようなことを理解できなそうです

153 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 21:48:42
1へ.「法学部生が理系を見下すスレ」か,これに近いスレを
数学板で見たことはありますか?いや,立ち上げたことはありますか?

154 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 21:51:57
>>1 = 馬鹿文kei

なんで、いきなりガロア理論なんだ?
「理論」という言葉がカッコいいからか?
それでまわりの友達にひけらかして自慢するのか?

テメエ、やるならいつでもかかってこい
いつでも相手してやる
殺されてほえずらかくなよ


155 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:00:16
>154
> 殺されてほえずらかくなよ

>1が文keiかどうかは知らないが、>154みたいに最初から喧嘩腰になる事はないだろう。
もし>1が本当にGalois理論を理解したら慶賀の至りじゃないか。

156 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:04:09
まあ、殺されたらほえずらもかけんわな。

157 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/31(火) 22:12:14
ー第3日目ー  彗星衝突まで後12日

>132、133
記憶力が悪くて、Automorphismなんて何回でてきても、あれどれだっけ?
になってしまうので、「オートバイで事故(自己)った」とおぼえたのです。
ところが、その記憶法を忘れてしまって結局役にたたないです。都合100回
位見て最近やっとおぼえましたが、HomomorphismとIsomorphismはいまだに
混同します。

実は、優秀な高2生さんに、嫉妬していまして、わたしは2ヶ月の
アドバンスが高2生さんにあるのですが、一週間くらいで抜かれるのでは
と多少不安があります。
>>136 
まさにあほでした
>>142、143
知らない人です。
>>145 高2生さん
>今の所数学をやってるというよりパズル感覚なんですが、その内数学と思えるようになるんでしょうか?
数学こそ最高のゲームなんです。king of games!


158 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/31(火) 22:19:01
>>147
知り合いにばれると困るので文系とだけでお許しを。
>>153
ぜんぜん知らないスレです。もちろん立ち上げたこともありません。
>>154
文keiなんて知りません。以降この話はスルーしますので、ご容赦をお願い。


159 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:25:35
文keiとは別人というならまだしも知らないとは白々しいな。
> ここんところ、文系スレ、独学スレをあまり見ないのでたててみました。
というからにはかつて独学スレを覗いていたはずで、それなら有名コテの文keiを知らぬはずが無い。

160 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:36:07
autoは「自己」ということ。
オートバイは多分和製英語だと思うんだけど、
自動二輪の「自動」とか「自」に当たるのがauto。

homoは「同じ」、isoは「全く同じ」だと思っとけば良いんじゃないかな。
endoは「中へ」。

だから準同型とかいうとまるで同型の方が大事で準同型はオマケみたいだけど、
本来はhomomorphismのほうが中心的概念。

こういう単語は理系では良く出てくるような…
化学のイソ何々とかいうのもiso。
等費用曲線はiso-cost curve とか言うらしい。

161 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:41:38
>160
morphはギリシャ語で「形」、を言った方がいいんじゃないか?

162 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 22:43:43
>>157
> 数学こそ最高のゲームなんです。king of games!

なに? この馬鹿発言

中二病どっぷりだなwwww

163 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/31(火) 23:02:53
>146
やはり難しいんですね・・・けど、既約多項式って大切ですよね?
多項式環での素イデアルって結局、既約多項式を求めるのと同じのような気が・・・なんか混乱してきた

164 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/31(火) 23:06:01
>157
いや本当に定義みながら確認してるだけで殆ど何もイメージ出来てないです(分かってないです)・・・早くガロア理論の核まで進みたいです

165 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 23:11:50
>163
既約元と素元は混乱しやすいから、気をつけたほうがいい。(UFDならば両者は一致。)
ついでに言うと、体上の多項式環は1変数のときPIDだが2変数以上ではそうならない。
どちらもUFDではある。(Hilbertの基底定理による。)

なんて言うとますます混乱するかな?
迂遠なようでも、きちんとした(=可換代数の初歩部分を真面目に書いた)代数の本を読む方が結局早い。

166 :132人目の素数さん:2006/10/31(火) 23:13:17
体上の多項式環の話以外はとりあえず必要ないんじゃないの。

167 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/10/31(火) 23:22:13
>>159
本当に知らないんです。
>>160、161
ありがとうございます。
>>162
わたしの発言はみなバカ発言ですよ。

今日の勉強内容です。
独学中のかたのお役にたてたらうれしいです。

体の拡大 K→L があると、LはKをスカラーとするベクトル空間となるのです
が、その理由として本には、ベクトル空間の公理を満たすからとしか出てい
ないのです。きちんとたしかめればいいのですが、気が乗らなかったです。
それですっきりしないのですが、まあいいかで先へ進んでしまい
ました。ですが、やっぱり気になるのでそこへ舞い戻って別の証明を考えてみました。
ようは、分数の形になったものを、多項式のような形にできればいいわけです。

例です。
1/(1+√2)=−1+√2(有理数体Qに√2を添加したばあい)
1/(a+bω+cω^2)=a'+b'ω+c'ω^2 (a,b,c、a'b'c'はQに属する。1+ω+ω^2=1)

これは書くのは大変だ。時間がかかって無理ですね。ともかく本に特別の場合の
やり方がでていたので、(ユークリッド互除法からえられた、fh+gk=1の式
を使いますfとgは互いに素、hとkはある多項式)それを一般化すると代数拡大
の単拡大の場合が証明できます。さらに一般化すると一般の代数拡大の場合が
証明できます。超越拡大のばあいは、無限次元になっていいのですから、1を
多項式で割っていくことでいいのではないかと思います。また超越拡大は、
ガロア理論ではとりあえず(先は知りませんが)関係なさそうなので気にしなく
てもいいかとおもいます。
ここまでくれば、ベクトル空間の公理を満たすことは自明です。まちがってないかな。
まあいいや。

168 :165:2006/10/31(火) 23:28:36
>166
>体上の多項式環の話以外はとりあえず必要ないんじゃないの。

かも知れん。それからHilbertの基底定理は記憶違い。(もっと簡単な事だった)。

169 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/10/31(火) 23:57:11
また難しそうな言葉が出てきてますね
頑張ります

170 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 00:08:27
手段と目的を取り違えすぎ。
アドバイスする方もアドバイスになってないし。
何のためにその本を読んでいるのかということが
まるでわかっていないまま思いついたままの言葉を
垂れ流すだけだから、ミスリーディングになってしまう。
文keiにしろ>146とか>165にしろ。

171 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 00:59:01
おれは数学科だけど、ちょうど今学期ガロア理論の授業あるから、参加しよっかな。

172 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 01:00:43
私も文keiさんと一緒にガロア理論の勉強を始めたいと思います.
一緒に頑張りましょう.

173 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 01:02:31
「法学部生が役に立たない理系を見下すスレ」ググったらありました.


174 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 01:37:50
>>167
いちいち指摘するのも面倒なくらい、そこら中やばいです。

175 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 01:45:53
やばいと言うだけなのもアレなので、
>きちんとたしかめればいいのですが、気が乗らなかったです。
これでは絶望的。

176 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/01(水) 07:35:16
167は忘れてください。
大きな勘違いをしていました。
いまきづきました。
穴があったらはいりたいです。
あれほど環準同型の利点を強調していたのに。

環同型定理で k[θ] 同型 k[x]/(f)   (fはθの既約多項式)
k[x]/(f)は体になっていますから、k[θ] は k(θ)と一致しています。
最初よんだときはわかっていたのですが、そのうち勘違いをし始めました。
つまり、167の代数拡大の証明部分はいまさらいらなかったことになります。
しかも、あきれることに167の証明が本にのっていました。
というわけで、167は忘れてください。

また、なにかまちがえていないといいのだけれど。

177 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 07:38:34
>>176
馬鹿かおまえは
馬鹿丸出しだぞ

自分を賢く見せようとしてないか?

恥ずかしいよ

178 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/01(水) 07:40:36
>>172
文keiという人はしりませんが、よろしく。
>>174
たしかにやばいかもしれません。

179 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/01(水) 08:05:37
>>171
よろしく
>>177
バカ丸出しでした。

180 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 10:06:43
今ガロア理論学んでる高3なんだけど、
高2はさオイラーとかフェラリとかカルダノの解法見てみてさ代数的解法を振り返ってみれば?
そっからラグランジュとか置換群について学べばイメージ掴めるんじゃないかな

181 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 14:12:38
>177
> 馬鹿かおまえは馬鹿丸出しだぞ
> 自分を賢く見せようとしてないか?恥ずかしいよ

ただ罵倒するだけのお前も、同じ馬鹿で恥ずかしい事に気が付かないのか?
具体的に如何が如何間違っているか指摘しない(出来ない?)ならただの雑音だ。

182 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 14:18:54
>27
> Gal(K/Q) = 四元数群、となるKの例は?みたいな。
それは、Inverse Galois Problem といって(関係はあるが)一応別の分野。

183 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 14:21:29
>>177
背伸びしたい年頃なのさ。君も昔そうだったろう。「僕はひかえめだった」
そんなわけないだろう。だったらこういうレスはしないもんね。もう少し思いやり
をもって、>>181の言うように生産的なレスをしよう。

184 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 15:27:17
http://web1.nazca.co.jp/hp/28go/d/zlink.html

185 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 17:37:52
今日久しぶりに本屋で数学の本眺めてたんだけど、
Jean‐Pierre Tignolって人の書いた「代数方程式のガロアの理論」
て本はかなりよさげだったよ。

186 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 17:41:16
>>182
>>27にそのようなレスをつけるのはいかがなものかと。

187 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:21:16
>186
> >>182
> >>27にそのようなレスをつけるのはいかがなものかと。

そうか。じゃ
(1)Galois群の計算は、よく知られた例を除きそう容易ではない、
(2)与えられた(有限)群をGalois群に持つようなGalois拡大K/Fを決定するのはK=Qであっても容易ではない。
で許してくれい。

188 :187:2006/11/01(水) 21:23:44
"K=Q" should read "F=Q".
Sorry!

189 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:39:00
>>187
F=Qだから容易でないんだよ。Fが何でもいいんなら容易。

190 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:45:14
>170
> 思いついたままの言葉を垂れ流すだけだから、ミスリーディングになってしまう。

そう言いたくなるのも分かるがね。
しかしAd hocじゃなくて体系的に書くとなると、Galois理論みたいに完成された分野は、
特定の2-3種のテキストの垂流しみたいになってしまうぞ。
もう少し、特殊な分野で代数的整数論のスレッドがあるが、
そこでは「定義や定理の羅列でひどい」なんて言ってる奴もいるからなあ。
こういう不特定多数の人間が来るところで万人向けの議論なんて土台無理だよ。

191 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:48:21
>189
> >>187(+188)
> F=Qだから容易でないんだよ。Fが何でもいいんなら容易。
そりゃそうだが、それじゃ元の>27に対する答えになってないんじゃないか?

192 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:49:05
>>190
アホ。

193 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 21:55:30
>192
他人を無意味に罵倒する前に自分の考えを書け。
それが出来ないなら、此処へ来るな。

194 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 22:01:28
>>193
まず目的を認識しろ
話はそれからだ。

195 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/01(水) 22:47:31
ー第4日目ー  ハルマゲドンまであと11日

前書きとあとがき、それと参考文献のページは、楽なので(本文とくらべて)
なんども読みます。
で、わかったことですが、今勉強しているのは、現代ガロア理論といわれる
もので、ガロアのつくった理論そのものとはかなり様変わりしているようです。
本質的なところはおなじだとおもいますが、ガロアの死後100年もたってからの
定理が載っているところをみるとそれは間違いないでしょう。

で、参考文献のページをさらによく読むと、アルチン氏がつくったようです。

ガロア理論を始めて日もたたないのに、Steinitzの定理というのがでてきました。
これがむずかしい。
学校が「いらっしゃい、いらっしゃい、勉強しましょう」
と言うので、校門を入ったらすぐそこに地雷原が待っているようなものです。

本の著者は、「存在定理のほうは無理して読まなくともいいよ」といってくれ
ていますが、死ぬ気でよめばわかります。無限変数多項式環というのに面食らい
ますが、言葉とおりのものです。

ツォルンの補題というのもでてきます。これは選択公理より直に得られたものですから
公理と考えてもいいでしょう。でも、なんかこれは信頼できないという気が
してならないです。ツォルンの補題について議論しているスレもあるようで
のぞいたことがあります。
つづく…

196 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/01(水) 22:48:04
高校生の人とかで、この定理はわからないが、とばして進むのはいやだと
思われているばあい、ガロア理論を本来の有理数体のもとでの代数拡大の
問題とみなしてみるのもいいかとおもいます。

この場合、代数的閉包の存在は直感的にもわかりますし(それが体をなす
ことは証明が必要ですがむずかしくないです)、複素数体までいけば、ガウスが4度も証明をしている「代数学の基本定理」でこれが代数的閉体である
ことはわかります。この「代数学の基本定理」の証明はそれほど難しく
ありません(もちろん、数学の基礎知識のないわたしには超難解でした
が、普通の高校生でも理解できるものです。)

197 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 22:51:29
>>190
新しい参入者は知らないのだろうけど、代数的整数論のスレは、
既知害の隔離スレ。既知害があそこに書き込むのに必死になって
くれているおかげで、他のスレが助かっている。

昔のガロア理論スレはアイツのおかげでどんなに荒れたか。

198 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 22:59:19
>>196
>代数的閉包の存在は直感的にもわかりますし(それが体をなす
>ことは証明が必要ですがむずかしくないです)

ほほう、むずかしくないとな。概略でいいから書いてみそ。

199 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 23:06:24
>>191
ところで君は、有限群が与えられた場合に、ガロア拡大を
構成する方法はわかっているのだろうか?

200 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 23:07:38
>今勉強しているのは、現代ガロア理論といわれるもので
現代ガロア理論なんて言うかねえ、、

ガロアの時代には群も体もベクトル空間も準同型も集合も何も無かったんですよ。
あったのは方程式と根の置換くらい。
様変わりも何も、同じものになるわけがないですね。

何という本で勉強してるの?

201 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 23:56:29
>>199
Q 上のガロア拡大に限らなければ自明なわけだがw

202 :132人目の素数さん:2006/11/01(水) 23:59:10
>>201
で、どうやるの?

203 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 01:18:19
>>198 リウヴィルの定理一発だろ。確かに簡単。

204 :203:2006/11/02(木) 01:22:03
>>198
ごめん代数学の基本定理の証明と早とちりした。
まあ、代数的閉包にしても単純拡大の繰り返しを超限帰納法でやるかツォルンで
やるかで出来たと思うが。

205 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 06:08:11
>>204
ちがうよ。聞いているのは、代数的数全体が体を成すことの方。

206 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 06:13:29
>>195
てめえの母は500円で誰にでも
イッパツやらせる、きたねえ
メス豚だ

文句があるならかかってこい

207 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 09:14:01
>197
> 新しい参入者は知らないのだろうけど、代数的整数論のスレは、既知害の隔離スレ。
> 既知害があそこに書き込むのに必死になってくれているおかげで、他のスレが助かっている。
> 昔のガロア理論スレはアイツのおかげでどんなに荒れたか。

そうかね? でもKummerの書いている内容は、代数的整数論としてはまともだと思うが?
それに、>198(=?>199)みたいな揚足取りが目的の奴等とか、>206みたいな訳の分からん奴等がいる限り
此処も荒れるんじゃないか?

208 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 09:15:08
ココは >1 からしてアレだから荒れているのだ

209 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 11:06:36
>>207
198=199は間違ってはいないけど、揚げ足取りとは心外だね。
>>167のような見当違いのことを言っている人が、代数的数全体が体をなす
ことの証明は簡単だと言うから聞いてみただけだよ。
ガロアの逆問題に関しても、なんかちょっとずれたことを言っていたような
気がしてたのを、Q上でなければ自明だ、とか言い出すから聞いただけ。
Q上で考えるのに比べれば容易ではあるけど、自明なことではないからね。
理解できていないことを、さもわかったふりをしていたり、
まともだと言ったりする態度の方がよほど真摯ではないと思いますが。

210 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 11:26:40
まあしかし、「体をなすことは証明が必要」と気づいただけましかもね。
彼が文keiであろうとなかろうと、荒らすつもりはありませんです。

211 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 12:19:28
>>207
昔のガロア理論スレでKummer(当時は最初の数字をハンドルに使っていた)の
書き込み探してみな。考え変わるからw

ま、いずれ荒しが出るのは2ちゃんだもん、仕方ないわな。

212 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 12:40:20
>>209
「任意の有限群Gに対して、適当な基礎体をとればその上のガロア拡大で
ガロア群がGになるものが存在する」という命題なら自明だろw

えらそーに書いてるが、基本定理が本当にわかってんのか、おまい?

213 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 12:47:15
>>212
自明だけではよくわからないんで、
証明をよろしく。
スケッチでよいから。

214 :203:2006/11/02(木) 12:51:01
>>213 口頭試問が受けられるスレ(w

皆さんがんがって!外野から見守ります。

215 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 13:05:46
教えてクンが偉そうに口頭試問するスレでもあります(ww

216 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 14:46:51
>209
>>>167のような見当違いのことを言っている人が、代数的数全体が体をなす
> ことの証明は簡単だと言うから聞いてみただけだよ。
だったら、何処が見当違いか具体的に指摘すれば済む事だろうに。

>211
> 昔のガロア理論スレでKummer(当時は最初の数字をハンドルに使っていた)の書き込み探してみな。
> 考え変わるからw
そうか。じゃ調べてみるよ。

217 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 14:49:44
横レスだが、>>167はおバカすぎると思う。
線型空間の定義くらい勉強しなされ。

218 :203:2006/11/02(木) 15:30:03
>>217 馬鹿を晒す自由もあるってこと。
お馬鹿すぎる自分に気付いて後で後悔するかもな。

219 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 15:31:44
>>167へのレスに対して、
>何処が見当違いか具体的に指摘すれば済む事だろうに。
ってゆうやつもすげーなw

220 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 15:35:56
・突っ込むときは、具体的な指摘をしない
・証明がわからなくとも、相手を口頭試問して問いつめる

2ちゃんの基本じゃないか。

221 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 15:39:00
言われてみれば、198=199=209 は相手への突っ込みばかりで、
数学的に意味のある話は何も書き込んでないんだよな。

すげえな、2ちゃんの基本をマスターしてるじゃん。

222 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 15:57:54
なんかムズムズするので、恥ずかしい所さわってたら糊のようなものが出てきた。
気持ちよかったけど、ぬるぬるして気持ち悪いよ。パンツ汚しちゃった。

223 :198=199=209:2006/11/02(木) 16:10:44
やれやれ。僕は別に格段変なことを言っているのではないと思うけどねー^^;
まず>>167から。
KL⊆Lと言えば、それこそ自明な話なのに、分数とか関係ないですね。
後段に至っては何をしようとしているのか見当もつきません。
>>217の言うように、線形空間の定義もアヤシイです。
代数的数全体が体をなすことの証明は、よく知られているものは線形代数の
知識を用いるものです。この態では、ほんとにわかっているのか?って当然
思いますよね。

任意の有限群をガロア群にもつガロア拡大の存在は、証明を書けと言われれば
書いてもいいですし、文献を挙げることも可能です。
が、そのまえに自明な証明をよろしく。

224 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 16:15:47
ところで、profinite群ならばQ上のガロア拡大を構成できるんですよね〜

225 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 16:21:44
>>223
文献とか、わかった振りするのはもういいから、n次対称群をガロア群に
もつガロア拡大の存在の証明書いてみ。

226 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 16:25:39
>>225
Q(X_1,・・・,X_n)/Q

227 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 16:27:26
で、Gを埋め込めばいいわけですね。
自明とは思わないけど、わかってるぽいからいいや。

228 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 16:30:31
>>226-227
ガロア理論を永田の可換体論で勉強したら
その程度は自明と思えてくるんだw

229 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2006/11/02(木) 17:24:01
任意のアーベル群をガロア群に持つ Q 上の代数拡大を構成せよ。
俺が前にガロアスレに答えを書いたけどな。


230 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 17:28:35
キタ━━━(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*(゚ロ゚*)━━━!!!

231 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 17:38:26
キタァ(゚∀゚)ァァ( ゚∀)アァ( ゚)ァア( )ァァ(` )アア(Д` )ァア(*´Д`)アァン

232 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 21:18:32
>228
> >>226-227
> ガロア理論を永田の可換体論で勉強したらその程度は自明と思えてくるんだw
そりゃ頷けんなあ。
あれを名著と言う奴が未だに居るのが不思議じゃ。

233 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 21:19:55
やっぱ森ちゃんの「代数概論」かなぁ。

234 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 21:48:37
それはもっとないw

235 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 21:50:27
>>232
岩波基礎講座の藤崎のも、永田の解読作業を一つの目標にしてた
みたいだしな。教科書を書くサイドからみれば名著でそ。

>>233
あれはなんかいろんな本のコピペ集っぽくって嫌。元ねたがわかってる
わけじゃないが。やはり、森田と永田じゃ格が(ry

236 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/02(木) 21:57:06
やっと明日から体の理論に入ります
群や環のごく基本的な所は大体理解したと思います。
一つ質問なんですが、ユークリッド整域でない事ってどうやったら証明出来るんでしょうか?
PIDやUFDは具体例もあり、定義もわかりやすいですがユークリッド整域はイマイチイメージが掴めません・・・・

237 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 21:57:47
森田の元ねたの一つは服部昭だろな。
代数系のよい入門書って、ないね。

238 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:00:25
>ユークリッド整域でない事ってどうやったら証明出来るんでしょうか

「でない」ことって、たいてい証明しにくいが・・・
たとえば、単項でないイデアルの存在を示す

239 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:07:21
>223 :198=199=209:
> まず>>167から。
> KL⊆Lと言えば、それこそ自明な話なのに、分数とか関係ないですね。
> 後段に至っては何をしようとしているのか見当もつきません。

「KL⊆Lと言えば、自明」で済ましておけばいいのに余計な事言うから絡まれるんだよ。

> >>217の言うように、線形空間の定義もアヤシイです。
> 代数的数全体が体をなすことの証明は、よく知られているものは線形代数の知識を用いるものです。
> この態では、ほんとにわかっているのか?って当然思いますよね。

大体相手は初心者なんだぜ。「ほんとにわかっているのか?」なんて思う事自体馬鹿げてるよ。
此処も、余計な事言わないで黙って「代数的数全体が体をなすことの」
「よく知られている線形代数の知識を用いる」「証明」の
参考文献を指示(実際に書くと長いから)しておけばいいのさ。
どうせArtin以降のテキストは皆Dedekind-Artinの路線に従っている訳だから、
「こんなのお前のオリジナルじゃないだろ」とか言って絡んでくる奴も居ないだろうし。

240 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/02(木) 22:09:44
>238
ええそれは分かるんですが、PIDでユークリッド整域でない例ってあるんですかね?
調べても無かったんですよね・・・


241 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:12:34
>237
> 代数系のよい入門書って、ないね。
そうかな?Cohnなんかいいと思うが?

242 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:13:13
>>240
Q(√n)の整数環でそんなのがあったはず。

243 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/02(木) 22:18:48
>242
また難しそうですね
勉強します・・・

244 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:20:41
>>237
「現代代数学」 ファン デル ウェル デン

245 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:21:03
>242
> Q(√n)の整数環でそんなのがあったはず。

Z(√-5)がそうじゃなかったか?

246 :245:2006/11/02(木) 22:32:00
Z(√-5)は間違い。
>242  Q(√n)の整数環
を尊重するとn=-19。
具体的には、-19≡1 Mod 4だから 
 Z[(1+√-19)/2] 
がEuclideanでないPIDの例。

247 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 22:51:22
>>241
Cohn は良いと思うのですが、3年生にすすめるテキストとしてどうです
かね。杉浦解析をどーたら言ってる人たちに聞いてみたいですがw

>>244
私もそれを1,2年の頃に全部ではないですが読みました。いい本だと
思います。ああいうゆっくりした本は現代では流行らないのが残念です。

248 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/02(木) 23:01:56
ー第5日目ー        ゴジラ来襲まであと10日

>>198、206
いそがしい、いそがしい、というわけでかまってあげられなくて、ごめんね。

>>200
> 何という本で勉強してるの?
これは借りた本で、ここで明かすと知り合いにばれる可能性があるので
ひみつです。お金があれば、『高V方式・・・』をミエを張らずに買います。

ひたひたひたひた
ひたひたひたひた
これは高2生の足音です
亀とアキレスのパラドックスが本当なら簡単には
抜かれないはずなんだが、最近のレスを見ると
すでに抜かれたかもしれない

既約多項式をきちんと調べているらしいことにも
ショックを受けていました。わたしは素数のアナロジーで
やっていただけで、本当のところはまるでわかっていなかった。

分離性(多項式が重根をもたないこと)の章にはいると、既約の
正しい理解がないと、証明は理解できません。有理数体の上での
既約多項式は、すべて重根をもちませんが、ここでの証明のポイントは
f’(既約多項式fの微分)が、fと同じ根をもたないということが
いえればいいわけです。もしおなじ根をもてばfが既約という前提に
矛盾します。しかし、わたしはよくわかっていないので、次数の低い
同じ根をもつ既約多項式がなぜ存在してはいけないのかよくわかりません
でした。

249 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/02(木) 23:08:04
さて、この分離性ですが、有理数体の上の既約多項式が重根をもたない
なら、有理数体の上の代数拡大のみをかんがえるとして、とばしていいの
ではないかと考えました。

ですが、ちらっとみると、どうも重要そうな定理があるんですね、
ですから、とばすわけにはいかないようです。ごちゃごちゃした
議論をつづけていかなくてはならないようで気が重くなります。
こういうわけで、ガロア理論は難しいといわれるのでしょう。
アルチンさんいいがげんにしてよ。

250 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 23:26:34
>>248
>亀とアキレスのパラドックスが本当なら簡単には

さっそく数学の教養をひけらかしか?




251 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 23:30:03
>>244
ファン デル ベルデンは、内容はいいのだが、日本語訳がちょっと変で悩む時がある。
原著はドイツ語なので原著をお勧めする訳にもいかないし。


252 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/02(木) 23:35:53
>次数の低い同じ根をもつ既約多項式がなぜ存在してはいけないのかよくわかりません
でした。

今気づきました。恥ずかしい。
環同型定理を考えればよかったんだ。
がっくし。
さて、寝ます。

253 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 23:45:09
英訳あるじゃん

254 :132人目の素数さん:2006/11/02(木) 23:45:39
253は>>251

255 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 01:16:20
>247
> Cohn は良いと思うのですが、3年生にすすめるテキストとしてどうですかね。
3巻本だから、レベルに応じてトピックが選べるのでは?
ああ、そうか・・・つまらない必修やセミナーで忙しくてゆっくり読んでいられないという事かな?

> 杉浦解析をどーたら言ってる人たちに聞いてみたいですがw
同感。数学=Calculusと思っている手合いが多いのには閉口。

> 私もそれ(=van der Waerden)を1,2年の頃に全部ではないですが読みました。
> いい本だと思います。
刊行から70年、他にモダンなテキストが出てきたから流石にもうお役御免かも。
因みに米では、Hungerford, Dummit-Foot, Jacobson(Basic Algebraの方)
を使用する例が多いとか。

>ああいうゆっくりした本は現代では流行らないのが残念です。
「流行らない」のは日本だけなんじゃない?
欧米の入門書はゆっくりしたのが大半だと思うけど。
代数全般だとCohn、可換代数だとEisenbud, 非可換代数だとLam,
整数論や代数幾何だとShafarevich, トポロジーだとHatcher, Bredon, Fomenko-Novikov
あたり、みなゆっくりしてないかな?

ところで>237「森田の元ねたの一つは服部昭」は貴兄かな?
服部昭氏は真面目なジェントルマンで、代数をやる人間にありがちな
他人を見下したような傲慢な所のない方だった。
唯、彼の「現代代数学」は少ないページ数に大量のトピックスを詰込んだ為、入門書の筈なのに
余程の英才and/or既に代数が分っている人間でないと読めない代物になってしまったのは残念至極。
Cohnの3巻本が、彼が本当に書きたかった物に近いのではないかと小生は思う。

256 :小2生:2006/11/03(金) 01:22:51
>250
> >亀とアキレスのパラドックスが本当なら簡単には
> さっそく数学の教養をひけらかしか? ぷ

亀とアキレスのパラドックスなぞ小学校のテキストにも載っているぞ。
それとも、お前は「自分しか知らない筈なのに」と思って悔しがっているのか?


257 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 01:29:00
>>256
おいおい、コテが違ってるぞw

258 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 01:36:19
小2生ハアハア

259 :もう一人の高2生:2006/11/03(金) 10:26:12
>236
> ユークリッド整域でない事ってどうやったら証明出来るんでしょうか?

代数の厭な所(奥深い所?)って、入門コースで出てくる概念に纏わる反例が入門コースで作れない事が往々にしてある点。
Non-Euclidean PIDなんかその最たる例だと思う。

260 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 10:27:41
高校生で>>240のような疑問を持つとはなかなか有望だね。

261 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/03(金) 22:21:08
ー第6日目ー   海自 東京湾に艦艇配備完了 あと9日

きのうの分離性の続きです。
あらためて、環同型定理の威力をおもいしらされたわけですが、
いったいある根θをもつ既約多項式は一意に決まるのでしょうか?
次元が同じにならなくてはいけないことは明白なのですが、

なにせ高校程度の数学はおろか、中学程度、さらには小学校程度もあやしい
ので、すごいおお恥じかいている気がします。

数日前のことです。オイラーの関数φ(m) というのがでてきまして、もう
すっかりわすれていましたので、調べなおしたのです。φ(m)はmみまんの
mと素な自然数の個数なのですが、φ(6)を3としてしまい計算があわなかった
です。6と素な自然数は1,5ですからφ(6)は2となるはずです。とこらが
4も6と素な数としてしまったのです。これでは、小学生以下(未満かも)です。
愕然としました。

しかし、気をとりなおして前進です。文系の思考力があるはずじゃないか。
知識は不足していても補えばいい。思考力は簡単に身につかないはずだ。
というわけで、前進します。

262 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/03(金) 22:30:27
わたしの本でもユークリッド整域という言葉はでてきました。たぶんユークリッドの
互除法がつかえる整域だろうと考えて、ひまなときに調べてみましたらそのとおり
だったので、それ以上なにも気にしませんでした。

高2生さんは深くつっこんでやられているようで、驚きます。すでに高校の
過程をおえてるそうで、わたしは足元にも及びません。もっとも先にも書きました
とおり、文系で学んだ抽象概念の思考力には根拠のない自信があります。笑われ
そうですが。

263 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:04:52
>>262
ガロア理論なんて君が勉強しても仕方がないから
ココへいって数学の勉強をした方が道が開けると思われ。
http://www.suzu.or.jp/pub/imai/start.html

264 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:11:37
>>261
>いったいある根θをもつ既約多項式は一意に決まるのでしょうか?
必ずしも一意には決まりません。
てきとーな条件下で θ = 1, 既約多項式として f = x-1, g = 2(x-1)

>次元が同じにならなくてはいけないことは明白なのですが
ほんとに明白かよw

265 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:17:17
>264
> >いったいある根θをもつ既約多項式は一意に決まるのでしょうか?
> 必ずしも一意には決まりません。
普通、monicという条件をつけて一意にするんじゃ?

266 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:24:39
考える多項式環の係数は体限定?

267 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:32:12
>266
> 考える多項式環の係数は体限定?
「初等Galois理論だから、Qおよびその有限次代数拡大体に限る」んだろう。

268 :高2生:2006/11/03(金) 23:34:56
>246
有り難うございます
といってもそれがPIDでユークリッド整域でない事の証明は考えてみましたが、全然わかりません
>260
とんでもないです
分からない事だらけです
>262
いやまだまだスレ主さんに追いつけないです
ところでUFDで有限生成イデアルしか持たないと分かっている環はPIDですかね?

269 :132人目の素数さん:2006/11/03(金) 23:50:11
>>268
Non-Euclidean PIDの例は、見かけの割に相当難しいかと。
無理だとは言わないがw

>ところでUFDで有限生成イデアルしか持たないと分かっている環はPIDですかね?
おまいなら、反例は簡単にわかるのでは?

270 :246:2006/11/04(土) 00:00:36
>268
> といってもそれがPIDでユークリッド整域でない事の証明は考えてみましたが、全然わかりません

私も素手ではとても証明できません。
この証明はAlgebraci Number Theoryと称する分野に属し、(整数論専門の人から見れば簡単なのでしょうが)
準備がかなり必要な筈です。

> ところでUFDで有限生成イデアルしか持たないと分かっている環はPIDですかね?

体上の2変数多項式環は、UFDでNoetherian(イデアルが有限生成)ですがPIDではありません。

271 :270:2006/11/04(土) 00:08:25
"Algebraci" ⇒ "Algebraic" (失礼)

272 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 00:16:50
>269
あ・・・そっかZ[x]とかですね
これは2項イデアルまでしか持たないのかな?
けどその証明ってまた難しそうな予感・・・

273 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 00:19:13
>270
有り難うございます
2変数を考えればよいのか

274 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/04(土) 05:35:31
> いったいある根θをもつ既約多項式は一意に決まるのでしょうか?
基本に戻って考え直してみました。

L ∋ αのとき(LはKの拡大体)
準同型写像 φ:K[X]→L X→α
を考え、

K[X]/Kerφ 同型 K[α]

K[X]は単項イデアル整域(PID)だから、ある多項式φ(最小多項式とする)があって
上の同型は
K[X]/(φ) 同型 K[α]
となる。

(定理) 既約方程式fが f(α)=0ならばfは、最小多項式φと一致する。

これでfの一意性はいえたわけですが、なんかいまいちすっきり
しない。まあいいか。

>>263
よいHPとうも。
>>264、265
定数因子の部分は考慮しないのをかきわすれました。
>>266、267
体限定です。(おそまつ) でも、有限体だって出てるぴょーん。

275 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 07:58:19
>>274
で、おまえいつ死ぬの?

276 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 08:17:49
>>268
なかなかしっかりした読み方をしているようなですねー。
>>246で挙げられている例がユークリッドでないことの証明は、
別に代数的整数論の難しい知識を用いずとも可能ですよ。
方針を少しずつ書いていきますので、この休日の間にでも
じっくりと考えてみてはいかがですか?
まずZ[(1+√-19)/2]の(通常の)ノルムはどのような式になるか書いて下さい。
これからやるのはこのノルムについてユークリッドでないということを示すわけで、
別のノルムをとればユークリッドになるかもしれないということが否定されるわけ
ではないです。
次にa∈Z[(1+√-19)/2]が可逆元になるためにはN(a)=1であることを証明して
ください。そしてZ[(1+√-19)/2]の可逆元をすべて求めてください。
また一桁の整数でノルムの値となり得るものをすべて挙げてください。
とりあえずここまで。この辺りは入試の勉強にもなるかもです^^;





277 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 11:54:14
格子点を使った方が汎用性があるし、わかりやすいですかね〜

278 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 12:15:08
>276
有り難うございます
考えてみます

279 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 13:43:31
弱い者達が夕暮れ さらに弱い者をたたく
その音が響きわたれば ブルースは加速していく
見えない自由がほしくて
見えない銃を撃ちまくる
本当の声を聞かせておくれよ



280 :1:2006/11/04(土) 14:32:31
俺、中2のときから「理論」て言葉に
なんとなくあこがれてたんです。

なんか頭良さそうで。
合コンのときもモテるような気がするんで

それで、最初はアインシュタインロマン見て、
相対性理論の啓蒙書を読んでたんですが
わけがわからなくて
今度はガロア理論でもやろうと思って
このスレを立てました。

281 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 15:17:23
もてるかは朝まで何発出来るかによるよ。。。10発以上はデフォだ。。。

282 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 15:37:15
特殊相対性理論は線型代数の(ある種の)応用だろうに・・・。

283 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 16:10:32
>274
> 体限定です。(おそまつ) でも、有限体だって出てるぴょーん。

有限体はChar=pだから分離性の問題が付き纏ってややこしいいぞよ。
それから、「初等」=「易しい」と勘違いするな。
例えば、初等整数論は、Q(の代数拡大体でなく)自身を扱うという意味で
却って難しい場合が大有りだ。

284 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 16:23:23
>>274
君のその、なんていうかな、
少女がうれしくて跳びはねてるような
書きこみの文体をやめてくれないか?

285 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 17:06:24
>276
通常のノルムをNとしてa,b∈Zとすると
N(a+b(1+-19)/2)
=a^2+ab+5b^2≧0(等号成立はa=b=0のみ)
で計算によりNは積に関して凖同型を持つ事も確かめられる
α=(1+-19)/2としてx∈Z[α]^*⇔N(x)=1を示す
⇒の証明
x*x^-1=1
⇒N(x)N(x^-1)=N(1)=1ノルムは0以上の整数と分かっているから
∴N(x)=1
<=の証明
明らか
a^2+ab+5b^2=1⇒(a+b/2)^2+19b^2/4-1=0
⇒a=±1,b=0
つまり単元は±1のみになりますかね

色々調べました・・・

286 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 17:16:58
Q(2^(1/4)) = {a+b*2^(1/4)+c*2^(2/4)+d*2^(3/4) | a,b,c,d∈Q、2^(1/4)は2の正の実4乗根 }
の自己同型のうち、Qを固定するものは、恒等写像 id と
σ(a+b*2^(1/4)+c*2^(2/4)+d*2^(3/4)) = a-b*2^(1/4)+c*2^(2/4)-d*2^(3/4)
の2つでいいですか?

287 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 17:24:30
>276まだ続きありましたね
a^2+ab+5b^2
=2⇒なし
=3⇒なし
=4⇒a=±2,b=0
=5⇒(a,b)=(0,±1)(-1,1)(1,-1)
=6⇒なし
=7⇒(a,b)=(-2,1)(±1,±1)(2,-1)
=8⇒なし
=9⇒(a,b)=(±3,0)
ですかね

288 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 17:49:26
>>285
<= は、そんなに明らかでもないよ。

289 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 18:22:18
>288
本当だ・・・まだ慣れてないですね
N(x)=1⇒xx~=1(さっきはここで勝手ににx~∈Z[α]と思いこんでしまいました)
x~=a+b(1--19)/2
=a+b{1-(1+-19)/2}
=(a+b)-b(1+-19)/2 ∈Z[α]
でやっと終わりです

290 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/04(土) 18:26:12
>288
有り難うございます
それにしても最初はこれだけ時間かかるのは普通なんでしょうか?
早くスラスラ解きたいです

291 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 18:30:46
>>289
おk

>>290
ん?むしろ順調かと思うけど。

292 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 18:36:29
>>286
全然良くないです。

293 :276:2006/11/04(土) 19:13:32
すごいですねー。なかなか順調だと思いますよ。
こうした手計算をしっかりやっておけば、抽象論を追うときも
イメージができると思いますよ。
>>288での指摘がありましたけど、最初は自明と思えることでも
簡単に説明をつけておいた方がいいかも。自明と思っていたことが
実はそうではなかったってことは往々にしてあることですから^^;

では次に。αをN(α)=4となるような元とするとき、R/αRはどのような
環になるか決定してください。R=Z[(1+√-19)/2]としています。

ところで、Z[√-1]がユークリッド環になることの証明は知ってますか?

294 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 19:22:08
>>293
ちょっとまずった^^;
Rがユークリッド環であるとすると、R/αRはどのような環でなければならないか
考えてみてください。

295 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 19:30:48
で、そのあとそんなことはなり得ないということを示せば完了です∩( ・ω・)∩

296 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 21:57:33
>295
盛上がっている所に水を注すようで悪いが、Z[(1+√-19)/2]がPIDになる事を言うのはもう少し面倒なのでは?

297 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/04(土) 22:08:11
ー第7日目ー   アフガン テロリストキャンプでの地獄の訓練もはや中日

>>283
>「初等」=「易しい」と勘違いするな。
知りませんでした。どうも。

>>284
注意します。

>>285
ノルムとかぜんぜんやってない。これでいいのか→わたし。

分離性のまとめ

きょうは、優秀な女子高生の絵美ちゃんにきていただきました。

絵美ちゃん「あなた、分離性がごちゃごちゃしてわかりづらいといってましたね。
      そこで分離性のはなしは省いておはなしします」
バカ文系「はいはい、それで結構です」
「”はい”は一度でいいの。どうして省けるかと言うと有理数体の上の既約多
項式は重根をもたないので、有理数体の上の代数拡大はすべて分離的だからです」
「え?重根を持たない?普通に重根はあるでしょ?」
「重根のあるのは既約多項式ではないのです」
「え?そうだったの?」
「そうですよ」
「どうして?」
「証明をやったでしょ」
「あ。そうだそうだ」
絵美ちゃん、あきれた顔をする。     つづく。

298 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/04(土) 22:08:58
「重要そうな定理としては、まず”すべての代数拡大は単拡大になる”
というのがあります}
「単拡大はすきです。これはなんとかわかります」
「もうひとつは、代数的閉包をΩとしたとき、K埋め込み L→Ωの個数と
拡大次数が一致することです」
「なんかむずかしいなあ。K埋め込みってなんすか」
「”なんですか”でしょ。これは写像です。あなたは過去スレなど調べて
ガロア理論は、体と写像のつくる群の対応らしいといっていたでしょ。
これが、その群と関係していそうね」
「あれ絵美もしらないの」
「あなたに呼び捨てにされるいわれはないわ。わたしも勉強中なの」
「はいはい、そうですか。今日は疲れた。もうおしまいにしましょう」

299 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 23:09:46
>>296
確かにPIDであることを示すのは大分大変ですねー。
ここでの目標は一応ユークリッドでないことを示すことだけ考えていたのですが。
とりあえず、類数をおさえてやる方法ぐらいしか思いつかないですね〜
ガウスは一体どのように考えてあのような予想に至ったのか謎。

300 :132人目の素数さん:2006/11/04(土) 23:31:31
虚2次体Q(√d)の整数環が
ノルムに関してユークリッド環になるのは
d=-1,-2,-3,-7,-11のときのみ。
PIDになるのは
d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163のときのみ。
Q(√69)の整数環はノルムに関してユークリッドではないPIDであるけど、
ユークリッド環になるものだそうで、これは割と最近の結果みたいですね。
リーマン予想とも関係しているそうで、結構興味深いですね。
ご参考まで。



301 :通りがかりのオッサン:2006/11/05(日) 04:53:55
>299
> 確かにPIDであることを示すのは大分大変ですねー。
> とりあえず、類数をおさえてやる方法ぐらいしか思いつかないですね〜

て事は、やっぱりAlgebraic Number Theoryですか?(溜息)
(偶に、Dedekind-Hasse Normと称する概念を使った「初等的な」証明を見るのですが、結構長いのでまともに読んだ験しがありません。)

>300
> 虚2次体Q(√d)の整数環が
> ノルムに関してユークリッド環になるのは d=-1,-2,-3,-7,-11のときのみ。
> PIDになるのは d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163のときのみ。
それが、きちんと書いてあるテキストってあんまり無いでしょう?何故かな、と思うのです。

> Q(√69)の整数環はノルムに関してユークリッドではないPIDであるけど、ユークリッド環になるものだそうで、これは割と最近の結果みたいですね。
> リーマン予想とも関係しているそうで、結構興味深いですね。 ご参考まで。
1967年でしたっけ。リーマン予想とも関係しているとは知りませんでした。
ご教示感謝します。

302 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 10:51:31
>293
有り難うございます♪
考えてみます
Z[i]がユークリッド環になる事は今確認しました


303 :king様の弟子 ◆/LAmYLH4jg :2006/11/05(日) 11:45:12
がんばってください。

304 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 16:28:12
>>1-3
ワロタ

305 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 20:35:23
>293
R:ユークリッド整域とすると、前回の計算結果より
R/αR={0+αR,1+αR}
となるが例えば1+(1+-19)/2は明らかにどちらの剰余類にも属さない為、矛盾
で良いですか?
昨日から今日にかけては代数拡大についてやりました
証明は短いものの理解が難しかったのは、K[x]∋f(x)のfの根を少なくとも一つ含むKの有限次拡大体Lの構成の所でした
というか今でも?です
例えば、Q[x]∋x^3-2で、この根を少なくとも一つ含むQの有限次拡大体はx^3-2自体が既約なのでどの根に対してもQ[x]/(x^3-2)になりますよね?
では全ての根を含むような拡大体はどうなるか考えたのですが、よくわかりません・・・

306 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 20:40:58
>305
ωをω^2 + ω + 1 = 0を満足する(複素)数として、Q[2^(1/3)]とQ[2^(1/3),ω]を考えては如何でしょう?

307 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 20:47:54
>306
はい。Q(ω,2^1/3)の存在を言いたいのですが、具体的にどのように構成したら良いのか分からなかったです
Q(2^1/3)の構成はQ[x]/(x^3-2)とゆうのは何となく分かったのですが

308 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:07:39
>307
> Q(2^1/3)の構成はQ[x]/(x^3-2)
そうですか?
Q[2^(1/3)]⊂R ですが Q[2^(1/3),ω]¬⊂R なのでこの両者は明らかに異なりますよね。

309 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 21:17:37
>308
はい
Q(2^1/3)⊂Q(2^1/3,ω)
は明らかですが、Q(2^1/3)の存在(構成)は分かったのですが、
Q(2^1/3,ω)の存在(構成)が分からないです


310 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:23:46
>>305
携帯からなんで簡単に。
αはノルムが最小の数ということで2とは限らないです。
ユークリッドからPIDの証明がヒントになるかも
矛盾と言ってる部分も変ですよ。

311 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 21:36:46
説明なしで答を書いてしまうのは良くないのでしょうが上手く説明できる自信がありません。

Q(2^1/3)はQにx^3-2の実根を添加した体、
Q(ω)はQにx^3-2の実でないある根を添加した体、
Q(ω^2)はQにx^3-2の実でないもう一方の根を添加した体、
Q[x]/(x^3-2)はx^3-2の総ての根を添加した体。

考えている体の間の包含関係は下のようになります。

Q[x]/(x^3-2) = Q[2^(1/3),ω]
/      |    \
/      |    \
Q(2^1/3) Q(ω)〜=Q(ω)
\      |    /
\      |   /
\      |   /
       Q

何方か、私より優秀な方に説明戴ければ幸甚です。

312 :311:2006/11/05(日) 21:38:50
Q(ω)〜=Q(ω) ⇒ Q(ω)〜=Q(ω^2)  と読み替えてください。
色々工夫したのですが図が綺麗になりませんでした。

313 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:01:55
>>311
ωは1の3乗根でしょ?
全然間違ってるよ。

314 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:11:32
>>305の後半はx^3-2のガロア拡大を多項式環の商で表したいてことかな?
3次方程式の解き方を思い出してみるとよいかも。

315 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 22:14:12
>310
そっか
いかなるノルムに関してもユークリッド環にならない事を言わないと駄目ですね

316 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:14:53
わかりづらいな(^_^;)
6次方程式を作るんだよ。

317 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 22:23:27
>>315
いや、そういうことじゃなくて、αはノルムが4になる任意の数てこと。
それに上の証明ではユークリッドてこと使ってないんじゃないかな?


318 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 22:32:57
>317
はい
通常のノルムだと±2しかないんで多分このノルムに関してはユークリッド環にはならない事は証明出来たと思います

319 :311:2006/11/05(日) 22:48:16
>313
> ωは1の3乗根でしょ? 全然間違ってるよ。

ホントだ。恥ずかし。ご指摘多謝。
Q(ω)はQにx^3-2の実でないある根を添加した体、⇒ Q(ω*2~(1/3))はQにx^3-2の実でないある根を添加した体、
Q(ω^2)はQにx^3-2の実でないもう一方の根を添加した体、⇒ Q(ω^2*2~(1/3)) はQにx^3-2の実でないもう一方の根を添加した体、
Q(ω)〜=Q(ω) ⇒ Q(ω*2~(1/3))〜=Q(ω^2*2~(1/3))

320 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/05(日) 22:52:35
>316
6次方程式ですか・・・
つまり
Q(ω,2^1/3)とQ[x]/(6次既約)
が同型になるように6次既約を見つけるんですよね?


321 :311:2006/11/05(日) 23:07:12
もう一つ:
Q[x]/(x^3-2) = Q[2^(1/3),ω] ⇒  x^3-2のQ上の分解体 = Q[2^(1/3),ω] = Q[2^(1/3)+ω]

322 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 23:23:58
あ、ごめんなさい。それで合ってる。
すごいすごい。
320そうです。

323 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/05(日) 23:27:40
ー第8日目ー  警報発令 ゴジラ小笠原沖を北上中 あと7日

>>304 トン

高2生さんのやっていることがわからない…

しかし、前進しよう。
だんだんむずかしくなってきたので、絵美ちゃんの助けを借りたい。
でも、今日は部活のテニスの試合とかで、教えてもらえそうにない。
と、おもったらはぁはぁいいながらやってきた。門限がはやいから
すぐに帰らなくてはならないそうだ。

「今日は正規拡大でしょう」
「性器拡大ですか?」
「殴るわよ」
「おっ、こわっ」
「正規とはノーマルという意味です」
「アブノーマルすき」
「このバカ文系、エロしか頭にないのんか」
「バカ文系はひどいな。傷つくよ」
「事実でしょ。この3流私大」
「さあさ、勉強始めて始めて」
「L が正規拡大というのは、代数的閉包をΩとしたとき
K 自己同型写像:Ω→Ωのすべての元σで σL=L を満たすとき
拡大 L/K をいうのね」
「それはわかっているんですが、本当にそんなことがあるという
実感がわかないんです」


324 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/05(日) 23:29:07
「わかるわ。拡大の仕方によって、L の元のすべてのσによる
行き先がL のなかになってしまうというのはふしぎね。でも例を
つくってみてみれば、たしかにそうだと実感できるわ」
「L がある多項式の根をすべて含んでいる最小の分解体に
なっていればそうなるんでしょう」
「そう、よくできました。あっ、時間だ。ごめんね。また明日」
「そんなー」

325 :132人目の素数さん:2006/11/05(日) 23:52:08
物語のネタを考えるより、ライバル(?)みたいに
地味な計算をコツコツやれって。

326 :132人目の素数さん:2006/11/06(月) 12:21:53
騙りの嫌がらせかと思ったら本人かい
救いようがないな

327 :132人目の素数さん:2006/11/06(月) 21:28:29
baka = >>1

328 :132人目の素数さん:2006/11/06(月) 22:46:19
>326
> 騙りの嫌がらせかと思ったら本人かい
> 救いようがないな

「救いようがない」かどうかは分からんが、少なくとも読む気は失せた。
Adieu!

329 :132人目の素数さん:2006/11/06(月) 22:55:14
わざわざ文系ですって宣言して数学板に書き込むやつの能力なんて所詮この程度だろ。

330 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/06(月) 23:32:59
ー第9日目ー  大天使ガブリエル精鋭3000騎とともに地球防衛軍に参加 あと6日

>>325
> 地味な計算をコツコツやれって。
文系の性(さが)で計算は苦手だし、やる気がおきないし、やっても間違いが
おおくてうんざりです。でも、練習しています。

>>326ー328 意味不明

きょうは、絵美ちゃんは家に帰ってから、着替えてきました。花柄のワンピースです。
かなりのミニです。しかも、素足にサンダル。これじゃ、小学生みたいです。
ロリはぁはぁのひとはいいのでしょうが、欲情しません。
でも、すそからでた脚には目がいってしまいます。

「なに見てるの。さぁさ、勉強よ。きょうは正規性のまとめです」
「えっ。もうまとめ。はやくないか?」
「期限がせまっているんじゃないの。スレで宣言したんでしょ」
「えっ。知ってるの。秘密にしといたはずなのに」
「大恥かくわよ。いいの。では始めましょう。
きのう、正規拡大ってある多項式の最小分解体になるって
いったわね。ようするに因数分解できるってことだけどおぼえてる」
「本は20回読みますから。それくらいはおぼえています」
「正規拡大体って、根を添加した体ということもおぼえてる」
「あっ。はい」
「で、K自己同型写像は、その根を置換するのね」  つづく

331 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/06(月) 23:34:26
「えっ。じゃ置換群ですか?痴漢軍かな。痴漢群でも充分たな。絵美が
痴漢群に…」
「なに妄想してるのよ。バカ文系。そこでイメージしてよ。根を痴漢して
いる。アン、まちがえちやった。置換している同型写像の集まりを」
「イメージは得意ですよ。絵美のビキニ姿…」
「ばかたれ」
「このK自己同型写像ってのは、この前でてきたK埋め込み写像と関係
あるの?」
「おおありよ。あれがσL=Lだから、自己同型写像とみなせるわけ。
勉強したでしょ。もうちょっと説明したいけど、門限だわ。ごめんね」
「そんなー」


332 :132人目の素数さん:2006/11/06(月) 23:42:03
遠山啓は計算が大嫌いだったんだけど、
大学を出るときに高木貞治のところに挨拶に行ったら
計算力は大事だよ(なんだっけ、底力って書いてあったっけか)と諭されて
それからは真面目に計算をすることにしたとか。

333 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 00:09:50
絵美ちゃんとかいうくだらないネタを練ってる間に問題練習するなり、
証明の行間埋めればいいのに。

334 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 01:53:32
どうもすいません
本人は馬鹿受けしてるとおもって
やってるもんで

335 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 02:22:26
>◆Cs3QPD0dJQ
がんがれ。何というか、上手な言葉は見つからないが、がんがれ。

336 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 02:34:40
まあ、ボケ防止のためか、
最近、おっさん達に
脳トレとか数独とかパズルみたいのとか
やたら流行ってるから、
頭の体操代わりに、ガロア理論とか
やってみようかと思ったら、
思いのほか、むずかしくて、
絵美ちゃんとかいってお茶を濁そうって
ハラだろ


337 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 15:11:54
頑張ってる高2生氏に触発されて、私もGalois Theroyを読返したので、
x^3 - 2 の分解体について理解したところを書きます。(311〜はどうもね・・・)

α=2^1/3、ωをω^2+ω+1=0を満足する複素数とするとき
Gal(Q(α、ω)/Q)の元は
  Id=(α ω) |->  (α ω)
  σ=(α ω) |->  (α*ω ω) 
  τ=(α ω) |->  (α ω^2) 
  ρ=(α ω) |->  (α*ω ω^2)
  μ=(α ω) |->  (α*ω^2 ω)
  ξ=(α ω) |->  (α*ω^2 ω^2)
例えば、σとτに注目すると
  |σ| = 3、 |τ| = 2、 σ*τ¬=τ*σ
であるから、Gal(Q(α、ω)/Q)~=S3はσとτで生成される。
Gal(Q(α、ω)/Q)の部分群は
  <Id> <σ> <τ> <σ*τ> <σ^2*τ> Gal(Q(α、ω)/Q)
でそれらが固定する部分体は
 Q(α、ω) Q(ω) Q(α) Q(ω^2*α) Q(ω*α) Q
である。 
それらの間の包含関係は下の通り(きちんと図示されるか疑問だが) 
         Q(α、ω)                              <Id>                 
   
       Q(α)  Q(ω^2*α)  Q(ω*α)         <τ> <σ*τ> <σ^2*τ> 
  
Q(ω)                            <σ> 

           Q                              Gal(Q(α、ω)/Q)

338 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 15:51:51
Gal(Q(α,ω)/Q)=Z/2Z×Z/3Z

339 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 15:57:03
もといGal(Q(α,ω)/Q)=Z/2Z ×| Z/3Z

340 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 21:45:10
KをX^3+X^2-4X+1の最小分解体とする。Gal(K/Q)を求めよ。

341 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/07(火) 23:29:18
ーついに10日目ー  臨時ニュース 地球防衛軍と宇宙艦隊が交戦状態 あと5日

>>332
計算は苦手ですが、大事だとはおもっています。
>>333
これもまた文系の性(さが)です。
>>334
うけようとはおもっていないのですが、この性(さが)は困ったものです。
>>335、336
おわりまで、がんがります。
>>337
これは参考になります。具体例が本にまるでないので。でも、理解したところと
違うのであとでじっくり考えてみます。

きょうは、ガロアの基本定理ということで、お祝いのつもりということで
絵美ちゃんがお弁当をもってはやい時間にきてくれました。
お弁当といっても、できあいのおかずをつめただけですが、ミニトマトもはいって
いてすごくうれしいです。

「絵美さぁ。お弁当もうれしいけど。元気づけなら、キスさせてよ。キス」
「だーめ。すぐ、おとこはつけあがるんだから」
「いいじゃんか、キスぐらい。もう毎日勉強でまいってんだから」
「じゃ。今週中に目標の5次方程式の一般解がもとまらないというのを
理解できたら、ファーストキスあ・げ・る」
「キャッホー。やったぜ。停止条件つき贈与契約締結だぜ。あれっ。
解除条件だったかな」
「頼りないのね。文系のくせして」
「いまは数学に命をかけてるのさ。さぁ、勉強。べんきょう」
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
「さて、基本定理をおえたけど、ひょうしぬけしたな」
「?」 つづく

342 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/07(火) 23:30:24
「だって、これだったら、なんであんなにきつい勉強しなくちゃ
ならなかったんだ。イデアルとか環同型定理くらいまでは許すとして、
標数pの体での分離性とか、有限体とかさ。極めつけはSteinitzの糞定理(ごめん)
とか」
「ガロアのアイディアだけ理解したいのなら、たしかにあの勉強は無駄だったのかも
しれないわね」
「現代風のガロア理論をやるにしても、そのまえにわかりのいいガロア理論を
やっておけば、楽にマスターできるんじゃない?」
「ふーん」
「テレビでさ。ガッツ石松親子がOK牧場へ行くというのをやっていたんだけど」
「OK牧場?」
「うん。キャンピングカーで野こえ山こえ砂漠までこえて、西部の町まで行くのさ」
「それで?」
「入場料をはらって町外れの建物のうらから入ると、板塀で囲まれた路地の奥みたい
なところにかかしみたいなチンケな人形があってさ、そこがOK牧場ってわけさ」
「?」
「ガッツ石松も『3000キロ走って、終着駅はこれかよ』って言っていたけど
そんな感じだな」
「バカ文系。ガロアの基本定理をかかしと比較するの」
「いや。そんなつもりは」
「ガロアはロマンのひとよ。ひっかいてやる」
「うわっ。女はロマンチックに弱いからいやだ。逃げろや逃げろ」



343 :132人目の素数さん:2006/11/07(火) 23:40:03
>340
x=t-1/3と変数変換すると、t^2の係数が消えt^3+p*t+qの形になる。
-4*p^3-27*q^2が
 squareならGal(K/Q)~=Z/3Z、
 そうでないときGal(K/Q)~=S3(symmetric group on 3 letters)。
計算は面倒だからパス。


344 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/08(水) 01:18:44
>>337
あれからすこし検討して、自分の考え違いにきづきました。
実例と地道な計算は必要ですね

Q(α)/Qの拡大次数は3、Q(ω)/Qの拡大次数は2、連鎖律により
Q(α、ω)/Qの拡大次数は2x3=6
したがって、|Gal(Q(α、ω)/Q)|=6 
3と2の位数の部分群に対して中間体Q(α)、Q(ω)が
対応しているということになるわけですね。

高2生さんのレスですがりようさせていただきました。

345 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/08(水) 01:32:41
337読み直してみたら、中間体についてもちっと丁寧に書かねばだめかな。
まあ、いいか。(いつでもこれだ)

346 :132人目の素数さん:2006/11/08(水) 10:06:07
>>343
ガロア何某のレスかと思って一瞬アセったw
それを使って解いちゃいましたか〜まあいいや。
さらに>>340を使ってガロア理論で遊ぶ。
(1) X^3+X^2-4X+1の根をαとして、残りの2根をαで表せ。
(東大文系で類似問題が出題されたことがあるw)
(2) X^3+X^2-4X+1をmod pで因数分解せよ。
(3) Xに整数を代入するときX^3+X^2-4X+1の素因数として
現れる素数はどのようなものか。

347 :132人目の素数さん:2006/11/08(水) 12:19:37
>>341
あと4日しかないんだぞ。
そんなちんたら進めていてどうやって絵美ちゃんの濡れ場に持ち込むんだよ。

348 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/08(水) 22:54:25
ー第11日目ー   ゴジラ大島を破壊。元町消滅   あと4日

>>347
困っています。起死回生の大作戦を敢行するつもりです。

きょうも絵美たんはきてくれましたょーん。でも門限まじかで残念。
学校帰りの制服だった。おとこでもいるのか?
冷えてきたので、紺のコートを着ていた。黒の革靴に紺のハイソックス
セーラーの赤いリボンがみりきてき。

「ジュン、ジュン坊、・・・勉強はじめるのよ」
「えっ。・・・あっ。そうだった。勉強でつかれて、つかれて・・・」
「きょうは、昨日のつづき、オイラーの、あっ…ガウス・・・あっガロアの
基本定理のつづきです」
「あれっ・・・絵美もそうとうつかれてんな。テニスか、男じゃないだだろうな」
「なに言ってんのよ。勉強。勉強でつかれてんの。バカ文系に教えるために
わたしも勉強してるじゃないの」
つどく

349 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/08(水) 22:55:57
「昨日のレスで、”具体例がまるでないので”ってかいていたけど、ある
じゃないの、2ページあとに」
「うん、あとで気がついた。具体例は身につくし、わすれないね。抽象的
に考える一方じゃやっぱりだめだな」
「あたりまえよ。337を借りてすこし復習するね」

> α=2^1/3、ωをω^2+ω+1=0を満足する複素数とするとき

「Q(ω)/Q は、Q(ω)が x^2+x+1の根をすべて含んでいるからガロア
拡大よね」
「うん、そのくらいはわかる」
「すると、定理よりGal(Q(α、ω)/Q(ω))は正規部分群ということになるわね」
「うん。337でいえば、σ=(α ω) |->  (α*ω ω)
と σ^2、id の3つの元でできた巡回群になるね」
「その巡回群になるところもちょっと先の定理で、一般になりたつのが
わかるはずよ。じゃ正規部分群になるところも確かめてね」
「はいはい先生」
「あっ。おそくなっちゃった。帰らなくちゃー。またね」
「そんなー。薄情な。男でもいるの?」

350 :132人目の素数さん:2006/11/08(水) 23:23:48
絵美なんていう馬鹿女に振り回されてるから、ガロア理論の勉強が進まないんだよ。

351 :132人目の素数さん:2006/11/08(水) 23:32:55
「すると、定理よりGal(Q(α、ω)/Q(ω))は正規部分群ということになるわね」

あらら〜絵美ちゃんも理解できてませんが〜

352 :132人目の素数さん:2006/11/08(水) 23:39:32
見間違えた〜失礼〜

353 :132人目の素数さん:2006/11/09(木) 01:31:21
だれか1の七乗根の一般表式を教えてくだせえ!!途中で面倒くさくなって挫折したので。
答えを書いてくださりませば、それに向かって頑張りたいと思います。

354 :132人目の素数さん:2006/11/09(木) 02:25:50
>>353
(1/6)(√(-7)-1 + (56-4√(-7)+12√21)^(1/3) + (56-4√(-7)-12√21)^(1/3))

但し、3乗根は
(56-4√(-7)+12√21)^(1/3) * (56-4√(-7)-12√21)^(1/3) = 4√(-7)
となるように取る

355 :132人目の素数さん:2006/11/09(木) 15:13:29
>346
は、「拡大の同型写像に拘る(Artin流)は時代遅れ」と一刀両断したMilesみたいだね。
で、問題はよく判らん・・・
1) α、β、γを3根とするときα+ω*β+(ω^2)*γ 等導入して根の公式と組み合わせるのかな?
2) pの値の小さいところで具体的にやって見たけど、一般論は想像付かん。
  Legendre Symbolを使うのかなあ?そうだとすればGalois Theoryの範囲は超えてるんじゃないか?
3) 見当つかん。Cyclotomicの場合に還元するとか?

356 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/09(木) 23:34:45
ー第12日目ー   地球防衛軍、善戦するも遂に壊滅  あと3日

>>351
おおいに、助かっています。

絵美たんきょうもきてくれたぴ。うれぴぃー。でも、ちょっと不安。
家族はどうおもってるんだろ。まいにち、おとこのうちにきているん
だから。

「絵美んちのひと、なんともおもってないの?」
「おもってないょー。ジュンなんかおとことおもってないんじゃない」
「えっ。それはないよー。僕だっておとこだぜぇい」
「いきがってもむだよ。ぼくちゃん」
「うわっ。きずついたぁー。ぐすぅん」
「はい。いいこ、いいこ。おべんきょしましょ」
「はぁーい。絵美おねーちゃま」
・・・・・・・・・・・・・
「ガロアの基本定理をおえたら、計算ばっかりでまいっていたんだ。
あっ、証明だ、と喜んだら、これがむずかしい」
「一般代数方程式のガロア群がn次対称群Snになるという定理ね」
「うん。係数が文字の変数になっただけなんだけど、なんだか
よくわからない」
「そこでお得意の抽象的思考力の出番じゃないの」
「それほど得意でもないよ」
「多変数の多項式環をまず考えるの」
「うん」

357 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/09(木) 23:36:01
「それから、それを商体として考えればわかるわ」
「?」
「いままでやってきた証明は、一般の体でもなりたつわね。別に有理数体
Q の上でとか条件はついてないから」
「うーん。ちょっとわかってきたような気がする」
「あとは、方程式の係数が解の基本対称式になることがわかれば、OKよ」
「それはわかる。勉強したからね」
「ガロア理論はじめてからでしょ?2次方程式の解の公式もあやしかった
もんね」
「ひどいこと言うなぁー。ふんっだ」


358 :132人目の素数さん:2006/11/09(木) 23:40:06
途中良スレになりかけていたのにな。


359 :132人目の素数さん:2006/11/09(木) 23:42:04
しかし、文系出を強調する割には作文能力0だな。

360 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 02:50:20
1がスレの趣旨を理解していないという興味深いスレ

361 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 10:18:43
対称な有理式が既約分数のとき
分母・分子が対称多項式でないものは存在しますか?
あるとしたらどんなのがありますか?

362 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 11:45:27
ガロア理論スレでも読めこの馬鹿

363 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 14:45:03
>355
いや、
1) 根と係数の関係から α+β+γ=-1、α*β+β*γ+γ*α=-4となるからこの2式から例えばγを消すとα^2+β^2+α*β+α+β-4=0となる。
  これからγ=(-α-1+-(-3*α^2-2*α+17)^(1/2))/2 となる。
  要するに、α、(-α-1+(-3*α^2-2*α+17)^(1/2))/2、(-α-1-(-3*α^2-2*α+17)^(1/2))/2 が答えじゃ?
2) pは素数としよう(だろ?)。f(X)=X^3+X^2-4X+1がZ/pZで可約とするとfは1次式を約数に持つ事になる。
  係数を見るとf(+-1)=0でなければならないからZ/pZでf(1)=-1=0またはf(-1)=5=0となる。
  従って、Mod5ならf(X)=(X+1)*(X^2+1) 、それ以外ではfは既約。
て感じかな?
3)は誰か頑張って。


364 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 15:46:52
>>355>>363
1) Gal=Z/3ZだからK=Q(α)
だからβ、γはpα^2+qα+rの形式で表されるはずだよ。
つまり根号は外れる。
2) 例えばmod 13ではf(X)=(X-4)^3
3) f(X)≡0 (mod. p)が解を持つ素数pを求めるということだから
2)が解ければ答えは出ます。


365 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 15:50:42
K/Qはガロア拡大であることからf(X) mod. pが可約なときは
一次式の積にまで分解されると言うことがわかります。

366 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 22:31:37
>364
参った。降参。 
2)は各素数pについてx-r、0<r<pが既約因子になるかを虱潰しに調べる事は出来ないから、
何か工夫がある筈だが思いつかん。
「コロンブスの卵だ」と言われそうな気がするけど・・・

367 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/10(金) 23:39:22
やっとガロア理論の基本まで終わりました
スレ主の方・・・・これ2週間ってかなりきつくないですか?
久しぶりにかなり勉強しましたw

368 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/10(金) 23:41:38
>364に俺も挑戦します
ちょっとだけ待ってて下さい。
出来なかったら回答お願いしますw

369 :132人目の素数さん:2006/11/10(金) 23:41:43
>>367
スレ主はもう現実逃避しているから。

370 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 00:08:08
>>365
ちょっと書き方がマズかった。
f(X) mod. p =(一次式)×(二次式)で二次式が既約とすると
Galは互換を含まればならないが、Gal=Z/3Zだから矛盾。
こんな感じ。
>>367-368
お久しぶりですね。ということはもうガロア理論まで済ませたということかな^^
二次体の場合で同じ系統の問題をもうちょっとしたら書きますから、
そちらを先に考えてみてください。


371 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 00:24:05
被覆面からガロア理論に入ったひねくれ者って少数派?

372 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 00:27:29
>370
お久しぶりです
ちょっと戻ってみてみましたがまだ手に終えなそうですね
なんで解の形が分からないのにガロア群がZ/3と計算出来るんだろ・・・
因みにいかなる多項式もガロア群って計算出来るものなんですか?

373 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 00:40:19
>>371
ありかと。久賀先生の本は名著ですよね。
>>372
>因みにいかなる多項式もガロア群って計算出来るものなんですか?
一応ガロア群を求める手順みたいなのがあって、PARI/GPみたいに
ガロア群を計算する処理系みたいなのもありますけど、”いかなる”
とはいかないんじゃないかな?詳しいことはわからないけど、
計算屋さんの論文でガロア群の計算法みたいなのはありますね。



374 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 00:47:23
>>372
例えば3次方程式のガロア群としてはどのような可能性がありますか?

375 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 00:54:47
それと、x^3+px+q=0の解をα、β、γとするとき
D={(α-β)(β-γ)(γ-α)}^2をp、qで表してください。

376 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 01:35:59
>374
S_3(3次の対称群)の部分群ですよね?
方程式の解が全て分かっいるもの(例えば円分多項式等)はガロア群の計算は出来ますが、解が分からない多項式のガロア群も計算出来るんですね・・・
勉強になります


377 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 02:08:33
>375
-4p^3-27q^2
ですかね?
かなり面倒臭い計算でした

378 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 02:12:21
>>376
>S_3(3次の対称群)の部分群ですよね?
もうちょっと具体的に言うとS_3かZ/3Zだよね。
例えば、S_3のときには部分体として2次体を含むけど
それはどのような体?ヒントは375。

379 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 02:14:14
>>377
あ、レス来てたのか。。。
正解

380 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 03:07:08
>378
既約でなければ{e}とか{e,(1,2)}等も一応可能性としてありますよね?
あっそっか・・・ガロア群がS_3とすると、最小分解体がZ/3で固定される二次体が存在して、それはK(√D)に限る?(ここも証明必要ですよね)
つまり、既約な3次式では√DがKに入るか入らないかで、そのガロア群がZ/3かS_3か決まる訳か・・・・
どうもです

381 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 03:49:21
>>380
>既約でなければ{e}とか{e,(1,2)}等も一応可能性としてありますよね?
なかなかスルドイところをついてくるね^^;
厳密にはそうだね。

382 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 06:07:23
>>356
で、絵美はいつになったら脱ぐんだよ!
いつになったらクソ文系とイッパツやるんだよ?

多項式だのガロア群だのはどうでもいいんだよ馬鹿
ぶっ殺すぞテメエ

絵美ちゃんがクソ文系が見てる前で
不良グループにレイプされて
まわされる展開もいいな

乳首も露出せずに終わったら、
金返せよテメエ

383 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/11(土) 06:11:19
ー第13日目ー    巨大彗星接近、宇宙艦隊攻撃、ゴジラ東京上陸 あと2日

>>358
高2生さんがいるからだいじょうび
>>359
0ですょーん。
>>360
スレの趣旨?むずかしいです。
>>367
その前に2ヶ月かけて、代数の基礎(ほんのちょびっと)やってます。

さぼってしまった。さいごの追い込みだというのに。ネット小説にはまっていて
勉強は、もうしわけにやるだけ。どうしよう。

「ジュン、ジュン・・・」
「えっ、あっ、驚いた、どうして絵美がいるんだよ」
「ドアがあいてたのよ」
「ピンポンならせよ」
「電池切れてるでしょ」
「ドアたたけよ」
「たたいたわよ。それよか何熱中しているのよ」
「うわっ、やめろよ」
「淫○の館。あっ。スケベ」
「……」
「それで勉強したの。ネット小説三昧なんでしょ」


384 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/11(土) 06:12:55
「あたりです」
「あと、きょういれて2日よ。終わるの。どっか省略するんでしょ。
起死回生の策とか言ってたもんね」
「あたり」
「10ページあるからあと10日かかるではずよね。バカ文系のペースだと」
「あたり」
「代数の基礎勉強したときも1日あたり1ページのペースだったわね」
「あたり」
「1日1時間も勉強するとした気になっているんでしょう」
「あたり」
「きょうはどこ勉強したの」
「あたり」
「ぱちん」
「うぉっ。おどろいた。・・・・・・。えーと。ある体Kにべき根、nルートaを添加した
拡大があるとK上のガロア群が巡回群になるという定理だよ。逆もいえる」
「体Kは1のn乗根を含むのね。それを言い忘れるとガロア拡大にならないわよ」
「はい先生」
「やったのはそれだけ」
「あたり」
「バカ文系かとおもったら、なまけ犬だったのね」
「あたり。……うわっひどいな」


385 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/11(土) 06:24:03
>>377
もう判別式やってるの?僕なんかやっと2日前くらいですよ。3次のが問題
になっていてこれは計算はむりだから、解答をみたけど、その解答を計算するのに
大変な時間がかかってしまった。(ヒントのような解答だったから)
>>382
激励多謝。

386 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 13:00:52
>>383
テメエ、いつになったら
絵美ちゃんと島袋浩がからむんだよ!!

387 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 13:04:15
>>377
どういう計算したの?

388 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 16:20:20
>387
ひたすら計算です
かなり大変でしたよ
一応、代入しても対称式になるように気をつけながら計算しました

389 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/11(土) 16:26:19
>385
判別式はまだです
前のは誘導つきですよ


390 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 19:21:12
>>388
対称式を基本対称式で表すための
アルゴリズムはあるんだが
勘だけでやったんだな

391 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 20:37:09
>>390
ガチでeffectiveなアルゴってあるの?
数ヲタの勘は侮れないw

392 :132人目の素数さん:2006/11/11(土) 21:10:14
>391
> ガチでeffectiveなアルゴってあるの?
Cohenに載ってないか?

393 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 00:46:47
f(X) の判別式は f'(θ) のノルムを計算すればいい。
θ は f(X) の根。f'(X) は f(X) の導関数。

f'(θ) のノルムは f'(θ) による積の線形写像の
基底 1, θ, ..., θ^(n-1) による行列表現の行列式を求める。

394 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/12(日) 08:38:44
ー最終日ー  彗星接近で暗くなった空に、UFOが蠢く。その下をゴジラが進む。

「あぁーっ。終わった・・・。絵美キッス、キッス」
「確認作業よ」
「えっ。確認・・・」
「可解群の定義にある正規部分群と正規拡大の関係は?」
「あっ。簡単簡単。

K→M→N→L

という体の代数拡大の系列があったとき L/K が正規なら L/M L/N も
正規だけど、M/N が正規だかはわからない、でも、Gal(L/K) のN上の部分群
Gal(L/N)がM上の部分群 Gal(L/M)の正規部分群なら、拡大 N/M も正規
になるわけ、逆もいえる」
「それで」
「体の正規と群の正規がむすびついているということ。性器と性器ががっちり
結合…」
「こらっ」
「いいすぎ、いいすぎ、キスだけなんだから早く…」

395 :ガロア理論勉強始めました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/12(日) 08:40:38
「円分多項式のところ省略したんじゃないの。そうすると、1のべき根が
開べきで解けるという定理が終わらないんじゃないの」
「そうくるとおもったよ。で、きょうそこを勉強したってわけさ」
「じゃ、1のべき根が開べきで解けるというのは」
「えっ」
「聞こえたでしょ」
「あーん。そこだけやってないんだよ。そこだけ。おまけして」
「チーン」
「・・・?」
「時間切れの音よ。門限の時間だし」
「うわぁーん。泣いちゃうよ。こんなに勉強したことないのに」
「ホモロジー代数やってみない」
「ホモロジー代数? なにそれ」
「絵美も知らないの。でも響きが魅力。クリスマスまでに理解できたら
クリスマス・キッスあげるわ」
「うわぁー。絵美ちゃん冗談よしてよ。もう疲れたピー」

お・し・ま・い


396 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 09:04:41
文keiさん,お疲れ様でした.

397 :132人目の素数さん:2006/11/12(日) 09:17:05
お疲れ様。もう来るんじゃないぞ。

398 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 07:43:02
まれに見るキモスレ

399 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/13(月) 08:14:59
>>396
トンクス。でも文keiじゃないよ。
>>397
またきたよ。たぶん、これで最後かな。

座談会「ガロア理論の勉強を終えて」

日時:11月12日午後7時

参加者:文系書房編集長。絵美氏。バカ文系ジュン氏。
主催:文系書房

「司会の大崎です。バ、バ、バ、・・・。ちょっと言いづらいですな」
「言っちゃいなさいよ。本当のことなんだから」
「絵美さん。とうも。では、略してバ文さん。ガロア理論の勉強を終えた
感想など」
「サスペンスなんかで、犯人らしいのが何人もでてきて、ぜんぜん犯人がわから
ないのがあります。ところが、ラストになると前振り関係なしにひょいと犯人が
わかって、なーんたこんなのありかよというのがありますね。そんな感じかな」
「うーん。厳しいお言葉ですね。絵美さんいかがですか」
「ガロア群が、根の置換群だとわかったときは、たしかにそうおもいました。
『幽霊の正体見たり枯れ尾花』ということわざが頭に浮かんだわ」
「たしかに、基本定理がでてくるまでの前振りはながいですね。それに標数p(p>0)
の体のはなしを省略すると、見通しがよくなっていっぱんの人でも楽にガロア
理論にアクセスできるとおもいます。そのへん数学陰謀説のバ文さんいかがですか」

400 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/13(月) 08:16:13
「数学陰謀説ですか。(笑)一般の人が、簡単に数学を理解すると、数学の権威が
下がると考えている数学者はいるでしょうね。ガロア理論程度でこれだけ苦労
するのなら、最先端の数学はどれほど大変なんだろうと思わせる効果はある
んじゃないですか」
「絵美さんはいかがですか」
「たんに不親切なだけじゃないんですか。でも、欧米の本には、わかりやすい本も
あると聞きますから、注意しないと日本だけ時代おくれになってしまう可能性
も感じます」
「現代数学の片鱗を体験するという意義はどうですか。バ文さん」
「それは、あります。ですが、まずガロアのガロア理論を習得してからでいいと
思います。独学者にとってはそれが結局近道だという気がします」
「バ文さんの御指導をなさった、絵美さんはどのように感じておられますか」
「そうですね。ガロア理論というものの骨格がこれほどシンプルなものなのです
から、それにみあった学習コースというのは必要だと思います」
「きょうはお二方ありがとうございました」

(於)築地 料亭入船


401 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 08:51:48
参考までに、文keiによる数学陰謀説:

448 文kei 2006/03/17(金) 14:52:47
>>442
前スレで,方法論についてかたっていた中川さんとはおもえないご発言ですね.
昔は,確かに独学で高度のレベルまで達した人はほとんどいないわけですから,
そうともいえるのですが、現在ネットの発達で状況は変わってきたのではないでしょうか。
確かに数学の本は意地が悪いのではないかと思われる本が多いです。わかった後
では,なんでこんな簡単なことをもっと親切に説明してくれないのかと思える
のですね.ひがんで考えると、自分の息子と気に入った弟子にだけていねいな
教授をしているのではないかとさえおもえる.あるいは世間の人が,数学に
容易に精通したら,数学の権威がさがるとでもおもっているのではないかとさえ
かんぐりたくなります。
ですが,徐々に世の中は変わってきているのではないかとおもいます.自分の
考えでは、最先端の研究レベルまで独学で行くことは可能だとおもっています.
趣味で数学をやっていながら,一流大学の教授以上の実力をもったひと
が,近い将来次々とでてくるのではないか.それが,ネットのちからによって
可能になると思います。

402 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 08:54:29
>>1がみずから荒らし・埋め立てという珍しいスレ

403 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/13(月) 09:11:24
>>401
偶然です。おなじ考えの人は当然いるとおもいます。

404 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 10:13:16
ガロア群が根の置換群だからどうだというんでしょう?
それの何がありがたいんでしょうか?
君は結局、数学の理論をモードとしか捉えられていないんだよね〜
一昔前の、ブルバキを本棚に並べて喜んでいる似非文化人の位置から
一歩も前に進んでいないんだな。

405 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/13(月) 11:49:51
>400
陰謀って面白いですねww
確かに高校の教科書に比べると読みにくい感じはありますが、仕方ない事なんじゃないですかね?
分かりやすくしようとするとページ数が極端に増える気がします
今回ガロア理論の基本定理とその簡単な応用までやりましたが、ページ数は少ないものの高校3年分(もしくはされ以上の重み)を感じました
つまりガロア理論を本当に誰でも分かりやすく書こうと思ったら高校3年分=600ページ以上位必要になるかもしれませんねww
それだと逆に俺なんかは参ってしまいますよ

406 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 11:58:49
非分離拡大のガロア理論もあるにはある。

407 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/13(月) 12:00:41
今回のガロア理論で一番印象に残ってるものとして、対称式は基本対称式で表せるという定理の証明です
これは本当に美しいですね、ガロア理論の可能性を感じました
実際、ガロア理論は様々な方面で顔を出すようですね
もうちょっとガロア理論をしっかり勉強したら今度はその辺もやってみたいですね
出来ればスレ主の方も一緒にやってくれると張り合いが出て嬉しいです

408 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 12:18:31
>今回のガロア理論で一番印象に残ってるものとして、対称式は基本対称式で表せるという定理の証明です

なら、これ↓でも読んでみてわ?一般向けの講座のためのものだからそんなに難しくないし。
ttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/pdf/mukai.pdf

409 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 12:36:03
絶版で入手困難になっているけど、機会があったら
久賀道郎の「ガロアの夢」も読んでみてよね。
こういう本こそ向学心旺盛な高校生でも読めるように
してほしいものだよね。

410 :高2生 ◆fXf0/HfFdI :2006/11/13(月) 13:42:43
>408>409
ありがとうございます
見てみます
絶版のは運良くないと無理そうですが

411 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 14:11:26
>>410
古書店を検索したら、何点かありましたよ。

412 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 21:15:21
じゃあ n 次の Galois 拡大の Galois群の位数が n となることを
証明してみて。分離拡大は単拡大なんていう、
かなり非自明な定理は使わないで(それをここで証明するならいいが)。

413 :132人目の素数さん:2006/11/13(月) 22:12:35
ところで、Real Cubic Fields の話はどうなったのかな?

414 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 08:55:26
>>404
> ガロア群が根の置換群だからどうだというんでしょう?
これこそガロアのアイディアの核心でしょう。そのことが勉強のはやい段階で
示されていれば、理論の理解が容易になるのです。
肝心かなめの話はあとまわしになっていて、ごちゃごちゃした話ばかりが
つづくのです。

>>407
> 今回のガロア理論で一番印象に残ってるものとして、対称式は基本対称式で表せるという
>定理の証明です
『対称式は基本対称式で表せる』という事実が K 準同型写像の ”K” のところのそも
そものアイディアの元ですね。なぜ、そのことを一番先に言わないのか疑問です。
さまつの話で、学習者をとまどわせているとしかおもえないです。

> 分かりやすくしようとするとページ数が極端に増える気がします
”アルチン流”の体系が、ガロア理論の難度とバランスが取れていないと思うのです。
また、600ページ以上などということは、とても考えられません。むしろ、いまよりはるかに
すくなくなって、たぶん10ページ程度でいいのでは。ガロアの原論文を読んでいないので
断言はできませんが、もともとの論文にしてからかなり量の少ないものらしいですよ。


415 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 09:18:54
一部訂正。
> 『対称式は基本対称式で表せる』という事実が K 準同型写像の ”K”...。
『これは方程式の係数が解の基本対称式であらわせる』とします。ちょっと
数学書に対して腹をたてているので、筆がすべった。はずかしい。
>>406
> 非分離拡大のガロア理論もあるにはある。
ご教授どうもです。


416 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 09:46:46
>>414
>これこそガロアのアイディアの核心でしょう。
根の置換の重要性はそれ以前に知られているもので、
ガロアのアイディアの核心はそれこではありません。

>肝心かなめの話はあとまわしになっていて、ごちゃごちゃした話ばかりが
>つづくのです。
どんな本を読んだのか知らないけど、アルチンの本なら線形代数の知識だけで
手っ取り早くガロア理論に入ることができたけどね。

高2生くんへのレスに僕がレスするのもなんだけど、、、
>『対称式は基本対称式で表せる』という事実が K 準同型写像の ”K” のところのそも
>そものアイディアの元ですね。なぜ、そのことを一番先に言わないのか疑問です。
>さまつの話で、学習者をとまどわせているとしかおもえないです。
意味がわからない。レスを読んでいる人をとまどわせているとしかおもえないです。。。

>”アルチン流”の体系が、ガロア理論の難度とバランスが取れていないと思うのです。
アルチン流って言ってみたかったのかな?

>600ページ以上などということは、とても考えられません。
”分かりやすくしようとすると”っていう前提での話でしょ。実際、数III方式〜という素人向けの
本はそれぐらのページ数があったかと。あなたも本当に理解したいのであれば、そのような
本で勉強することをお勧めします。10ページ程度の論文を読んで理解できるのは、”できる人”
の話ですから。

417 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 11:30:37
>416
> アルチンの本なら線形代数の知識だけで手っ取り早くガロア理論に入ることができた
Reidじゃないが、あの行き方は「時代遅れ」と言う考え方もあるよ。分離性の議論も殆どないし。
Galois群を具体的に計算したり、Inverse Problemを解いたりするには向かない、というか足りないだろ。

418 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 12:03:41
>>412 は無視かw

419 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 12:50:48
体論と代数方程式論の違いも分からんやつが居る様だ

420 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 14:13:00
最後まで1が逃げなかったという点で良スレかもしれない。
まあ、8流小説スレに化けて逃げたとも解せるが。

421 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 14:16:33
御託はいいから>>412を証明してみな。
Galois理論の基礎だからな。
これが証明できなきゃ話が始まらない。

422 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 16:38:36
>>421
何をさせたいのかよくわからんけど、
L=K(α_1,・・・,α_m)、Gal(L/K)={σ_1,・・・,σ_n}として
Σσ_i(α_j)x_i = 0
を考えればよいんでない。
問題を出すなら、もっと面白いのがいいなあ。
別にオリジナルでなくても構わんから。

423 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 17:47:54
>>422

ここはガロア理論の基礎をやるんだろ。
だから基礎をやってもらう。
基礎なんだから面白いとはかぎらない。

どうしてもというなら、>>229 をやってみな。

424 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 17:49:40
因みに >>229 は、当然任意の有限アーベル群という意味。

425 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 18:00:47
>>1>>423を指導講師に任命したのか?(w

426 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 18:08:22
途中から中年オヤジのゲロ妄想が爆発しまくりんぐ

427 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 19:46:29
>>412
それは分離次数のところに証明が載っています。代数的閉包へのK単射準同型
の個数の話です。原始要素の定理を使うと、分離的なとき以外には成り立たなく
なるので要注意です。
412氏の考えとしては、直観的にわからねばというところなのでしょう。
重要なところなのだけれど、分離性のいろいろな話題にまぎれて忘れやすい
ところかもしれない。
>>416
> 根の置換の重要性はそれ以前に知られている
たしかにそうだった。しかし、ガロア理論の核心であることには間違いないと
おもいます。
> 高2生くんへのレスに僕がレスするのもなんだけど、、、
ここは、415で訂正しました。


428 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 20:10:38
アルチン流のガロア理論は、分離性の話で、ごちゃごちゃしてくるんですね。
本質的にむずかしい話ではないのですが、一般のひとだと、相当の熱意がない
といやになってしまう。

この分離性の話を、カットするには前にも書きましたが、標数p(p>0)の体の
話題を省略して、標数0の素体の上の話のみ扱えばよいわけです。
これで、だれでもガロア理論に挑戦できることになるとおもいます。

標数p(p>0)の体については、必要を感じたひとがそのあとでやればよいのでは。

429 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 20:27:51
標数≠0の場合を扱うのがアルチン流なん?それは初耳だ。

430 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 20:35:18
>>429
アルチン流でなくとも標数p(p>0)を扱うでしょうが、現代風のガロア理論の
主流がアルチン流らしいのでそう言ったまでです。

431 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 20:47:51
直観的というより、これは分離拡大の基本となるもの。
したがって、よーく理解しておく必要がある。

まず一般に体 K 上の有限次多元環 A と K の拡大体 L に対して
A から L への K-加群としての線形写像全体を Hom(A, L) とする。
f ∈ Hom(A, L) と a ∈ L に対して (af)(x) = a(f(x))
と定義すれば Hom(A, L) は L-加群となる。
Hom(A, L) の L-加群としての次元は n である。
ここで n は A のK-加群としての次元。

A から L への環準同型で K-加群として線形なもの全体
を Homalg(A, L) とする。
Homalg(A, L) は Hom(A, L) の 部分集合として L 上線形独立となる。
これは、Dedekind-Artin の定理と呼ばれている。

これから |Homalg(A, L)| ≦ n が出る。
ここで、|Homalg(A, L)| は集合 Homalg(A, L) の元の個数を表す。

A が可換で、L を適当にとると |Homalg(A, L)| = n となるとき
A をエタール代数という。
これが有限次分離拡大体の拡張概念になっている。

つまり、分離拡大は上記の条件で特性付けられる。

432 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 21:36:29
お得意のSGAですか。そうですか。

433 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 21:43:18
SGAじゃなくてBourbaki
まあ、関連はあるが。

434 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 21:46:19
ブルバキは全部読んでないから知らなかった。


435 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 21:57:58
>>431
ご丁寧な説明どうも。
おもしろそうですね。くわしくはわからないのですが、Homalgのalgは、
K代数とかのalgだなとか見当つけてよんでいくとわかってきますね。

436 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 22:00:53
>>435
文keiさん、こんばんは。次は何をされるご予定ですか?

437 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/14(火) 22:14:09
>>436
また、文keiなんてしらない人のはなしだ。
さて、もう寝ますので、意地悪は無しにしてね、436さん。

438 :132人目の素数さん:2006/11/14(火) 23:16:26
Artin流以外の流儀ってどういうものですか?
Artin流ってのは「現代風のGarois理論」って意味じゃないですよ。
Artin以前のGalois理論がどういうものであったかとか分かって言ってますか?
それともArtinって言ってみたかっただけですか?

439 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/15(水) 08:32:01
>>438
事情があって本の名はあかせませんが、わたしの本にアルチンが
現代ガロア理論をつくりあげたと出ていたのです。
かなりの本がそのスタイルを踏襲しているとおもいます。

440 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 12:14:16
>>439
事情 = 実は根拠の無い思いつき

441 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 13:15:41
文keiの話はスルーしますとかいったわりには否定の仕方が必死だな。

442 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 14:18:16
文keiとかいうお勉強クンがまだネンチャックしてんのか

443 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/15(水) 19:51:37
>>440
その事情については、なんどかスレ中に触れています。
>>441、442
スルー。

444 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 20:55:46
私は単なる愛好家で、未だにきちんと身に付いていないものですが、まずアルティンの
本を読んで、次にファンデルヴェルデンの本読みました。で、随分印象が異なりました。
正規拡大の定義あたりが。で、今出ている色々な初級本見ていると、どちらかと言うと
アルティンの流儀の方が少ないように思えるのですが、いかがでしょう?

445 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 22:51:41
結局このスレで明らかになったことは
「1 = 文kei」
ってことのようですね
皆さん他に何が明らかになったと思いますか?


446 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 22:58:28
当然のように何も理解してないこと

どこにでもころがってる計算もできないロマン野郎であることを再確認

447 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 23:06:48
教科書の演習問題を解かずに本文を読むだけで理解できるのなら
プロ数学者になれるよ。

448 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 23:15:40
趣味でやってるんだからいいじゃん
心が狭い人が多いね

449 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 23:32:14
趣味で数学書を読んで楽しむならいいけど、
読んだ振りだけするなら哲学板とか一般書籍板に行け。

450 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 23:39:54
>>448
こんな↓スレを立てるやつがいるからじゃね?
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163080573/

451 :132人目の素数さん:2006/11/15(水) 23:52:06
>>448
趣味でやってる奴はどうせ理解できないんだから放置しろ、ってことか?
随分と失礼な言い草だな

452 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 00:33:09
本人が楽しんで読むのが第一なんだから
いろいろな読み方があっていいでしょってこと。
アドバイスをするならいいけど、「理解が浅いから駄目だ」みたいな
ことだけ言っても本人を不快にするだけじゃん

453 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 00:43:30
真面目にやってる人を不愉快にさせるのはいかがなものか、と。

汗水垂らして農作業しているお百姓さんの隣の畑で、
勘違いLOHAS夫婦が休日菜園ごっこをして、ブームが去ったら
寄り付かなくなるようなものでしょう。

このスレを見ても、真面目にやってる人に対しては建設的な
レスがついていますよね。

454 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:00:12
百姓だったのか

455 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:02:14
>>452みたいな自己厨もいれば、>>453のようなオトナもいる

2chは意外と健全なのではないか?

456 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:02:53
何も作らんお百姓


457 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:06:19
自分と違った考え方は認めないのがオトナなのか。

458 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:11:20
>>457が本気でそう思っていそうで怖い・・・

459 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:16:28
社会性が欠如しているというだけの理由で数学を志す人も一部にはいますからね
(そういう人は数学が好きだから、とか、数学が得意だから、というわけではないので、
早期にドロップアウトします)

460 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:22:09
>>456
見習いだから

461 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 01:24:26
>>458
本気だったのか

462 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 02:30:29
>>449
数学の本スレ行ってみろよ。
そんなこと言えなくなるぜ。

463 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 03:41:56
>>452
>>447は非常に教育的なアドバイスだが。

464 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 03:57:00
解かなくても理解できる。


465 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 03:59:46
>>464
プロの方ですね。当方も同意見です^^

466 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 07:46:49
駄スレ糞スレを放置しない数学板では
1がこんなに粘らなくても釣りは成功するものだが・・・

467 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 08:53:23
>>444

van der Waerden 本は Artinの講義(1930年代以前)が元になっている。

468 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/16(木) 09:06:11
>>444
>次にファンデルヴェルデンの本読みました。で、随分印象が異なりました。
そこのところを、書いていただけるとうれしいのですが。わたしも初学者ですので、
興味があります。

>>446
> 当然のように何も理解してないこと
きちんと証明を読んで理解できないということがありますか?
ことにガロア理論程度で。
高2生さんも、優秀な人ではありますが、学習を終えております。

>>447
> 教科書の演習問題を解かずに本文を読むだけで理解できるのなら
どうして、そんなことがわかりますか?解答をみたのも多いけれど、大部分の問題は
きちんと解きました.

>>449
> 読んだ振りだけするなら哲学板とか一般書籍板に行け。
数学は読んだ振りだけはできないということを、よくご存知ではありませんか。
理解していなくては、数学についてははなにも書けないです。
理解するためには、証明を追い、問題もとかなくてはなりません。
そのことはよくご存知でしょう.

ちなみに、文keiとかいう人ではありません。粘着されるようなへまをやった
人のようですか、一切かかわりありません。

469 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/16(木) 09:10:38
>>467
しらべたのですが、わからなかったことです。
参考になります。

470 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 09:46:06
>>468
きちんと証明を読んで理解できないということがありますか?
ことにガロア理論程度で。

なら、何をどう理解したのか、ガロア理論とは何なのか、どういう応用があるのか等
語ってくれよ。スレたて主なんだからさ。
上では体論の話しか出てきていないようなので。ガロア群は根の置換だけで逃げるのは
よしてくれよ。そんなの理論でもなんでもないんだから。

471 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 13:10:14
参照している文献をあげるつもりがないならガロアのガロア理論、アルティン流のガロア理論というのを明確に説明して欲しいですね。
それこそ文系にも分かるくらいに。
まさか標数pの体を出すか出さないかということではないでしょう。

472 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 13:12:05
>>471
>参照している文献をあげるつもりがない
ソースを明らかにしないは学問の世界では通用しない。嘘つきの証拠である。

473 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 17:24:29
>>469

van der Waerden の本の前書きに書いてあるけど。

474 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 17:53:02
Steinitzの定理、原始要素
このあたりに鍵がありそうだね。

475 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 18:15:47
いちいち歯向かわずにはいられないところが、まさに文kei、まさにガキ

476 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 19:15:25
>>472
なんで?

477 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 19:44:16
そういうもんだから。としか言いようが無い。

478 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 21:21:11
>470->472あたり(他にもあるが)の粘着はチョー賎か?
>1が文Keiであろうが無かろうが如何でも良いじゃねえか。

479 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 21:25:16
>>478
↑ 大和民族のふりをするチョン。昔からよくいるんだよな(w

480 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/16(木) 21:34:32
>>470
> なら、何をどう理解したのか、ガロア理論とは何なのか、どういう応用があるのか等...
理解した範囲のことは書いてきたつもりです.おちゃらけていただけではないと
おもっています。

たとえば412で質問がでています。
> じゃあ n 次の Galois 拡大の Galois群の位数が n となることを 証明してみて

これにつながる話は重要だとおもいますから、前のほうのレスでちゃんと触れています.
>>297
>代数的閉包をΩとしたとき、K埋め込み L→Ωの個数と拡大次数が一致する

ということを、ただし煩雑になるので、分離次数のはなしは省いて触れました.

また、
>>331
> 「このK自己同型写像ってのは、この前でてきたK埋め込み写像と関係
あるの?」
「おおありよ。あれがσL=Lだから、自己同型写像とみなせるわけ。

と、やはり大事な個所だとおもったので強調したつもりです。

重要だとおもえる個所はわずかなのですよ、と伝えたかったのです。

>>472
> ソースを明らかにしないは学問の世界では通用しない。嘘つきの証拠である。
論文を書いているわけではないのですからおおめに見てちょんまげ.

481 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 21:56:36
>>477
嘘つき

482 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/16(木) 21:59:47
>>473
> van der Waerden の本の前書きに書いてあるけど。
ファン・デル・ヴェルデンの本買いたいけど、お金がないの。
ガロア理論も貸し本なんだから(爆)。

483 :132人目の素数さん:2006/11/16(木) 22:22:51
>479
↑こいつも在日か?

484 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 00:00:12
つまんね

485 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 00:06:52
>>471ですが、別に粘着するつもりではありません。
参考文献を明かさないのはかまいませんが、何らかの文献を参考にしている限りその著者のバイアスがかかっている可能性があるわけです。
私は少なくともガロアの原論文とアルティンの本を比べてガロアの論文が初学者の入門書に適しているとは到底思えません。
数学陰謀説なるものを唱えるならばもう少し両者の違いを明確にするのが誠意ではないかと思うだけです。

486 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 00:19:50
>485
> 別に粘着するつもりではありません。

だったら、放って置いたら?真面目に相手しても意味がないよ。

487 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 00:47:38
154 :132人目の素数さん :04/09/04 14:34
早速ですが質問です。アニメ見てたら飛行機に隕石があたって墜落した。
飛行機の速度で約10cm級の隕石が当たる確率はどれくらいでしょうか?



155 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/04 14:52
Re:>154 それでは、飛行機の飛行の分布と隕石落下の分布を調査してくれ。


156 :132人目の素数さん :04/09/04 16:16
>>155

お前のような人間は、何をやろうと、死ぬまでの暇つぶしに過ぎない
んだから、そんなこと依頼しても仕方ないだろ。

風俗でも行け


157 :FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/09/04 18:00
Re:>156 私は[>154]に答えただけなのに、何故そんなこと言われないといけないのだ?


488 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/11/17(金) 05:12:00
talk:>>487 何やってんだよ?

489 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 06:27:37
お前に何が分かるというのか?

490 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 10:20:33
>>485
現代のガロア理論とよばれるものに、つまりアルチンの創始したものですが、
良い点も多々あるのはわかっています。とくに体の拡大について明晰な
見通しをつけた点は立派なものだとおもいます。

しかし、やはりどこかおかしいです。それは学習者への気配りにまるで
欠けているというてんです。
理論は、必ずしもというか当然のごとく、教育目的は配慮しない。つまり
理論の完成度が問題となるからです.

ですが、それではやはり困るとおもうのです。ちょうどブルバキが教育現場
で一時もてはやされ、のちに利用されなくなっていった過程を考えても
わかるのではないでしょうか。

491 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 10:24:04
数学陰謀説は、アルチンに対して語ったものではありません。
アルチンの理論は、それ自体完結したものです。
もんだいは、初級者向けの本を書く著者にあるのです。
しかし、それはこのスレの主題ではないので控えます.

492 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 12:57:34
>>490
線型代数を用いてガロア理論を展開するのがアルティン流。これはガロア群のL函数を
構成するという彼のモチベーションも関係しているんだな。古典的なガロア理論を体論
によって再構成したのはヒルベルト。現代のガロア理論と言うとグロタンのガロア理論かと
思ってしまうので、”現代の”は外した方が良いと思われw
あなたがやりたかったのは多分代数方程式論なんだな。なら、そういうことを詳しく扱った
初心者向けの本で勉強すればよいわけで、出発点が間違ってるよ。

493 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 13:16:16
「ガロア理論」と一口に言ってもいろいろなレベルのものがあるから、
代数方程式論(例えば五次以上の方程式に対して解の公式が存在しないこと)あたりで
「ガロア理論終えました」と書かれてしまうと違和感を覚える。

セールの「ガロア理論特論」でも読んで轟沈したら、もう少しお利口になれるかもね。

494 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 13:23:51
>>491

>>249
> こういうわけで、ガロア理論は難しいといわれるのでしょう。
> アルチンさんいいがげんにしてよ。

をよむと不必要にガロア理論を難しくしたとアルティンを批判しているとしか思えない。

495 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 15:55:45
代数方程式論は初等的体論よりむずいよ。
ガロアの基本定理なんて初等的体論を理解していれば簡単。

前のガロアスレでも問題になったけど Lagrangeの分解式が
キーになるわけで、これは巡回群のガロアコホモロジーと
もろに関係してるわけ。

496 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 16:11:37
>364 (だったかな?)
x^3 + x~2 - 4*x + 1
 0) のDiscriminant = 169 = 13^2
 1) 零点の一つをθとすると残りの2つはθ^2 + θ - 3、2 - 2*θ - θ^2
Discriminantの値から類推するに、問題の多項式の分解体はQ(Exp(2πi/13))の部分体か?
Z/pZでの話はよう分からん。
Discriminantが a^3 の形になるとき1次式の積に分解されそうだが・・・
例えばp = 5のとき(x - 2)*(x - 3)*(x - 4), p = 13のとき(x - 4)^3 とかさ

497 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 18:07:00
ほのぼのとしてていいなこのすれ

498 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 18:13:58
>>495
Lagrangeの分解式が
キーになるわけで、これは巡回群のガロアコホモロジーと
もろに関係してるわけ。

くわしく

499 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 19:29:02
>>492
> あなたがやりたかったのは多分代数方程式論なんだな
本来の目的は、代数入門ということで、とりあえず一般代数方程式の開べきによる解法が
存在しないという点までを目標としたわけです。目標がないと独習はつづけられないので。

>>493
違和感はわかるのですが、とりあえず目標達成という意味です.
中学レベルから、ガロア理論の初歩とはいえ、到達したのでとりあえず満足といった
ところです。

>>494
初心者もだんだん成長してきますから。しかし、元の原因という気はしています。

>>495
代数方程式論はやる気はたぶんないです。それより、このスレで話題になっている
言葉、コホモロジーとかグロタンの成果とか浅い理解でもいいので、はやいとこ
わかりたいとおもっています。


500 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 19:52:09
話がかみ合わずにいいたいことだけをいうのが文keiの特徴

501 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 19:57:05
ロマン君なんてそんなもんだろ

502 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 20:14:34
>>500、501
知識レベル、関心の対象が違う人間同士がかたりあっているのですから、
ディベートのようなわけにはいかないのは当然のことでしょう。

503 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 20:20:02
ちなみに文keiではないです。

504 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 20:24:56
文kei本人でなければどうしてこんなにナチュラルに食いつくんだろうかw

505 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 20:34:43
>しかし、元の原因という気はしています。
どの部分がArtinの独創かも分からないのに良くそんなことが言えるね。
まるでArtin以前のGarois理論は非常に感銘だったのを
Artinが無駄に複雑化したとでも言いたそうなレスだが。

506 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 20:42:48
>>504
ナチュラルではないです。なんども文keiといわれてつい反応しただけです。

>>505
> どの部分がArtinの独創かも分からないのに良くそんなことが言えるね。
部分も大事でしょうが、全体の構成が肝心の点だとおもうのです。
アルチンの構想というのが、やはり読んでいくと見えてくるわけで、
そこから必然的にある種の結果がもたらされるということもまた見えてくる
わけです。あいまいな表現ですが、別に専門的に研究しようとおもっている
わけでもないので、ご勘弁ください。

507 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 20:47:28
知識レベルが異なると思ってるのに上位レベルの人には耳を傾けない
つまり実際にはそうだとは(異なるレベルにあるとは)思ってない。

508 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 20:50:23
感銘→簡明

Artinは代数の本はたくさん出してますけど、
Galois理論の教科書ははDoverから\1,000ちょいで売ってるから
せめて読んでから批判したらどうですか?
http://www.amazon.co.jp/gp/product/0486623424/
Artinが現代Galois理論を作ったと本に書いてあるということなので
多分この本を読んだわけじゃないでしょう。

いくら金を出したくないあなたでもネットが出来るくらいだから\1,000くらいは余裕あるでしょ。
寺田文行による和訳もあります。和訳のほうは図書館にも結構置いてあるはず。
線型代数の章から始まっているから高校生の知識で読めるはずです。

今のあなたはまるで岩波新書「アリストテレス」読んだだけで
アリストテレス批判してるような感じで見てて滑稽ですよ。

>>506
全体の構成はArtinじゃなくてあなたの本の著者が考え出したものです。
批判をするのなら批判されるべき当の人物を批判してください。
別な人に奴あたりは止めてください。

509 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 20:53:15
上のDoverの教科書ってのはArtin自身が書いた本です。

初学者に分かり難くしてるのはArtinじゃなくて
その本の著者自身だったりしてねw

510 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 21:03:47
>>508
> 全体の構成はArtinじゃなくてあなたの本の著者が考え出したものです。
上でのアルチンの構想についての考えは、初級者向けのアルチンの影響を
受けたらしい本を比較対照してみての感想です。驚くほど似ていました。

確かにアルチン自身の本は読んでいません.お金がないのでやむを得ません.


511 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:06:47
金くらいその高慢な鼻っ柱で引っ掛けてくればいいのに

512 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 21:08:00
このスレは、だいたい”2週間’というタイトルからわかるように
詳細にわけいって、議論するのが目的ではありません。

ガロア理論の根幹を、短期間にマスターするにはどうすべきかを
考えたかったのです.またその実践を実況しようと企てたと言っていいかと
おもいます。ただし根幹は、いっさい手を抜くことなくやろうということです。

513 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:08:43
ところで本当に>1はガロア理論の初歩は分かったのか?
ちょっと問題出してみてもいい?
解く気ないなら出さないけど

514 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 21:13:11
>>511
高慢ではないです。いたって謙虚な人間ですょーん。
さて、もうねましょう。

515 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:18:27
>514
その根幹を分かったかどうかの定期テストレベルの問題だけどやる?やらない?
どっちやねん

516 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:23:10
そもそも同じガロア理論の入門書なんだから理論展開が大体似てるのは当たり前です。

「アルチンの影響を受けたらしい本」以外の本も読みました?
その上で「Artinの影響を受けた」本にあって、そうでない本には無いような特徴を探さなきゃ
Artinは批難できないでしょう。数学のほんの読み方とか以前の問題かと。
数学は学問の性質上、どんな順番で説明しても良い、ということにはならないし、
ある程度ごちゃごちゃした議論が続くのも仕方のないことで、これは著者のせいじゃない。

>詳細にわけいって、議論するのが目的ではありません。
>ガロア理論の根幹を、短期間にマスターするにはどうすべきかを
>考えたかったのです。
それなら生半可な知識で人やものを責めるのは止めましょう。

517 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:23:28
制限時間40分
問題
複素数α,βが有理数体Q上超越的であるとき
複素数体Cの自己同型σでσ(α)=βをみたすものが存在することを示せ。

標数0のガロア理論です

518 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:25:37
>517は一応>1以外解かないでね


519 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:28:00
要するに「アルティンの構想」などという実体の良く分からない言葉にすべてを押し付けて逃げてるだけ。
まあ、その辺を明らかにしないでえらそうなことをいうというのが「文keiの陰謀」なんだろうがね。

>>512
上のレスを読む限りその企ては失敗してるように見えます。

520 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:38:36
なんか>1のレスってほとんど教科書に書いてある事をなぞってるだけなんだよな・・・・
それなら小学生でも出来る訳で・・・
まぁとりあえず問題を実際に解いてみせて周りを黙らせろ

521 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:38:41
>>518
解くも解かないもない
自明

522 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:39:58
あ、そう

523 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:40:44
>521
まぁね
定期テストレベルだからww

524 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 21:42:34
>>513
おや、寝ようとおもったらレス.しかも、問題とは。

ある方程式のガロア群を決定してよ、とかなんでしょう。やっぱし、いやだな。
でも、逃げると、逃げたとおもわれるんでしょうね。

ぎゃくに、こっちからだしましょうか、初歩的な問題.問題を出すのも理解力
の証明になるでしょう。

もんだい
3次方程式の解がすべて実数であるための条件は、判別式 D>0 であることを示せ.

これの解答は本には、f(x)=x^3+ax+b とおき、f'(x)を計算し、f'(x)=0
となる点x=±√(-a/3) から、f(x)が3実根を持つために
f(√(-a/3))・f(√ー(-a/3))<0 が必要充分となっていました。それから
D>0 を導きます.

僕はちがう方法で解いたのですが、それを考えてください.

書いてから、よく考えてみたら、これはガロア理論は必ずしも関係ないですね.

525 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:45:13
>524
ワラタww

526 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:46:12
>>1って文系で高校数学の知識もほぼ0、ガロア理論の勉強初めてわずか2ヶ月未満って設定だったよな?
それなのに知識を身につけるだけでなく、複数の文献を比較対照して構想の類似を見抜く作業までしてるとは恐れ入ったな。
本が違うと記法や定義が微妙に違うものだし、著者の構想を云々するなんてプロでもそれほど簡単ではない。

ところでガロア理論入門の本の数なんてたかが知れてるが、構想が驚くほど似ているのなんてあったっけ?

527 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:49:54
理解力の証明に問題を出すといっておきながら、解答が本に出てる問題を用意するセンスがすばらしい

528 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 21:52:58
>527
というより僕が考えた方法を考えろって所でワラタww
こんなんが試験で出てきたらキレる

529 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 21:59:12
>>517
いま問題をみた。ガロア理論とかいてあるので一瞬なんのことか、まよった。
それに代数拡大しかやっていないので、びびったが。
よく考えると521のいうとおり、自明ではないのですか。
各基底を対応させる同型写像を考えればいいのですから。

530 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:02:13
ネタはもういいってwwwww

531 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:03:06
>529
とりあえず定義にそって丁寧にやってみて
そんなに面倒臭くないから

532 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:05:12
解くも何も判別式の定義ってΔ=Π_{i<j}(x_i-x_j)^2か、
Δの(方程式の最高次の係数)倍なんだから当たり前だろ

僕は違う方法で解いたとかそんなん知るか

533 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:08:08
あ、>(方程式の最高次の係数)倍
これ嘘だw

534 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 22:13:27
もう寝たいな.
Q(α)〜=Q(β)
は問題なしですね。
この同型を、C内の自己同型に拡張するのは定理がありましたから、
それで当然σ(α)=β (σはC内の自己同型)
がいえるのではないですか。

535 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:22:08
>>534
僕はちがう方法で解いたのですが、それを考えてください.

536 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:25:29
>534
証明になってませんよ
定期テストレベルですが一応院試の問題ですのでちゃんとした回答を

眠かったら明日で良いですよ

537 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/17(金) 22:29:58
>>535
ナイス
ということで、寝ます.バタンキュー。

538 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 22:31:00
気持ち悪い 

539 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 23:18:22
>517-518
>1じゃないから解かないけどZ's Lemmaは使っていいんだよね?

540 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 23:22:03
Z's Lemmaなしとしたら、線形空間の基底の存在すら怪しくね?
この辺はよく和歌らんけど。

541 :132人目の素数さん:2006/11/17(金) 23:55:04
>>534
大筋はあってるじゃん。少し感心した。

542 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 01:14:24
>>498

過去スレ
■ガロア理論■簡単に説明して下さい
に書いてある。

過去のスレはここで見れる。

ttp://makimo.to/2ch/index.html

543 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 02:12:58
>>541
「Lagrangeの分解式が不自然だ〜 意味わからん」って
さんざん騒いだのがどっかのクズ哲。代数的整数論スレで隔離。

544 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 05:50:36
自明じゃないだろ。
Zornの補題を使いまくりだし。
超越基底の濃度が同じというこれまた非自明な結果を使うし。

αを含む C の Q 上の超越基底を T とする(存在はZorn)。
βを含む C の Q 上の超越基底を S とする(存在はZorn)。
T と S の濃度は同じだから Q(T) から Q(S) への
同型σでσ(α) = σ(β) がある。
C は Q(T) と Q(S) の代数的閉包だからσは C の同型に拡張される
(ここでも Zorn)。

545 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 06:40:28
>>541

大筋であってたって証明しないかぎりだめ。
数学の証明に90%あってるというのは無意味。
残りの10%でひっくりかえる場合がよくある。

546 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 08:17:30
>>544
質問 ノシ
わざわざ超越基底を考えるのは何故?

547 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:03:42
>>546

証明を理解してないな。
超越基底をとるからこそ C がその上に代数拡大になって
同型の延長が可能となる。

548 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:09:43
>>544
>同型σでσ(α) = σ(β) がある。

同型σでσ(α) = β となるものがある。

寝ぼけて(その上酔って)書いたんで。
だからその問題を解いたらちょっとまずいというのに
気づかなかった。スマンね。

549 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:25:35
>>545
写像の延長は一般の拡大体に対して成り立つんだから、
そういう意味では間違ってはいない。
でも問題として聞くくらいだから、その非自明な部分を
聞いているんだろうなということで、問題の解答としては
不十分であると言うこと。

550 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:31:47
自明と思ってもきちんと証明しようとしてそれが成り立た
ないのに気づくっていうのもあるしな。

551 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:39:48
ふむふむ。これなんか自明そうだけど証明するのは大変だな。
体k上の一変数冪級数体はk上無限次元の超越次元を持つことを示せ。

552 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:46:44
Zornの補題を適用する
部分順序集合を自分の中で
明確にする訓練を
今でなくても良いので
いつかやったほうが良いと思う。

553 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 09:52:16
>>551

R が Q 上無限次元の超越次元を持つことの証明をまねすれば
いいんじゃ? つまり濃度を使う。

554 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:19:43
>>195

>ガロア理論を始めて日もたたないのに、Steinitzの定理というのがでてきました。
>これがむずかしい。

ある体 K 上の有限次ガロア理論を考えるのにSteinitzの定理は不要。
K 係数の1変数多項式の分解体を考えればいいだけ。
K 上の有限次拡大体が複数でてきても、それが有限個ならそれらを
含む十分大きな有限次正規拡大を考えればいい。
しかし一々これをやるのはわずらわしいからSteinitzの定理を使う。

Kの濃度が可算なら K の代数的閉包は可算個の単調増大する有限次拡大
K_n の列の合併集合になるから、その存在はかなり具体的になる。

555 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 10:49:37
ガロア理論を真に理解するにはリーマン面の被覆とその基本群を
勉強したほうがいい。この場合基本群とリーマン面のコホモロジー
の関係は直接的である。
リーマン面は C 上の1次元代数多様体と同型だが
これを高次元の任意標数の代数多様体に拡張すると
エタールコホモロジー理論となる。
これはガロアコホモロジーの高次元版にになっている。

556 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/18(土) 11:56:56
皆さんありがとうございます。

本をよみなおしてみました。549さんの言われるとおり、一般の拡大体に
たいして拡張はなりたちそうですが、たしかに、そこは証明すべきだとおもいました。

>>552
はい、わかりました。

>>554、555
参考になります。普通の高校生にもわかるガロア理論を考えてみたいです.
とはいえ、いまのところ置換群をいじっているのがやっとです。

557 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/18(土) 12:00:16
さて、きのうの僕の問題です。
『 3次方程式の解がすべて実数であるための条件は、判別式 D>0 であることを示せ.』

判別式の定義は532さんの書いてくれたのを使います.
D = Π_{i<j}(x_i-x_j)^2 = (x_2-x_1)^2 (x_3-x_1)^2 (x_3-x_2)^2

すべて実数→D > 0
これは実数(≠0)の2乗は正ですから、あきらかです。

D> 0 → すべて実数
対偶をとります。
3つの解がすべて実数ということでははないとします。
重解があるときは D=0です。
重解はないとしますと、1つは実解、他の2つは共役の複素解となります。
x_1=a 、x_2=b+ci 、x_3=b-ci  (a,b,cは実数)
としますと、
D = (b+ci-a)^2 (b-ci-a)^2 (b+ci - (b-ci))^2
= ((b-a)^2+c^2)^2 (-c^2)
ですから、D < 0 となります。以上よりD ≦0


558 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/18(土) 12:03:35
557の解答ですが、高2生さんのように優秀ではないので、たいへんな時間を
かけて考えたものです。
でも、できる中学生ならわかる解答になったのではという気がします。

559 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 12:16:26
>重解はないとしますと、1つは実解、他の2つは共役の複素解となります。

これさえ分かればあとは簡単。
実際俺も解いたよ。1分ほどかかった。

560 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 13:39:24
>>555
あー卒研で数理科学系の勉強したとき
担当教官が同じようなこと言ってたな
ナツカシス

561 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 15:12:31
>>547
教えてくれてありがとう。
同型をベクトル空間としてのものと思っていたーよ。

恥を忍んでもう一個質問していい?

>T と S の濃度は同じだから Q(T) から Q(S) への

>同型σでσ(α) = β となるものがある。


これは自明? それとも何かの定理?

562 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 15:28:23
>>561

T - {α} と S - {β} の濃度は同じだから
T - {α} から S - {β} への全単射 σ がある。
σ を σ(α) = β で T から S への全単射に拡張する。
このσは Q(T) から Q(S) への同型に拡張できる。

563 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:03:07
何でガロアとアインシュタインだけが素人受けするの?

564 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:06:42
玄人受けもしてるが

565 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:07:10
一般人に知られてるから

566 :昨日の出題者:2006/11/18(土) 16:26:58
あらら・・・結局他の人が解いちゃった訳ね
>1
昨日は全く証明になってないと言ったけど、方針はあってるからガロア理論もそれなりに理解出来てそうだね


567 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 16:48:48
>>346
は誰も解いてくれないのか?誰か解いてくれよ!

568 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 17:31:38
>>567

まず、X^3+X^2-4X+1 の判別式の値を計算してよ。
計算が面倒なんでw
話はそれから。

569 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 17:40:13
>>568
>>496で一部解いている人がいるよ!

570 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 18:18:34
X^3+X^2-4X+1 の最小分解体 K は Q(Exp(2πi/13))の部分体だね。
Q 上のアーベル拡大は円分体の部分体になるというクロネッカーの
定理があるから。
実際に確かめるのは難しくないだろう。
13 - 1 = 3・4 だからこの体は 4 項周期(代数的整数論3スレの263参照)で
生成されるはず。

p = 13 のときは p は K において完全分岐するから
X^3+X^2-4X+1 は mod p で 一次式の3乗になる。

p ≠ 13 のときは、代数的整数論3スレの735 より
p は r = (13 - 1)/lcm(4, f') 個の相異なる素イデアルの積に
分解される。ここで f' は p の mod 13 での位数。
つまり p^f' ≡ 1 (mod 13) となる最小の正数。

したがって、f' が 4 の約数のときは
X^3+X^2-4X+1 は mod p で相異なる一次式の積になる。

f' が 4 の約数でないときは
X^3+X^2-4X+1 は mod p で既約になる。

571 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 20:40:51
ありゃ、解いたのに反応なしか。
難しい?
知ってる人にとっては別に難しくはないが、
そうでない人にはそうだろうね。
出題者はちょっとずるいかも。

もっと初等的に証明できるかもしれないが、面倒なんで。
誰か?

572 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:10:35
>570-571
Kronecker-Weber の定理はないだろう?
それじゃ、Galois Theory じゃなくて Class Field Theory じゃないか。
百歩譲っても、分岐する/しない ってのは Algebraic Number Theory だよ。 

573 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:17:51
Branched covering space のことも、たまには思い出してください。

574 :572:2006/11/18(土) 21:22:51
書いてから気が付いたが、>571の言うとおり「出題者はちょっとずるい」気がする。
多分Stark Conjecture か何かを専門にしているのが素人をからかったんじゃなかろうか?

575 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:24:01
>>572

Kronecker-Weber の定理は、証明に使う必要はない。
見当をつけるのに使っただけ。
Q(exp(2πi/13))の4項周期を計算すればいいと書いただろう。

分岐する/しないも説明が長くなるから使っただけ。
当該多項式の mod p での分解の仕方を調べればいい。
代数的整数論3のスレに初等的に書いてある。
そこでは代数的整数論の知識を仮定してはいない。

576 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 21:32:16
>573
> Branched covering space のことも、たまには思い出してください。
本質的には、同様の現象なんじゃ?

577 :575:2006/11/18(土) 21:45:22
とは言ってもやはり代数的整数論だよね。
初級のガロア理論のスレでは場違いだな。

578 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 22:50:24
>>570 を実例で確かめよう。

X^3+X^2-4X+1 に 5 を代入すると 131 になる。
これは素数で確かに (131)^4 ≡ 1 (mod 13)

579 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:03:11
では>1さんの為に標準的な問題を。
f(x)をQ上既約な n 次多項式で、実根がn-2個であったとする。
この時f(x)のガロア群はn次対称群である。

580 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:04:34
問題になってねえ

581 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:07:40
>>570
>X^3+X^2-4X+1 の最小分解体 K は Q(Exp(2πi/13))の部分体だね。

この多項式の根を公式なりガロア理論なりで計算してもわかる。
誰か?

582 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:13:30
>579
Symmetric groupsの性質を知らないと難しい・・・

583 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:15:40
>>580

立派な問題だよ

584 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:16:53
>>582

互換で生成される?

585 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:35:55
>>579
x^4-4x^2+2のガロア群を求めよ。

586 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:42:55
確かに、S4は微妙に挙動不審だしなw

587 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:45:15
>>579はちょこっと条件が足りない。

588 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:55:00
(-2)^4-4(-2)^2+2=2.
(-1)^4-4(-1)^2+2=-1.
0^4-4x0^2+2=2.
1^4-4x1^2+2=-1.
2^4-4x2^2+2=2.


589 :132人目の素数さん:2006/11/18(土) 23:59:53
>>588
例のためにてきとーに作った、以上に何か深い意味でもあるの?

590 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 00:48:53
ガロア理論を解説したサイトはありませんか?
但し、基本定理の証明と
5次以上方程式が代数的に解けない事だけを示す事を目的にした物を除く。

591 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:08:31
ガロア理論でググるのはだめなの?

592 :590:2006/11/19(日) 01:12:41
勿論だめです。
あたくしに検索させるおつもりですか?

593 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:13:47
検索がだめなら本をよめばいいじゃない

594 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:15:15
>>591
ググって見ても>>590ぐらいのサイトしか無かった。


595 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:16:43
>>594
英語や仏語でググレ

596 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:17:34
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&rls=DVFA%2CDVFA%3A1970--2%2CDVFA%3Aja&q=galois+theory&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

597 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:39:04
>>596
http://www.google.co.jp/search?as_q=&num=100&hl=ja&rls=DVFA%2CDVFA%3A1970--2%2CDVFA%3Aja&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&as_epq=galois+theory&as_oq=&as_eq=&lr=&as_ft=i&as_filetype=&as_qdr=all&as_occt=any&as_dt=i&as_sitesearch=&as_rights=
で900件出て来たがどれが良いのか分からんから推薦してくれ。

598 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 01:46:28
棚ボタ厨ktkr

599 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 02:29:13
あたくしに検索させるおつもりですか?
あたくしに検索させるおつもりですか?
あたくしに検索させるおつもりですか?
あたくしに検索させるおつもりですか?
あたくしに検索させるおつもりですか?

600 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 02:48:55
>>599
そんな気はない。
知っていたらで良いんだ。

601 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 02:55:00
(a^13-1)/(a-1)=0.
p=a+a^8+a^12+a^5.
q=a^2+a^3+a^11+a^10.
r=a^4+a^6+a^9+a^7.
pq=q-1.
qr=r-1.
rp=p-1.
p^2=r-p+3.
q^2=p-q+3.
r^2=q-r+3.
p+q+r=-1.
pq+pr+qr=-4.
pqr=-1.
(x-p)(x-q)(x-r)=x^3+x^2-4x+1.


602 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 03:33:35
>>601
8 は mod. 13 で位数 4
p = a + a^8 + a^(8^2) + a^(8^3)
2^2 = 4, a^{(8^i)*(2^j)}
三分割 Gauss 和?

603 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 07:14:39
>>601
2 は mod. 13 の原始根で、

p = a + a^8 + a^(8^2) + a^(8^3)
r = a^4 + (a^8)^4 + (a^(8^2))^4 + (a^(8^3))^4
q = a^(4^2) + (a^8)^(4^2) + (a^(8^2))^(4^2) + (a^(8^3))^(4^2)

これら三元は Q 上共軛であり、各項(12項)は 1 の原始 13 乗根を尽くすという訳か。
Gauss 和の拡張の一種だな。
法が 3n+1 型の素数、Q 上 3 次ガロア体の場合は
http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/Examples/node60.html#SECTION00432000000000000000
にあった。特に p = 13 の場合は 3 次体に限らず全部書いてあった。
これは初等ガロア理論の範囲と言っても良いだろう。
あと、奇素数の平方が法の場合が必要だな。
法が一般の自然数の場合にはどうすれば良いんだ。

604 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 08:31:44
>>603
>あと、奇素数の平方が法の場合が必要だな。

というと?

605 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 08:59:15
Q上既約な整数係数多項式f(x)=x^3+(a_2)x^2+(a_1)x+a_0の判別式がd^2のときは、
f(x)の最小分解体はQ(ζ_{3d})の部分体になりますね。
この場合、平方剰余の相互法則みたいなんが作れると思うんだけど、どうなるかな?

606 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 09:45:28
>>603
Q の 3 次ガロア拡大のうち基本となる物は上記以外に円の 9 分体の部分体。
基本 3 次拡大は全体として Q 上一次無関連で、
任意の 3 次ガロア拡大はこれらの合成体の部分体として
一意に書ける。

奇素数 p に対する p 次ガロア拡大でも同様。q = pn + 1 型の素数次の等分体と、
p^2 等分体

607 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 10:23:44
分厚いだけで中味のない本発見

中島匠一、代数方程式とガロア理論、共立出版
(共立叢書、現代数学の潮流)

608 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 20:24:15
出版社のサイトにも
>本書は代数方程式とガロア理論について基本的なことをまとめた入門書である.
>初学者のために詳しい説明を心がけながらガロア理論の「おもしろいところ」まで達することを目標にしたので,本書はちょっと厚めの本になってしまった.
とか書いてあるし、初学者向けの入門書なら多少厚くても問題ないんじゃないかな。

多分あまり数学を使わない学部学科や職業の人も読者として想定してるんだろうし。

不思議なのは、なぜそういう初学者向け入門書がそのシリーズから出てるのか、ということ。
他の巻の書名に騙されて、非常に難しいんじゃないかと誤解する人が結構居そう。

609 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:32:13
>>608
多分深い所まで書いてあると誤解して衝動買いする人が多いんじゃないか?

610 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:34:45
んで、このスレの文系さんは深い所にいるんでつか?

611 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:37:47
0からわかるガロア理論

612 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:42:13
>>610
もちろん居る。根の国底の国、君等素人の到底手の届かない奥底にいる。

613 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 21:43:54
怨念の奥底

614 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/19(日) 23:14:52
>>559
> 実際俺も解いたよ。1分ほどかかった。
頭がいいのね。うらやま。

>>563
> 何でガロアとアインシュタインだけが素人受けするの?
これが、やっぱり僕がガロア理論に挑戦しようとした主たる理由という気がします。
なんだか惹かれるんです。

>>566
そういってもらえて、うれしいです。
でも、問題はもうやめてね。心臓に悪い。

>>579
もう問題はなしです。ごめんね。582さんも対称群の性質をしらないとむずかしいと
言っているし。587さんはちょこっと条件が足りないといってるし。
実際 X^4-3 は、条件にあっていますが、ガロア群の位数は8です。

>>610
> んで、このスレの文系さんは深い所にいるんでつか?
いえいえ、ほんの入り口です。これは本当。詳しい人のむずかしいはなしは、まるで
わからないです。でも、おもしろいですけどね。
怨念というのは、あるかもしれない.以前ぜんぜん、数学はできなかったですから。


615 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 23:33:17
というか以前出来なかったとかいうより、単に勉強してなかったか、
しても分かるはずないと諦めてたか、勉強法がおかしかったかのどれかでしょ、多分。

個人の才能が関係してくるようなギリギリのラインの話じゃないんだから。

616 :132人目の素数さん:2006/11/19(日) 23:59:05
>>614
>587さんはちょこっと条件が足りないといってるし。
ごめん n は奇数であるという条件を抜かしていた。
>X^4-3 は、条件にあっていますが、ガロア群の位数は8です。
あっているじゃないか。
おぬし出来る。ただ者ではないと見た。

617 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 03:11:41
いつの間にか>1も気に入られてるなww
問題解いたおかげだw
中川は問題出したら問題で返ってくるからなww
>1>>>>>>>中川は確定した

618 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 07:00:21
前にも書いたけど代数方程式の可解性の問題は現代ではあまり重要
ではない。だからガロア理論を学ぶ場合、そこを飛ばしても
あまり問題はない。そうするとガロアの基本定理が中心になるが
それは初等体論を知っていれば簡単。
実際、高木の代数的整数論ではそれに必要なガロア理論を
2ページ程で証明している。

結論として代数方程式の可解性を抜かせばガロア理論は簡単で
あり、またそれで十分。

ただし、ガロアコホモロジーやガロアの逆問題など進んだ話題は別。
それらは必要になったらやればいい。

619 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 08:11:57
漏れは数学全く駄目だけどガウスが作った三本線のモジュロだかモジュラだか
いうアイデアは消防の頃に知ってた。餅自分で考えたよ。

620 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 08:56:46
>>614
>頭がいいのね。うらやま。

残念でした。
頭のよさとは関係ない。
慣れというか数学的常識の有無の問題。

a を実数、z を複素数、z の複素共役を z' としたとき、
a - z の複素共役は a - z' になる。
だから (a- z)(a - z') = |a - z|^2 となって、これが正なのは
わざわざ計算するまでもない。

621 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 21:49:48
>>619
三本線を動かしていって一点で交わるときどう分岐してどう漸近化すればよいか、
今でも難しい問題。

622 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/20(月) 22:33:51
>>615
できなかった理由はわからないのですが、文系の勉強をして、抽象的に考える自信が
ついたことで数学に挑戦してみようという気になったことだけは確かです.
でも初等的な数学は必要ですから、少しづつ勉強しています。

>>616
うわっ。うわっ。うわっ。問題はなしにしてください。
でも、この問題はいい問題だとはおもいました。
でも、もっと簡単な問題で苦労しているところですし、時間もちょっと
苦しいです。
3次でなりたつのは、すぐにわかるのですが、5次になるともう
わからないです。解が独立性をもっていればいいのだろうと見当を
つけたのですが、条件とつながらないです。

>>617
一瞬、1==中川で確定 と書いてあると見まちがえてびっくりしました。
彼は悪知恵だけは、異様にあるので、はめられてひどい目をみたことがあります。

>>618
> それは初等体論を知っていれば簡単。
そこのところを、僕の使った本では詳しく説明しているとは思えないです。
よく読めば、ひととおりの説明はあるのですが、教育的配慮があるとはおもえないです。
自分で補って、ガロア理論の直観像をつくるとじつにシンプルな姿が見えてくるの
ですが、それまでが大変でした。

>>619
僕はいまだに、その話は知らないです。情けない。

>>620
僕のように知識、常識がないと時間ばかり空費します。

623 :132人目の素数さん:2006/11/20(月) 23:18:10
>>616
nが奇数でも無理。というか、問題出すときは自分の解ける問題にしようね。

624 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2006/11/21(火) 10:19:23
>>622

L/K を有限次ガロア拡大とする。G をそのガロア群。
G の不変体が K に一致することがガロアの基本定理のキーである。
これは以下のように簡単に証明される。

L = K(θ) とする(単拡大の定理は仮定する)。
G の不変体を F とする。

f(X) = Π(X - σ(θ)) とおく。ここで σ は G の元をすべて動く。
この各根はすべて異なることに注意する。
f(X) の係数は G で不変だから F の元である。
θ の F 上のモニックな最小多項式を g(X) とする。

g(θ) = 0 だから σ(g(θ)) = g(σ(θ)) = 0 となり、
g(X) は n 個の異なる根をもつ。ここで n は L/K の拡大次数。

他方 f(θ) = 0 だから f(X) は g(X) で割れる。
よって f(X) = g(X) である。
よって、L/F の拡大次数は n である。
よって、F = K である。

因みに以上の証明は私がたった今、一部思い出しながら考えたもの。
思い出すと言っても大昔に学んだこと。
これは証明の要点が簡単だから。

625 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2006/11/21(火) 10:20:20
ありゃ名前を消すのを忘れたw

626 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 12:56:13
>>624
いや、たいしたものです.

僕も学んだばかりですので、図解してみました。

ガロア拡大(L/K)

⇒ 分離的 ⇒ 単拡大 L = K(θ)
がつ
⇒ 正規 ⇒ L は θ の既約多項式(単拡大なので)f(X) の最小分解体

ガロア群の位数=拡大次数=f(X)の次数( ∵ f(X) は既約かつ解は巡回群)

以下証明部分は略。
単拡大を前提にすると、すっきりすることは確かですね。

627 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 13:35:42
コテハン消し忘れの哲クズwww

34 名前:ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ [sage] 投稿日:2006/11/21(火) 13:03:48
ゲーデルは、なにをトリビアルとみるかのちがいです。

> Bolzanoと同じくらい当時の解析学に貢献した数学者はいくらでも居て
解析学に貢献したということではなく、現代的な数学への橋渡しになった
ということです。カントルやデデキンドもそうでしょうが。

> Aristotelesの本に公理から定理を導出していくスタイルのものは一つとして無い。
よく読めば、公理の必要性も証明の必要性もはっきり語っています。
ただし、訳語が公理という語をつかってないのでわかりづらいだけです。

35 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2006/11/21(火) 13:21:07
およそ、どの学問分野でも基礎をたちあげるときには、哲学的思考がおおきな
比重をしめます。基礎がしあがれば、哲学的思考は影をひそめて、能天気な
輩が自由に活動できるのです。w
解析学はふたりの哲学者によって、創始されました。ひとりはライプニッツ、
もうひとりはニュートンです。
ニュートンを哲学者とすることに、違和感を感じる人もおられるかもしれませんが、
ニュートン自身、自分を"自然哲学者”としています。
ニュートンもまた、アリストテレスの申し子なのです。ニュートン力学の
世界観は、アリストテレス的であります。これはドルトンの原子論があらわれて
そのアリストテレス的世界像に風穴があけられるまでほぼ唯一の世界像の位置を
しめます。
実際、ニュートンは解析学(微分積分学)を創始していく過程で、アリストテレス
の議論との齟齬になやみつづけます。無限小の概念についてです。
のちに主著をあらわすとき、ニュートンは自身が開拓した、解析学をすて、
古典的な幾何による証明に帰っていきますが、それもアリストテレスの議論に
影響をうけたからと考えられます。
ちなみにドルトンの原子論にしても、古代ギリシャの哲学者デモクリトスの説を
採用したものであることはよく知られています。

628 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 13:43:23
無意味に多弁。ニダ!

629 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 13:44:51
というかどうみても文keiだろ。
偶然文体も同じでしかも「哲学は数学より偉い」主義者だったなんて
そんなことありえないだろ

630 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 14:21:32
426の一部訂正
解は巡回群 → θにより生成されるが単位元がないので群にはならないです。

>>427
うわっ。苛めないで。
>>629
> そんなことありえないだろ
そうです。そんな主張いちどでもしたことありますか?
でも、文keiではありません。

631 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 14:28:17
文keiのままだとそろそろ初心者を気取れなくて都合が悪かったんだろうよ。
文keiのころから素人が速習するというのだけがうりだからな。

632 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 14:32:12
また訂正です。
”そんなことありえないだろ”の解釈があやまっていました。

これに対するこたえな”ノー”です。

>>631
文keiではありません。以降スルーしますのでよろしく。

633 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 14:34:43
いや、スルーしても構わないけどね、文keiさん。
そういえば文keiも無限小がお気に入りだったなあ。

634 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 14:35:50
漏れも無限小は好きだぜ

635 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 14:37:19
微分ガロア理論でもやるか

636 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 14:52:29
いま現在、無限小にちいさくなっております。

文keiさんは無限小がお好きのようですが、僕は別に無限小はすきではありません。

637 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 14:57:24
哲はホント度し難いな。鉄オタと同じように腐ってるのが多すぎる

638 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 15:01:38
> ニュートンを哲学者とすることに、違和感を感じる人もおられるかもしれませんが、
> ニュートン自身、自分を"自然哲学者”としています。

これは便利な論法だな。
Ph.Dもってる偉い人をみんな哲学者にすることができる。

639 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 15:05:32
>>623
いま、気づきました。
ありがとうございます。

640 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/21(火) 15:07:21
>>637、638
板ちがいなので、ここでは苛めないでくださいね。

用事があるので、落ちます。

641 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 15:08:46
板違いじゃなくてスレ違いの間違いじゃないのか?

>>639
あんたへのレスじゃないよ。

642 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 17:33:19
>>622「文系の勉強をして、抽象的に考える自信が ついた」

皆さん,この台詞,どこかで見覚えありませんか?
文keiの大好きだった台詞...


643 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 18:17:41
アホの典kei

644 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 20:20:18
マルクスも数学の論文を書いて、日本語訳も出版されていた。
一体どの種の人に人気が集まるのだろう。

645 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 21:01:34
まあ、プラトン大先生も哲学やる前に幾何学やれって言ってるし、今時なら
最低限、ってここまで書いて、どこまで必要なんだろう、哲学やるのに・・・。
物理なら相対論と量子論は必須として、数学はどこまで必要?勿論基礎論は必須
として。と言う風に、考えていくと今時本気で哲学するのには気の遠くなる程の
前提が必要になるので、現代の文系君達は西洋方式は見捨てて、東洋方式(悟り)を
採用するんだよねえ。で、麻原彰晃とあまり変わらない立ち位置にも関わらず、自分を
仏陀とはいかなくとも一休禅師くらいには置くんだよ。

646 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 21:44:52
>>622
理系の学問は頭で考えると同時に実験するとか計算するとか
手を動かさないと全く理解に到達しない馬鹿が出来るだけ。
更に、前にも別スレで書いたが、大学3年まで勉強して本人は理解したつもりになっていても、
4年のゼミで先生に散々しぼられ、理解が如何に甘かったか思い知らされる。
ここをくぐり抜けられねば理解出来たと云わない。

647 :132人目の素数さん:2006/11/21(火) 22:01:51
>4年のゼミで先生に散々しぼられ、

アカハラです。

648 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 07:54:28
>>644
マルクス、数学草稿、東京図書。
文keiの人の数学理解が分かって仲々面白い。

>>647
この壁を超えられなければ数学が分かった内に入らない。

649 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 08:07:39
わからない事はわからない。まだはっきりくっきりわかった気がしない内は
「わからない」って自覚が大事。
「わかってるんだよ」って「わかってなくて」人を下に見たり、あいまいなのに
「あいまいなままにしかわかってない」事を自覚しないといつまでたっても「わかる」
がわからない。
問題なのは「人にどう思われるか」ではなく、自分とその「真理」との状態とか関係。
「真理」って言葉が嫌いなら、「理論」と言ってもいいし、もっとざっくり「考え方」
って言ってた方がいいな。数学では同じ事。
「わかったって自慢したいだけとか」「ネットで4色理論を解きました」って言ってる
たぐいの人間には問題なのが「自分がわかってて偉いかどうか」なのが問題。
問題なのは「自分がまっさらその「考え方」をわかっているかどうか」だけ。
ここにだって「わかってて冷たく見てるだけの人間はたくさんいると思うよ。

650 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 08:15:26
>マルクス、数学草稿、東京図書。
どこの図書館にも置いてないんだが、本当に和訳出てるの?
新マルクス学事典という本にそういう項目があるらしいということとか
岩波書店と大月書店(と北京の人民出版社)から似た本が出てるらしいこととかしか分からなかったが。

というかその本と文keiさんとは全然関係ないんじゃ…

651 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/22(水) 18:14:08
>>641
> あんたへのレスじゃないよ。
わかっていましたが、いちおう間接的に役立ったのでお礼です。

>>645
> 最低限、ってここまで書いて、どこまで必要なんだろう、
これが、現代人の最大の不幸で、またハルマゲドンで一回リセットして、やりなおす
とかしかないのですかね。数学も勉強はほどほどにして、研究をしなくては意味が
ないのですが、最低限を考えても気がおもくなります。

>>646
> 手を動かさないと全く理解に到達しない馬鹿が出来るだけ。
これは抽象思考だけではだめという意味ですか。さすがに、相当のバカである僕も
数学を勉強してみて、そのことには気づきました。
ちらしのうらで、コツコツ計算してます。

>>649
>まだはっきりくっきりわかった気がしない内は「わからない」って自覚が大事。
それは、自覚してます。一度、おわったはずのガロア理論なのですが、一般方程式の
ガロア群が対称群になるという定理、気になる点があったので、読み直したりしています。
解が不定元のときは、S_nになることはすぐにわかりますが、係数が不定元のときは
自明ではないです。
このばあい、解が独立とはいえないからですが、さいしょはそれに気づかなかった。
はやく終わらそうばかりで、あせっていて証明を読み飛ばしたようです。
簡単そうに見えて、むずかしい証明がいくつかあって、本当にガロアはたいしたものだと
おもいます。

652 :132人目の素数さん:2006/11/22(水) 20:49:11
>>650
入力を間違えていた、数学手稿だった。
http://www.google.co.jp/search?as_q=&num=100&hl=ja&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&as_epq=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%89%8B%E7%A8%BF&as_oq=&as_eq=&lr=&as_ft=i&as_filetype=&as_qdr=all&as_occt=any&as_dt=i&as_sitesearch=&as_rights=

653 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 01:27:23
群って何?

654 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 01:30:01
>>653
それがちゃんとわかってから次に進まんとわかったようなわからんようなになって
しまう。

655 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 02:49:00
>>654

言いたいことはわかるが、そうとも言い切れないかも。

ガロア理論というのは群論の良い適用例なので、それを通じて逆に群論が
よく分かる。ガロア理論を群論より先にやることも可能だとおもう。
実際、歴史的にはその順番だし。

そもそも、群の抽象的な定義から群論に入るのは初心者にはよくない。

最初は群とは何かよくわからなくても、ガロア理論をやっていくうちに
わかるようになるだろう。

656 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 02:56:55
>>655
群の形式的定義なら線形代数の学習が終わった時点で知っている人が多いと思うが。

657 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 03:02:28
>>656

だから?

658 :656:2006/11/23(木) 03:39:06
というか、線形代数でn次の行列式を定義するときに、{1,2,・・・,n} の置換
とその符号が必要になるので、この時点で対称群S(n)を実例として群の概念
が導入されるのが普通だと思うのだが。行列式を知らないでガロア理論やる人
なんてまず居ないだろうから、群とは何かがガロア理論の学習で問題になる
ことなどあり得ないと思う。

659 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 03:44:15
>この時点で対称群S(n)を実例として群の概念が導入されるのが普通だと思うのだが。
別に導入しても悪くはないけど、一般的に群の定義まではせずに
単に置換とその符号を定義して終わり、ということも多いが

>行列式を知らないでガロア理論やる人なんてまず居ないだろうから
そうでもないよ

660 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 03:50:17
>>658
カリキュラムがDQN用だと3次までの行列式しか扱わなかったり(w

661 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 03:56:56
>>659
線形代数のコースも多様なことを忘れてました

662 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 04:20:28
線形代数の初歩で必要な群の定義を知ったくらいで、
群とは何か?が分かったことになるのでしょうか・・・

663 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 05:54:35
群の定義を知り、その実例として対称群をちょっと齧る
イコール 群とは何か分かること

こう思ってる人が一部(一人?)このスレにいるので
話が噛合わない。

664 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:16:29
>>655
そんなわけない

665 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:30:08
>ガロア理論というのは群論の良い適用例なので、それを通じて逆に群論が
>よく分かる。ガロア理論を群論より先にやることも可能だとおもう。
>実際、歴史的にはその順番だし。

ガロアが書いたものを読め?


666 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:36:20
群論により数を再構成し直した
というスタンスでもよいのか?

667 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:48:32
なんだ数を再構成しなおしたって

ガロア理論がどういう理論かわかってから話せ

668 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:52:02
再構成しなおすって再々構成

669 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 08:57:30
>>668
再々^2だから再再再再

670 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 09:37:56
>>664

理由もいわずに「そんなわけない」ってあんた何様だよ。
反対の理由は?

671 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 15:08:20
>>655に賛成
>>664は勉強法にはその人感性や目的にあった方法やルートがあるということがわかっとらん様だな
こんなのが先生になると押しつけになって困る
ガロア理論に限らず、以前和訳も出たワイル:シンメトリーも最適な本の一つだ

672 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:07:17
文keiが過去に立てたスレを是非読んだみたい。
>>1の文章と比較したいんです help

673 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:16:56
朝鮮系だ!

674 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:17:03
>655
> そもそも、群の抽象的な定義から群論に入るのは初心者にはよくない。
今はそう考えるのが普通だが、60-70年代にBourbakiの似非弟子が跋扈していた頃は…

675 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:36:04
群の定義すら知らずにできるのか

676 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:38:59
どうでもいい議論とか、入門スレのレベルを超える話題とか色々で・・・

677 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:45:57
スカラーってなによ。これに答えられなければ行列を理解しているわけない。

678 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:48:56
つまり 「量 −> 操作」
この概念をしっかり最初にたたきこんでないと、群論の中で記号1を見たとき
これは1という大きさをしめしたものだと考えてしまう。
1を見たとき「1を掛けることの略号だ」とみなければならない。

679 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:52:23
>>678
?????

?^∞

680 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:54:18
1○1=1というのは○は操作の順序を示すだけで「かける」と言う意味などない。
「かける」というのは1という記号のなかにないほうされる。
だから1○1=1の解釈は(1をかけること)その操作の後に(1をかけること)の操作を続けるとそれは(1をかけること)に等しくなる
と解釈しなければ、ナンセンスとなる。

681 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:56:29
>>680
哲学をやっているのか?少なくとも現代数学ではないな。

682 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 16:57:11
究極、方程式が解けるかは、その操作が存在するかを求めているにすぎない。
群論の問題がとけたところで、猿真似のようになぞっているだけで理解してる
かどうかあやしい。

683 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:01:19
>>681
これであんたが群論を理解していないことがばれたな。

684 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:10:24
群論には操作などという概念は無い。群の2項演算を操作と言い換え、単位元を1
というシンボルと言い換え、なにか新しいものを発見したと妄想し悦に入る。哲厨の
特徴丸出しである。

685 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:16:21
操作うんぬんは群演算の解釈としては有りだが専門用語ではないね。
変換群の作用を非公式に操作と説明することも有るが、
これも用語としては作用であって操作ではないよ。

686 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:21:19
初学者にわかりやすい群の例は変換群ではないの?
変換群と考えられない群の例を挙げることができますか?

687 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:23:02
言葉をひねくりまわす必要はない。
群とは置換のことだと思って間違いはない。
ただし、これには群の置換表現という概念が必要だが。

688 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:23:29
ガロア理論を大学で教授たちが教える時
彼らは何を思うのか

自分の年齢の3分の1の若造が生み出した理論を
必死になって教えている自分について


689 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:25:10
好意的に見て>>682やなんかは、代数的可解性の原則の理解無しで、
単に群論のテクニックとしてガロア理論を勉強しても意味がないと言いたい
と思われる。が、表現がいかにも素人くさい。代数方程式論としてガロア理論
をやるならその通りだが、単に体論としてやる場合はさにあらず。

690 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:29:44
>>689
素人や入門者がガロア理論といったら、100%代数方程式論のことだと思うよ

691 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:31:20
>>686

自明でない例としては集合の圏の部分圏ではない圏、例えばスキームの圏の
適当な対象 X の自己同型群。

変換群として考えられるということの定義によるが。

692 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:33:31
>>691
入門者がスキームなんて知ってるわけないだろ!

693 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:40:34
>>688

そいつは儒教思想だよ。
日本は未だに儒教圏なわけだな。
年長なら知力と徳が若者より上であってしかるべきという、
あまり根拠のない前提が社会を支配している。

数学の能力は一般に若い方が高い。

694 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:41:32
>>692

だから?

695 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:43:59
>>688
教える側は必死じゃないと思うぞw

696 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 17:44:43
ロマン君乙

697 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 18:19:42
>>688,693
少なくとも君たちはガロアではない。若いのに爺さんの教授にも劣る能力しかない。

698 :132人目の素数さん :2006/11/23(木) 18:20:48
う〜む、不毛なレスが続いてるな〜
君たちには幼馴染を正規拡大してるくらいがお似合いだな

699 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 18:22:32
哲厨の言葉遊びなんてこんなもん

700 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 22:09:32
ちょっと前までは数学的な話題が続いて面白かったのにねー

701 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/23(木) 22:17:40
ガロア理論の勉強の前に、群論の勉強をちょっとだけしましたが、
可解群の定義とか見てもピンとこなかったです。
これは、ガロア理論をやるまでは、わからないとおもっていたほうがよいです。
練習問題もその時点ではやっても無駄です。
素人の感想です。

702 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 22:41:35
>700
> ちょっと前までは数学的な話題が続いて面白かったのにねー
まあ、ありゃあガロア理論と言うより代数的整数論だったけどね。

703 :132人目の素数さん:2006/11/23(木) 22:57:44
>701
じゃ、Normal Subgroupが何でNormalと言うか分かった?

704 :132人目の素数さん:2006/11/24(金) 22:16:50
>>703
これは394で、「性器と性器ががっちり結合」というくだりで説明しています。
覚えやすいでしょ。

705 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 07:39:16
別に有限群論を勉強したい人がガロア理論から勉強する必要は無いと思うけどね。

>これは、ガロア理論をやるまでは、わからないとおもっていたほうがよいです。
同意
>練習問題もその時点ではやっても無駄です。
必ずしもそうでもないでしょ。
数学の本は、本文中に例が少ないから練習問題で補充するようなことが良くあります。

>>683
いやあんたが数学をわかってないことがばれたよ

706 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 09:22:57
同意しかねるなあ。可解なんて群論的にはポリ可換ってだけでしょ。
組成群列がイメージできないのは、単に群論が分かってないだけだと思うけど。

707 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 10:16:53
置換をやるだけなら群は必要ない。
歴史的にも置換は群を生んだけど
群が必要というわけではない。

708 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 11:37:43
>>707

群論を知らずに置換をやるって具体的に何をやるわけ?
置換群論は立派な群論の一分野だけど。

709 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 11:47:50
>>708
置換全体を群として捉えない、ってだけだろ。
小学生が体論を知らなくても有理数の四則演算が出来るのと一緒。

710 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 11:56:04
>>709

だから何をやるのよ。
置換群論と結果的に同じことをするなら、それは群論(の一部)
だって。

711 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:03:24
>>710
> 置換群論と結果的に同じことをする

なんだかド素人を相手にしているみたいでチカレタw

置換全体は群構造を持つが、置換の性質すべてを群論として包摂できるわけではない

おっと・・・オヌシには高度すぎたか。まぁ、あと数年は教科書とにらめっこして暮らしなさい

712 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:04:39
たとえば組み合わせ論性質の一部は群論で扱うのは不自然だよね

713 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:10:10
>置換全体は群構造を持つが、置換の性質すべてを群論として包摂できるわけではない

例えば、どういう性質?

714 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:12:07
>>713
>>712

715 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:14:35
>>710
行列式を扱うときなどに現れる置換程度なら
群論までやる必要は無いだろう。

716 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:15:15
だから具体的に言えってんだよ。
漠然としすぎて話しにならん。
アホか

717 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:16:04
>>716
>>715

718 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:16:53
群の定義は簡単だから知っておいても悪くはないと思うが

719 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:17:30
>>715

まさか、そういう幼稚な話をしてるわけじゃないだろ。


720 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:19:46
>>717
>>719

721 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:24:56
>>658あたりの話がそれなんだろう

722 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:27:36
根の置換程度で議論できる初等的なガロア理論は十分幼稚な話だと思う

723 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:28:39
>まさか、そういう幼稚な話をしてるわけじゃないだろ。

どうも、そのまさかのようだなw

724 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:32:08
線型代数でS(n)とかは、あまりやらないよなぁ

725 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:32:53
必要ないしね。

726 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:34:23
意味のある群論というとリー群論くらいからだな

線型代数や代数で対称群を扱うのは、そのための肩慣らしとしての側面が強いね。
群という概念に慣れ親しむために、あえて群論を使ってみました、という感じ。

727 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:37:25
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
さいころを静かに転がして出る目の推移を問う問題
これ何を読めば分かる?


728 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 12:52:31
毎度ながら、馬鹿しか書いてないなwikipediaって

729 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 13:17:20
馬鹿というか、「中学入試における置換」の記事がやたら詳しすぎるよなw

馬鹿しか書かないわけじゃないんだろうけど、どうしても専門の大学教授が執筆する
百科事典などに比べれば見劣りするし、featured articleに選ばれるような記事と
そうでない記事の落差が激しすぎる。

730 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 14:09:43
詳しいというのとも違うな。
そこに並んでいる一つ一つの項目が詳しく書かれているわけじゃないし。
しかも、中学受験としてある理由がわからん。
カードのシャッフルが置換なのはいいが
置換を説明するのに、それを中学入試の問題として説明する理由は全くないし。
そういうところがアホ。

731 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 14:25:29
馬鹿しか書かないわけじゃないんだろうとか書いたけど
「中学入試における置換」書いたやつはただの馬鹿だなw

732 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 14:49:07
ところで、>1は「初等的で簡単」なGaloisの基本定理を
言明And/Or証明したんだっけ?(まあ如何でも良いか?)

で、Galois理論でカバーすべき話題を考えてみたんだが
こんな感じかな。

1)体の拡大
2)定規とコンパスによる作図(体の拡大の応用)
3)Galoisの基本定理
4)正規拡大
5)分解体
6)冪根による拡大(含む:5次多項式の例の話)
7)TraceとNorm
8)有限体
9)円分体
10)単純拡大と原始元定理
11)3次多項式と4次多項式(Galois群の計算)
12)分離性
13)標数p>0の体の議論
14)代数閉包の存在
15)無限次Galois拡大

あと超越拡大とかAffine環の話を如何するか?もあるね。

733 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 17:49:45
>根の置換程度で議論できる初等的なガロア理論は十分幼稚な話だと思う

初等的なガロア理論って何だよ。
普通に大学で習うガロア理論のことか?

それを幼稚とは誰も言わないと思うぞ。
あんた何様?

734 :132人目の素数さん:2006/11/25(土) 21:29:29
>693
> 数学の能力は一般に若い方が高い。
では、新生児が一番数学が出来るわけか?よしとくれ。

735 :小2生:2006/11/25(土) 21:41:39
>704
> これは394で、(中略)で説明しています。
「体の正規と群の正規がむすびついている」・・・かい?体の正規って何だよ?
Nromalってのは体の拡大の性質だ。体の性質じゃないぞ。

736 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 01:20:30
Nromalってたくさんあるのね

737 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 06:06:56
>Nromalってたくさんあるのね
何所に

738 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 06:36:56
http://www.google.to/search?hl=ja&q=Nromal&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=


739 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 12:52:01
おい哲ブタ、

数学に 変 な ロ マ ン もってんじゃねえよww

740 :732:2006/11/26(日) 14:17:28
1)体の拡大 で最低限カバーする内容

Th 1. K/L/Mを体の塔とすると、「M:K]=[M:L]*M:K]
Th 2. Kを体、uをKを部分体とする或る体の元でK上代数的であるとし、
   fをモニックなK[X]の多項式でf(u)=0 となる次数=nが最小のものとする。
   そのとき
   (a)fは一意
   (b) fはK上既約
   (c) 1、u、u^2、… 、u^(n-1)がK上のベクトル空間K(u)の基底となる
   (d) [K(u):K]=n
   (e) K[X]の元gに対しg(u)=0となるのはfがgを割り切るときかつそのときに限る

741 :132人目の素数さん:2006/11/26(日) 14:32:39
>>1が予想通り、哲学バカだった件について

哲学を理解できない馬鹿が、数学や物理に逃げる
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1163080573/42

742 :732:2006/11/26(日) 20:42:40
2)定規とコンパスによる作図  で最低限カバーする内容

Th 1. R^2の点(a, b)が作図可能である⇔
 a,bが2次拡大の塔 Q<K1<・・・Kn、の元である
 ただし  Ki=Ki-1(√ci)かつ ciは=Ki-1の正元

系1.円と等積な正方形は作図不可能
系2.立方体倍積問題は作図不可能
系3.一般の角の3等分は作図不可能 

743 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/27(月) 02:28:11
>>741
哲学バカじゃないですよ。哲学専門でもないし、ただああいう話題があると、
つい文系の側の肩を持ちたくなるだけで、必ずしも真意というわけでもないのです。

議論もゲーム、数学もゲームだとおもうのです。ただし真剣なね。

744 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/27(月) 03:56:38
>>741
哲学バカじゃないですよ。ただああいう話題があると、様子を見て
つい形勢の不利な側の肩を持ちたくなるだけで、必ずしも真意というわけでも
ないのです。


745 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 03:59:37
(^ω^;)

746 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 07:03:06
>>743
これだからゲーム世代は...

なんでもかんでもリセットボタンを押せば
いいと思ってる

ガロア理論もリセットボタン、

文系という恥ずかしい経歴もリセットボタン

747 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 07:06:58
文系は恥ずかしくないでしょ
文keiは恥ずかしいけど

748 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 07:10:26
文系は恥ずかしくないが
哲学は恥ずかしい

749 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 09:28:34
>>743から推敲して>>744に書きかえたのね

750 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 09:51:34
勢いで書いちゃって、あとで読み返してヤバイナーと感じて消すこと

よくあるよね。だいたいそういうところが真意だったりするんだけど。

751 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 10:22:48
> 哲学専門でもないし、
をあわてて消したところが汚いよな。

文系を強調しながら専門をわざと明かさないで、哲学だの歴史だの「文系っぽい」話に議論をもってって
理系の人には分からない、という態度で逃げるのが文keiのいつものやり口だからな。
それが彼にとっては「真剣なゲーム」なんだろうけどさ。

とにかく、こいつは哲学は専門外ということは分かったので覚えておく。

752 :732:2006/11/27(月) 11:13:03
(3)Galoisの基本定理 は当然以下を書く。
M/Kを有限次正規拡大としG=Gal(M/K)とする。そのとき
1)Gの部分群とM/Kの中間体は1:1に対応する
2)此の対応は L |→ Gal(K/L) および H |→(Hで固定されるMの部分体)で与えられる
3)L⇔Hが対応しているとき、[M:L]=|H|、[L:K]=[G:H]
4)H <| G(正規部分群)⇔ L/KはGalois拡大で、Gal(L/K)~=G/H

753 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 11:26:00
>>752
ガロアの基本定理に入る前にアルティンの補題はやらないの?

754 :732:2006/11/27(月) 16:14:24
>753
アルティンの補題って同型に関するやつ?
7)TraceとNormでHilbertの定理90との関連でやるのが良いと考えたんだが…
そう言われれば Galois群の部分群の対⇒部分体の対 が「指数有限⇒指数有限」を言うために必要だね。

755 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 17:56:29
>「指数有限⇒指数有限」
明らかじゃね?

756 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 18:38:05
>>754
753で言っていたのは、自己同型群の部分群の不変体に関するやつ。

757 :753:2006/11/27(月) 20:16:04
>756
Artinの名が付いたのは色々あるから混乱してしまうが此れ↓?

Eを体、G=Aut(E)としkをGで固定されるEの部分集合とする。
この時、kはEの部分体となり
  [E:k]が有限  ⇔  Gが有限群
またその時 [E:k] = |G|  となる

758 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:21:10
ちんちん

759 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:28:40
>>757

>>624と実質同じ。

760 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:32:18
>>757
そうそれ。それをやってからガロアの基本定理の証明に入るやり方のほうが
いいと思ったので。

761 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:36:37
>>732
それと、多分思いついたまま並列したんだろうけど、
話を進めていく順に整列した方がいいんでない?

762 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:42:45
いややっぱ、各単元でカバーする内容を決めてから
配列しなおす方がよいか。

763 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 20:48:11
代数方程式論はいらないと思うよ。べき根で解ける条件とか
定規とコンパスとか。こういうのは過去の遺物。
現代数学では、ほとんど不要。要するにこれらはマニアック
なんだよ。時間があまってしょうがないとか、どうしても
やりたいなら止めはしないが。

764 :732:2006/11/27(月) 21:05:53
>760-763
貴重な意見Thanks!
正直言って体系的に書くほど理解してないので、後でもう一回見直すことにして
取敢えず「思いついたまま」並べたい。

4)正規性で書くべき内容
Th. M/Kが正規拡大で、f∈K[X]が既約であるとする。
fがMに零点を持つならば、fはMで一次式の積に分解する。

5)分解体で書くべき内容
Th. 任意のf∈K[X]に対しその分解体であるM/Kが存在する
Def 分離性
Th. M/Kを有限次拡大とするとき、以下は同値。
 A) M/Kは正規
 B) MはK上分離的でかつK上の分解体
 C) Mは、既約因子が分離的であるようなf∈K[X]の分解体。

6)冪根による拡大で書くべき内容 (煩雑さを避けるためChar=0とする)
Def 冪根による拡大
Th Kを標数0の体、K⊂L⊂Mを冪根による拡大の塔とするとGal(L/K)は可解群である。
Th Kを標数0の体、f∈K[X]が既約であるとする。
fの零点を含むような冪根による拡大(L/K)に対しK上で考えたfのGalois群は可解である。
Th pを素数、f∈Q[X]をp次の既約多項式とする。
fが実数でない零点をちょうど2個持つなら、fのGalois群はfのp個の零点の間の置換で生成されるS_pに同型である。
系 5次乃至はそれ以上の多項式の零点を、その係数に対する有理演算および冪根の添加のみで求める事は一般には不可能である。

765 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 21:13:26
う〜ん、可解性は大切な性質だから俺はやった方がいいと思うな。
作図云々は好みの分かれるところだろうけど。

766 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 21:14:49
765は763へのレスね。

>>764
その方がいいと思うYO

767 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 22:46:55
>可解性は大切な性質だから

なぜ大切なのかな?

768 :132人目の素数さん:2006/11/27(月) 23:19:08
>>767
逆に聞くけど、アーベル性は大切だと思う?思わない?

769 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 02:02:08
>>768
どんな文脈で大切だと聞いている?

群論としてはアーベル性は極めて重要だけど、
ガロア理論としてはそれほど重要だとは思わない。

770 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/28(火) 02:09:21
>>746
2チャンネルはこわい!
注意に注意を重ねているのに。(泣)
>>747-748
ありがとう。文keiでないですから、うれしい。
>>751
また、文keiだなんて。いゃん。

771 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/28(火) 02:25:01
>>765
> う〜ん、可解性は大切な性質だから俺はやった方がいいと思うな。
賛成。やっぱり数学の歴史に燦然と輝く成果という気がします。作図も
2000年来の未解決問題ということでやっといたほうがいいような。
一般のひとも興味を持てるはなしで、知っておくと話しの種になるかも。

772 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 04:41:20
ガロア体を勉強してるんだが、べき乗表現→多項式表現がさっぱりわからない。どうやったら変換できるか教えてくれ。

773 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 08:47:11
>一般のひとも興味を持てるはなしで、知っておくと話しの種になるかも。

逆にいうとこれくらいの効用しかない。
だから、どうしてもやりたい人はやればいい。
その程度。

774 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 09:03:46
>>732
なるほど。あなたの考えだと>>732のなかで
少なくとも2),6),7),8),9),11)は不要となると思うんだけど、どう?



775 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 09:06:57
>>768の質問は無論ガロア理論の範疇で。但しガロア理論を以って何を指しているかと云う
輪郭はぼかしておきます。
アーベル性がさほど重要でないとすると、巡回性なんかもあまり重要でない?

776 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 09:10:59
>>774>>773へのレスのつもりでした。

777 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 10:58:45
代数的可解性の理論はひょっとして代数的整数論や虚数乗法論で
応用されるかもしれない(確信はないが)。
アーベルは楕円関数の虚数乗法を研究しているときにアーベル方程式の
可解性に気付いた(らしい)。

しかし、これ等は高度な専門分野なんで、必要ならそのときに勉強すればいい。

778 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 11:13:36
個人的にはガロア理論における群の諸性質は
微分方程式論における「〜型」と同じようなものだと思ってる。

変数分離、同次、完全など、重要じゃないといえば嘘になるが、
それが理論にとって重要かというと枝葉末節に過ぎない気がする。

779 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 12:07:59
>>774

ガロア体の例として、有限体とか円分体は重要。
3次、4次多項式のガロア群も例としてやっておいたほうがいい。
これ等は代数的可解性の理論と関係はあるが、別にそのためだけに
あるわけではない。

780 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 12:37:58
>>1がガロア理論を勉強するのは人に偉そうにしたいだけなんじゃないだろうか?

大学の教授でも(天才数学者が必至に考えてあみ出した)理論や定理をさも自分が考え出したかのように偉そうに話す人がたまにいるがどうも気に食わない。




781 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 12:44:05
>>780
命題の叙述に敬語は必要ない

782 :Help!:2006/11/28(火) 12:55:58
Galois理論の例題の解答で理解できない所があったので何方か解説戴けませんか?
他の掲示板でも聞いてみたが、分かりません・・・

----------------- snip, snip, snip -------------------

ζ=Exp(2πi/p)、pは奇素数、に対しE=Q[ζ]とするとG=Gal(E/Q)~=U(Z/pZ)である。
H<Gを指数2の(正規)部分群とし α=Σ(i∈H)ζ^i、β=Σ(j∈G-H)ζ^j とする。
このとき、
a) αおよびβはHの作用で固定される
b) σ∈G−Hとするとσα=β、σβ=α
従ってαおよびβは多項式 X^2 + X +αβ ∈ Q[X]の零点である。
αβの値を計算しHが固定する部分体が
  Q[√p]   p=1 Mod 4
  Q[√-p]  p=3 Mod 4
である事を示せ。

解答
Σζ^i = 0であるから α+β=-1である。
i∈H なら iH=H, i(G-H)=G-H なので αおよびβはHの作用で固定される
j∈G-H なら jH=G-H、j(G-H)=H なので jα=β、jβ=α 
従ってαβ∈Q となりαおよびβは多項式 X^2 + X +αβ ∈Q[X]の零点である。
i∈H、 j∈G-H に対し αβ= Σ(i、j)ζ^(i+j) に注意する。
此処で、i+j =0 となる場合を考える。i+j =0 より -1=i^(-1)j でこれは平方数でない。
逆に-1が平方数でないならばi=1,j=-1として i+j=0。従ってこの時かつそのときに限り p ≡ - 1 (mod 4)
(以下略)
----------------- snip, snip, snip -------------------
で、「i+j =0 より -1=i^(-1)j でこれは平方数でない。逆に-1が平方数でないならばi=1,j=-1として i+j=0。」
というのは何故なのでしょうか? 宜しくお願いします。

783 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 12:58:31
>>781

もちろんそうだけど…
前授業で自然数の定義のところでかなりむかつくのがあったからさ。
あれはフォン・ノイマンが好きな人は誰でもむかつくぜ。

敬語じゃなくても別にいいけどさ。。。

784 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 13:00:57
>>780
wakarikitta koto wo kakunoha yameyou

785 :732:2006/11/28(火) 13:56:20
7)TraceとNorm でカバーすべき内容
Def Trace、Norm (当然)
Th 体Kの異なる自己同型全体はK上一時独立である。
Th L/Kを正規拡大、Gal(L/K)~=Z/nZ=<σ>とする。このとき 
  a∈Lに対しTr(a)=0  ⇔ 或るb∈Lに対し a = b - σ(b)。
Th Hilbertの定理90
  L/Kを正規拡大、Gal(L/K)~=Z/nZ=<σ>とする。このとき 
  a∈Lに対しNorm(a)=1  ⇔ 或る(0でない)b∈Lに対し a = b/σ(b)。

8)有限体     でカバーすべき内容
Th 体Kに対し|K|=p^n  ⇔ KはZ/pZ上の x^p^n - 1 の分解体。
Th 任意のpの冪p^nに対しp^n個の元を持つ体が同型を除いて一意に存在する。
Th L/Kを有限体の拡大とする。そのときL/Kは正規拡大でGal(L/K)は巡回群である。

9)円分体     でカバーすべき内容
Th Kを体とする。x^n = 1のKにおける根は巡回群でその位数はnを割切る。
Def 円分多項式  円分体  円分拡大  (当然)
Th 円分多項式Φ_nはQ上規約である。
Th Q上Φ_nで定義される円分拡大のGalois群はU(Z/nZ)と同型である。
おまけ Q上のΦ_nに現れる係数は0、1、-1だけと勘違いしない事。一般にnが相異なる3個以上の奇素数の積であるとき絶対値が2以上の係数が現れる。因みにそのようなnの最小値は105で、係数に-2が出て来る。

786 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 14:43:50
>>777-779
あなたの考えだと、ガロア理論の学習に於いては、取り敢えず部分群と部分体とを
対応付けるガロアの基本定理が最終的な目標と言うことかな?
3,4次の多項式のガロア群を計算させるのは何の為?



787 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 14:48:35
あと、
ガロア体の例として、有限体とか円分体は重要。
の「ガロア体の例として」ってどういう意味?

788 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 14:52:46
別に有限体の拡大や円分体がガロア拡大になることを聞いているのではないので。

789 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 15:30:56
>>786

別にやらなくてもいい。
ガロア群の計算の例としての意味があるだけ。
方程式の代数的解法の例としてではない。

方程式が代数的に解けるか否かという問題は現代数学においては
それほど重要ではない。

790 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 15:37:11
>>787

有限体や円分体はそれ等自身重要だから、ガロア理論の応用として
それ等を学ぶのは有効。

791 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 16:52:56
>>789-790
多分あなたの頭の中では、群の可解性=代数方程式の可解性という等式が
出来上がっていて、その他の可能性を考えることが出来ていないんだな。
可解性と言うのはある意味アーベル性の延長にあるものだから、可換である
と言う条件を外して、非可換なものを考えるとき、まず可解であるという条件の
もとで考えたりする。(例えばラングランズ-タンネルによる、ガロア群が可解
であるときのラングランズ対応)
というと、そんな専門的なことはそのときにやればよいと言うんだろうね。
でも、部分群の拡大列から階段を上るようにして体の構造を知るという極めて
ガロア理論的な発想を捨てて、部分群と部分体が対応することのみ分かれば
よいというのなら、何の為のガロア理論なんだろうね?多分、圏論的なガロア
理論やらガロア群=コホモロジーと言う事実やらが頭の中にあったからなん
だろうけど、それならあなたは、ガロア理論なんて学習する必要ない、高度に
専門的な分野でガロアの名を目にしたときにやればよい、と主張すべきだね。
有限体や円分体は別にガロア理論がなくても語れるわけだし、
体論の一環としてやればい。

792 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 16:55:19
「よ」が抜けた。最後でなんかずっこけた感じw

793 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 19:31:40
この流れ、別のガロアスレで過去にあったような・・・

794 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 19:44:16
やつか

795 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 20:04:12
>>791
>多分あなたの頭の中では、群の可解性=代数方程式の可解性という等式が
>出来上がっていて、その他の可能性を考えることが出来ていないんだな。

どこからこれが出てくるんだろ。
私はそんなこと思ってもいないですよ。
ちょっと似た状況としては、全然惚れてもいない女にあなた私のこと
好きなんでしょと言われたときみたいだなw

群の可解性というのは、その群がアーベル群を積み重ねて出来ている
というだけのこと。群というのは何もガロア群として現れるとは
限らないからそれが代数方程式の可解性と結びつくとは限らないのは
自明の理。

要するに、あなたの批判はまったくの的はずれ。

796 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 21:11:48
類体を味わうにはガロアの方程式論は必要だよ。

797 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 21:21:06
>>796

詳しくお願いします

798 :782:2006/11/28(火) 21:24:32
解決しました、というか他人に教えてもらいました。
ζの方に目が行っていたので全然気が付かなかっが、
純粋に群論的な話でありました。

799 :132人目の素数さん:2006/11/28(火) 23:40:33
>>795
煽り口調に反応して要点と違うところに噛み付かれてもねえ。
要点でない前半部分の解釈もこちらの意図していることとは違うねえ。
『ガロア群』が可解であることを代数方程式の可解性との絡みでしか
考えられてないんじゃないの?ってことなんだけど。


800 :ガロア理論勉強終えました ◆Cs3QPD0dJQ :2006/11/29(水) 02:29:43
>>773
> だから、どうしてもやりたい人はやればいい。
時間は限りなくあるわけではないので、あなたの言われることももっともだと
思うのですが、数学を好きならば、こういう話題を飛ばすというのは疑問に感じます。

>>780
>1がガロア理論を勉強するのは人に偉そうにしたいだけなんじゃないだろうか?
哲豚とか言われていますが、哲学も数学を考えるのに役立つ面を勉強したいと
おもっているわけです。やっぱり数学が好きだからガロア理論を勉強しようと
したのです。
えらそうにしたいだけでは、数学の大変さには耐えられないのではないですか。

801 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 02:43:13
>数学を好きならば、こういう話題を飛ばすというのは疑問に感じます。
何で?意味不明。
数学が好きかどうかとどうして関係あるの?

長い間の未解決問題でマニアックな知識を使って証明された
「数学の本流」から外れるものなんていくらでもあるが。円積問題とか。
Lindemannの定理の証明なんて知ってる数学科生のほうが少ないだろう。

>数学の大変さには耐えられないのではないですか。
偉そうにしたいかどうかはともかくとして、
そこまで大変な勉強をしてるわけじゃないだろ。
人生の大部分をつぎ込んだのか?

802 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 02:53:26
>>801
要するにはやっている数学をしたいだけなんだろ。
で、それが格好いいと思っていると。

803 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 03:26:34
>数学を好きならば、こういう話題を飛ばすというのは疑問に感じます。
それをいうなら、直交関数も知らないのに実関数論に手を出すのなんて
ファッション以外のなんでもないと思うが。

804 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 04:47:56
本流

805 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 07:02:14
>>799
>>『ガロア群』が可解であることを代数方程式の可解性との絡みでしか
>>考えられてないんじゃないの?ってことなんだけど。

代数方程式の可解性の条件についての勉強がさしあったって不要だと
言ってるだけ。

ガロア理論の勉強において、<<代数方程式の可解性の問題とは別に>>
『ガロア群』が可解、例えばアーベル群の場合を扱う必要がない
とか言ってるわけじゃない。

全然惚れてもいない女にあなた私のこと
好きなんでしょとしつこく迫られたときみたいに、疲れるなw

806 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 07:29:07
なら去ればいい

807 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 07:49:13
>>805
別に好きでもないのに愛想して話していたら、
「こいつ俺のこと好きなんじゃないのか?」
って勝手に思い込む男を相手しているみたいで
キモイw

808 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 07:49:40
>>806

去りたきゃ勝手に去るんで、心配なく

809 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 08:14:16
>>805
はて?微妙にスタンスが変わってきているような気がするけど、
そういう考えならこちらしては異論はないです。
>>765のレスの意図するところもわかっていただけたでしょう。

810 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 08:58:35
>>809
>はて?微妙にスタンスが変わってきているような気がするけど

初めから同じこと言ってる。
あんたが勝手に勘違いしてるだけ。

811 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 09:15:16
>>810
そうなの?それは失礼。なら>>732さんが取り上げている、ガロア理論で
カバーすべき内容の中に、「可解ガロア群」という項目を入れることには
同意なわけだね?

812 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 09:16:02
枝葉末節

813 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 09:18:04
>732の中には「分解体」という項目があるねー。
これは入れるべきなんだろうか、それとも外した方がよいのだろうか?

814 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 09:20:13
>>812
ガロア理論の教科書のエンディングはガロアの基本定理?

815 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 12:29:37
>>811
>ガロア理論でカバーすべき内容の中に、「可解ガロア群」という項目を
>入れることには同意なわけだね?

内容による。
その項目で何をやるの?

816 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 12:48:23
>>814
いや、ガロアの遺書w

817 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 13:29:51
どうしてもやりたいわけねw
だから何度も言ってるだろ、どうしてもやりたい人はやればいいって。
そういう俺もやったけどw

やらなくても一向に問題はない。
ただし、ガロアの基本定理は代数方面やるなら必須。

818 :732:2006/11/29(水) 14:58:34
10)単純拡大と原始元定理 でカバーすべき内容
Th M/Kを有限次拡大とする。このとき M/Kが単純拡大 ⇔ 中間体の個数が有限。
Th (原始元定理) 有限次分離拡大は単純拡大である。

11)3次多項式と4次多項式(Galois群の計算)   でカバーすべき内容
Def Conductor Δ、 判別式 D=Δ^2
Th KをChar(K)¬=2の体とする。Mをf∈K[X}の分解体とし、fがMで重根を持たないとする。
Gal(M/K)におけるGaloisコネクションに於いてK(Δ)は偶パリティの部分群に対応する。
特にGal(M/K)<A_n ⇔ Δ∈K。
系 K上分離既約な3次多項式のGalois群はS_3またはA_3である。
特にChar(K)¬=2のとき、 Galois群がA_3 ⇔ 判別式 Dが平方数。
Def 4次多項式のResolvent Cubic
系 fをK上分離既約な4次多項式とし、MをfのK上の分解体とする。mを「fのKにおけるResolvent Cubicの次数」とし、LをK上Resolvent Cubicの分解体とする。
このとき、
m=6  Gal(M/K)~=S_4
m=3  Gal(M/K)~=A_3
m=1  Gal(M/K)~=Klein's 4 Group
m=2  Gal(M/K)~=D_4(2面体群) (Lでfが既約のとき)、 Gal(M/K)~=Z/4Z (そうでないとき)

819 :732:2006/11/29(水) 16:34:06
>818
m=3  Gal(M/K)~=A_3 は間違い、Gal(M/K)~=A_4 が正しい

820 :732:2006/11/29(水) 17:02:56
12)分離性 でカバーすべき内容
Def u∈Kの純粋非分離性 (Kを標数pの体とする)
Def L/Kの純粋非分離性
Th uが純粋非分離かつ分離 ⇒ u∈K
Th uがK上代数的 ⇒ u^p^nがK上分離的となるnが存在する。
Th N/Kを有限次拡大とするとき
A) L/Kが分離的であるような最大の部分体Lが存在する、
B) M/Kが純粋非分離であるような最大の部分体Mが存在する、
C) L∩M=K、
D) N/Lは純粋非分離、
E) N/Mが分離的 ⇔ L∪M=N、
F) NがK上分解体である ⇒ L∪M=N、このときN/MおよびL/Kは正規拡大でGal(N/M)~=Gal(L/K)。
Th K⊂L⊂Mを有限次分離拡大の塔とするとき、M/Kも分離的。
Def 完全体 (標数pの体)
Th Kが完全体 ⇔ Kの有限次拡大が常に分離的

13)標数p>0の体の議論  は止めて別の話題、例えば巡回拡大とかKummer拡大
にした方が良いかもしれないので敢えて空白のままとする。

821 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 17:50:46
ノルムとトレースは少なくとも2通りの表面上まったく異なる定義がある。
これの同値性。

主多項式とノルムとトレースの関係も重要。

主多項式は N(X - θ) でも定義できる。

分離拡大となるためにはトレースが非退化が必要十分(これ重要)。

分離拡大の微分による特徴付けも知っておいたほうがいい。

分離拡大に関連して Dedekind-Artin の定理(>>431)。

822 :732:2006/11/29(水) 20:43:38
>821
> ノルムとトレースは少なくとも2通りの表面上まったく異なる定義がある。これの同値性。
よく判らないが、分離拡大L/Kに対するTraceとNormは
A)通常M⊃LとなるGalois拡大M/Kを取ってα∈L,σ_i∈Hom(L,M)に対し
  Tr_L/K(α)=Σσ_i(α)
  N_L/K(α)=Πσ_i(α)
とすると思う。
B)もう一つの定義は、ひょっとしてLをK-algebraと看做して基底を取って、その基底でLを表現してそのTraceとNormを、と言うやつ?

>主多項式とノルムとトレースの関係も重要。
Traceが n-1次の係数、Normが定数項 というやつ?

>主多項式は N(X - θ) でも定義できる。
よく分かりまへん。

>分離拡大となるためにはトレースが非退化が必要十分(これ重要)。
L/Kが有限次分離拡大のとき、T(α,β)=Tr_L/K(αβ)が非退化2次形式、を言えばいいのかな?

>分離拡大の微分による特徴付け
既約因子が重根を持つ/持たない、の話かな?
 
>分離拡大に関連して Dedekind-Artin の定理
7) >785で一応触れた心算。

823 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 21:13:42
>B)もう一つの定義は、ひょっとしてLをK-algebraと看做して基底を
>取って、その基底でLを表現してそのTraceとNormを、と言うやつ?

そう。

>Traceが n-1次の係数、Normが定数項 というやつ?

そう。

>>主多項式は N(X - θ) でも定義できる。
>よく分かりまへん。

θ は有限次拡大体 L/K の元。
X を不定元として L[X] は K[X] 上の代数かつ有限生成自由加群となる。
よって、L[X] の元 h(X) のノルム N(h(X)) が定義される。
つまり h(X) による乗法で L[X] の K[X] 上の線形自己準同型が
得られるが、その行列式が N(h(X))。
h(X) として X - θ としたとき N(X - θ) は θ の主多項式と
一致する。

>L/Kが有限次分離拡大のとき、T(α,β)=Tr_L/K(αβ)が
非退化2次形式、を言えばいいのかな?

そう。それとその逆。

>分離拡大の微分による特徴付け
>既約因子が重根を持つ/持たない、の話かな?

微分加群 Ω(L/K) による特徴付け。
Ω(L/K) = 0 がそれ。

824 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 21:37:20
あと正規底については既出かな?

825 :732:2006/11/29(水) 21:41:25
>824
> あと正規底については既出かな?
いや、未だでやんす。
これもAlgebraの観点から書いた方が良いのだろうけど、
そうすると初等Galois理論でなくなるような気が…

826 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 21:48:38
>>825
>そうすると初等Galois理論でなくなるような気が…

皆さんの大好きな代数方程式論における Lagrange の分解式が
それともろ関係するんだけど。

827 :732:2006/11/29(水) 22:33:16
正規底については 取敢えず、13)と14)を書いてから何処にはめこむか考えることに。

828 :132人目の素数さん:2006/11/29(水) 23:19:30
ありゃ、えらくスレが進んだな。まあいいや。


829 ::2006/11/30(木) 02:59:40
>>801
> 数学が好きかどうかとどうして関係あるの?
文系的発想だったかも知れないです。歴史的な大きな話題はほうって置けないのが、
文系なんです。

> そこまで大変な勉強をしてるわけじゃないだろ。
時間的にはたいしたことなくても、プールで潜水して息をしないで泳ぐような
くるしさがあります。その分あとで楽しいですけどね。(なんじゃこりゃ)

>>803
> それをいうなら、直交関数も知らないのに実関数論に手を出すのなんて
なんのことでしょう?

830 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 05:02:00
文系・理系いってるバカはここかw

831 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 07:53:27
ただのミーハーか

832 :732:2006/11/30(木) 13:46:00
>823
>> 分離拡大の微分による特徴付け
> 微分加群 Ω(L/K) による特徴付け。
> Ω(L/K) = 0 がそれ。
よく判らないがこれは Cyclic Homology の話?
だとしたら「初等」Galois理論ではないような…

833 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 14:40:59
L/Kの微分が 0 になるってだけなんだけど。

L/K を有限次分離拡大とする。
D を L/K の微分とする。
すなわち L の K-線形自己準同型 D で
ライプニッツ則 D(xy) = yD(x) + x(Dy) を満たすもの。

L = K(θ) として f(X) をθの最小多項式とすると、

f(θ) = 0 だから D(f(θ)) = f'(θ)D(θ) = 0
f'(θ) ≠ 0 だから D(θ) = 0
よって D = 0

この逆も言える。

ただ微分の理論は超越拡大で主に活躍するんで、それまでは
知らなくてもいいかもしれない、っていうかもう半分知っただろw

834 :732:2006/11/30(木) 16:06:42
>D を L/K の微分とする。
>すなわち L の K-線形自己準同型 D でライプニッツ則 D(xy) = yD(x) + x(Dy) を満たすもの。
超越拡大のコンテクストでしか知らないので気付きまへんでした。

>D(f(θ)) = f' (θ)D(θ) = 0 f' (θ) ≠ 0 だから D(θ) = 0
如何でもいいけど「f'」と 「(」の間が空いてないと読難いので…

835 :732:2006/11/30(木) 16:08:14
「f'」と 「(」の間  ⇒ 「f」と「'」の間

836 :132人目の素数さん:2006/11/30(木) 17:22:38
f '(θ)
こうか?

837 :732:2006/11/30(木) 22:01:37
>836
> f '(θ)
> こうか?
Yes, sir!

838 :732:2006/12/01(金) 11:57:05
14)代数閉包の存在  (今回から定義の内容を書く)
Th 体Lにおいて以下はすべて同値:
A) Lの代数拡大はL以外には存在しない、
B) L[X]の既約多項式は1次、
C) L[X]の定数でない多項式は1次多項式の積として表される、
D) L[X]の定数でない多項式はΩに根を持つ。
Def 上定理の性質を持つ体を代数的閉体という。
Def L/Kを拡大とする。LがKの代数閉包とは、LがK上代数的でかつ代数閉体であること。
Th (Steintz) 任意の体は代数閉包を持つ。
おまけ 「CがRの代数閉包である」ことが、所謂「代数学の基本定理」の内容である。

15)無限次Galois拡大
Th L/KをGalois拡大とし、L_λをK上有限次Galoisであるような中間体とする。このとき、
A) L_λはPOSetでL=∪L_λ、
B) N_λ=Gal(L/L_λ)はGal(L/K)の正規部分群で∩N_λ={1}である、
C) L_λL_μ=L_νとするとN_λ∩N_μ=N_ν、
D) Gal(L/K)は{N_λ}を基本近傍系とする位相を持つ。
Def 上の定理で定義される位相をGal(L/K)のKrull 位相という。
(20行以上書込めないようなので残りは続きへ)

839 :732:2006/12/01(金) 12:21:08
15)無限次Galois拡大  (続き)
Th {G_λ=Gal(L_λ/K)、ρ_μ,^λ:G_μ → G_λ}は有限群の射影系で、G~=←lim G_λ
従って、Gはコンパクトで完全不連結。
Th MをL/Kの中間体とすると
A) Gal(L/M)はGal(L/K)の閉部分群、
B) MはGal(L/M)で固定される、
C) M/Kが有限次 ⇔ Gal(L/M)が閉部分群。
Th Gal(L/K)の部分群Hが固定する部分体Mに対し、Gal(L/M)=Hの閉包。
Th (無限次のGalois基本定理)
L/KをGalois拡大とすると、中間体Mと閉部分群Hは H=Gal(L/M) <-> M=Hの固定体で
1対1に対応する。
このとき 
A) M/Kが正規拡大 ⇔ Hが正規部分群
B) そのときGal(M/K)はG/Hと位相群として同型。

840 :732:2006/12/02(土) 12:10:52
この後、
* 超越拡大について書くべきか、
* それともK氏(?)達から貰ったコメントについて先に書くべきか
迷っているところ。
その後、書いてきた事を纏めなおす予定。

841 :1:2006/12/03(日) 02:28:08
>>732
筆力にまかせてがんがん書くのがよしです。by ばか文系
迷わないで。by 絵美

842 :732:2006/12/03(日) 09:38:40
>841
激励、Thanks!
(とは言ってもあんまり筆力はないんだけどね。)

843 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:38:52
ど素人なんだが、ガロア理論って数論以外に何に使えるんですか?

844 :132人目の素数さん:2006/12/03(日) 21:54:57
>843
こちとらもど素人なんだが:
Galois Connexion=代数系に値を持つようなContra-Functor、はあちこちに出てくるんじゃ?
それこそ、Kさん辺りに聞いてみたい。

845 ::2006/12/03(日) 23:42:43
>>843
おなじくというかもっとど素人ですが、被覆と微分方程式へのガロア理論の応用といった
ところを勉強しています。

846 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 00:31:51
せっかく代数方程式を通してガロア理論を理解したんだから、
もっと代数方程式を深めないのはもったいない。例えば、
モジュラー方程式とそのガロア群なんてうってつけだと思うけどな。

847 :132人目の素数さん:2006/12/04(月) 21:06:30
所で、>828は何か意見が有るんじゃないの?

848 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 07:37:26
>>846
僕へのレスですか?
もっと代数方程式を深める、ですか。考えもしなかったです。
ありがとうございます。

849 :732:2006/12/05(火) 16:10:31
16)超越拡大 (例によって20行を越える部分は続きに書く)
Def L/Kが代数拡大でないとき超越拡大という。
Def x∈LがK上超越的とは{f∈K[X]|f(x)=0}が零イデアルであることを言う。
Th {x_1、・・・、x_n}∈Lについてp_{x_1、・・・、x_n}={f∈K[X_1、・・・、X_n] | f(x_1、・・・、x_n)}はK[X_1、・・・、X_n]の素イデアルである。
Def {x_μ}∈Lにおいて、その有限部分集合 {x_μ1、・・・、x_μn}に関し
A) p_{x_μ1、・・・、x_μn}=0のときK上代数独立、
B) そうでないとき代数従属、
という。
Th L/Kを体の拡大とする。{x_μ、y_ν}∈Lに対して以下は同値。
A) {x_μ、y_ν}はK上代数独立、
B) {x_μ}はK上代数独立で{y_ν}はK{x_μ}上代数独立。
Def L/Kを体の拡大、{x_μ}∈Lとする。{x_μ}がK上代数独立でL/K{x_μ}が代数的であるとき{x_μ}をL/Kの超越基底と言う。
Def L=K{x_μ}、{x_μ}はK上代数独立であるときL/Kは純超越拡大であるという。
Th Kの純超越拡大はK上の有理式体と同型である。
Th L/Kを超越拡大とする。
A) L/Kに対し超越基底が存在する、
B) L/Kのある超越基底が有限集合のとき、他の超越基底も有限集合でその元の個数は一定である。
Def 上定理のB)で決まる超越基底の元の個数をL/Kの超越次数または次元といいdim_K Lで表わす。

850 :732:2006/12/05(火) 16:25:24
16)超越拡大 (続き)
Th LをM/Kの中間体とするとき
A) dim_K M <∞ ⇔ dim_K L * dim_M L <∞、 
B) このとき dim_K M = dim_K L + dim_M L。
おまけ
Th 有理式体K(x)の自己同型はPSL_2、即ちy=(a*x+b)/(c*x+d)、a*d-b*c¬=0である。
おまけのおまけ-複素関数が好きな人向け
上の定理は、リーマン球面の自己同型がPSL_2であるという複素解析の定理と関係がある(筈)。

何とか、当初の予定(+x)を書いたので、次回から纏めなおす。その際、今までに貰ったコメントを反映させたい。
(とは言っても何時になるか…)

851 :132人目の素数さん:2006/12/05(火) 22:06:14
おっ、732のにーさんやってるね。

頑張りなよ。

852 :732:2006/12/05(火) 22:08:28
>851
激励、多謝!
ぼちぼちやります。

853 :732:2006/12/06(水) 21:13:09
全部見直すと何時になるか判らないので、出来た所から書いていく:

1)体の拡大とその応用
Th Kを体とする。 φ:Z → K を n |→ n*1で定義するとφは環射である。環の準同型定理から
Case I Kerφ=0のとき φ:Z~=φ[Z] はQ~=φ(Q)_0∈Kに拡張される、ここでφ(Q)_0はφ(Q)を0で局所化したものつまり商体、
Case II Kerφ¬=0のとき或る素数pに対しZ/pZ~=φ(Z)∈K.

Def 上定理でCase Iのとき標数 Char(K)=0という。このときKはQと同型な部分体を素体として持つ。
Def 上定理でCase IIのとき標数 Char(K)=pという。このときKはZ/pZと同型な部分体を素体として持つ。

Def L⊃Kを体の組とする。L/Kを拡大という。

Th. K/L/Mを体の塔とすると、「M:K]=[M:L]*[M:K]

Th L/Kを拡大、α∈L-Kとする。 φ:K[X] → L を f(X) |→ f(α)で定義すると
Case I Kerφ=0のとき φ:K[X] ~= K[α] はK(X)~=K(α)に拡張される、
Case II Kerφ¬=0のとき或るg∈K[X]に対しg(α)=0.

Def 上の定理のCaseIのときαはK上超越的であるという。   
Def 上の定理のCaseIIのときαはK上代数的であるという。   
(続く)

854 :732:2006/12/06(水) 21:15:18
1)体の拡大とその応用 (続き1)

Def L/Kを拡大とする。或るα∈Lに対しL=K(α)となるときL/Kは単純拡大であると言う。

Def L/Kを拡大とする。Lの元が総てK上代数的であるときL/Kを代数拡大と呼ぶ。

Th Kを体、uをKを部分体とする或る体の元でK上代数的であるとし、
   fをモニックなK[X]の多項式でf(u)=0 となる次数=nが最小のものとする。
   そのとき
   (a)fは一意、
   (b) fはK上既約、
   (c) 1、u、u^2、… 、u^(n-1)がK上のベクトル空間K(u)の基底となる、
   (d) [K(u):K]=n、
   (e) K[X]の元gに対しg(u)=0となるのはfがgを割り切るときかつそのときに限る。

Def 上の定理の多項式fをuのK上の最小多項式という。

Def L/Kが代数拡大でないとき超越拡大という。このとき、LはK上代数的でない元を少なくとも一つ有する。

855 :732:2006/12/06(水) 21:18:11
1)体の拡大とその応用 (完結)

おまけ:作図可能性
此れに関しては「不要だ」との意見が多いが、この問題が代数拡大の初歩から(否定的に)「解ける」ことを示すのは意味があると考えるので敢えて入れておく。

Th R^2の点(a, b)が作図可能である⇔ a,bが2次拡大の塔 Q<K1<・・・<Kn、の元である
 ただし  Ki=Ki-1(√ci)かつ ciは=Ki-1の正元 とする。

系 .円と等積な正方形は作図不可能。
系 .立方体倍積問題は作図不可能。
系 .一般の角の3等分は作図不可能。 

856 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 03:59:15
ファイト。732。

まとめなおしてね。

857 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 04:00:28
ファイト。732。

まとめなおしてね。

858 :732:2006/12/07(木) 20:42:23
>856,857
2度も言われるとプレッシャになるけど…
ま、ゆっくり頑張ります。

859 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 20:58:27
>>855
>立方体倍積問題は作図不可能。
立方体自身が定規とコンパスで作図出来んがなw

860 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 23:12:32
>>859
校正をするなら、もっと親切な言い方でね。おねがい。

861 :132人目の素数さん:2006/12/07(木) 23:23:09
>>855
>立方体倍積問題は作図不可能。
立方体自身が定規とコンパスでは作図出来ませんことよw

862 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 10:32:39
>859,861
「立方体倍積問題」というのは、
「与えられた立方体の倍の体積を持つ立方体の辺の長さを、元の立方体の辺から定規とコンパスで作図せよ」
というもので
「立方体そのものを作図せよ」
と言う意味ではござんせん。

863 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 11:46:51
あれさ、定規とコンパスでという制限が
いつついたのかよく分かってないんだよな。

864 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 12:43:36
>>862
空間で定規を使うのは禁止

865 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 13:45:29
分かってもいないことに口出しするのはいけませんことよ。

866 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 16:31:24
>864
問題となってるのは、辺の長さの比なので平面上で事足りるんだが?

867 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 17:59:55
馬鹿を相手にすることはいけませんのことよ。

868 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 19:50:07
正十二面体を作図してみろ

869 :132人目の素数さん:2006/12/08(金) 19:51:17
正二十面体でも良い

870 :732:2006/12/08(金) 21:10:49
2)分解体と重根 (その1)

まず体の拡大に関する写像について書く。このArtin流の扱いはReidによると「時代遅れ」だそうであるが一応書いておく。

Def L1/K, L2/Kを体の拡大とする。 体準同型(は常に単射であることに注意)φ:L1→L2はφ|_K=Id_KであるときK-準同型であると言う。

Th K(α)をKの単純拡大、L/Kを拡大とする。そのとき φにφ(α)を対応させる事により
 A) αがK上超越的なら {K-準同型 φ:K(α) → L} に対し {K上超越的なLの元}が1:1に対応する。
 B) αがK上代数的でfがその最小多項式のとき {K-準同型 φ:K[α] → L} に対し {fの根∈L}が1:1に対応する。
   特に、そのような対応の数は「Lにおけるfの異なる根の個数」に等しい。

上の定理は次の形に読み替えた方が便利とされている。
Th K(α)をKの単純拡大、φ_0:K(α) → LをK-準同型とする。そのときφにφ(α)を対応させる事により
 A) αがK上超越的なら {[K−準同型 φ_0:K(α) → L] の拡大φ} に対し {φ_0(K)上超越的なLの元}が1:1に対応する。
 B) αがK上代数的でfがその最小多項式のとき {[K−準同型 φ_0:K(α) → L] の拡大φ} に対し {φ_0(f)の根∈L}が1:1に対応する。
   特に、そのような対応の数は「Lにおけるφ_0(K)の異なる値の個数」に等しい。

871 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 00:43:15
正十二面体も正二十面体もユークリッド「原論」の最終巻で作図の
方法が明らかにされているよ。正多面体のような華が>>732の覚え書きの
中にもあればいいのにね。

872 :132人目の素数さん:2006/12/09(土) 16:10:43
>871
>正多面体のような華

Galoisの基本定理(特に無限次の場合)は華だと思うけどな。

873 :732:2006/12/10(日) 21:30:09
2)分解体と重根 (その2)

次に分解体に関し記す。ここも、「時代遅れ」な拡大に関する写像による記述となる。

Def L/Kを拡大とする。f∈K[X]がL[X]で1次式の積に分解するとき、Lはfを分解するという。

Def L/Kを拡大とする。Lがfを分解しかつLがK上f∈K[X]の根で生成されるとき、Lをfの分解体という。

Th. 任意のf∈K[X]に対しその分解体であるL/Kが存在し、[M:K] <= (deg f)!である。

Th f∈K[X]とし L/Kがfの根で生成されているとする。またM/Kをfの分解体とする。このとき
A) K-準同型: L→Mが(少なくとも1個)存在する、
B) (K-準同型: L→Mの個数) <= [L:K]、等号は f がMにおいて deg(f)個の異なる根を持つとき、
C) LとMがfの分解体のときK-準同型: L→Mは同型、特にfの任意の分解体は互いに同型である。

系 M/K, L/Kを体の拡大としL/Kは有限次とする。このとき
A) K-準同型: L→Mの個数は高々[L:K]、
B) 有限次拡大N/MとK-準同型: L→Mが存在する。

(暫く書かないと直ぐ行方不明になってしまうんだね、この掲示板)

874 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 12:58:29
>>873
専用ブラウザを使うか、お気に入りに登録しておけばおk。

875 :732:2006/12/11(月) 14:04:23
>874
> 専用ブラウザ
何処を見れば良いのか詳しく教えてくだされ。

876 :健忘 ◆FoldXequ.6 :2006/12/11(月) 14:20:26
>>875
とりあえずここらへんを見て
http://browser2ch.web.fc2.com/
http://www.monazilla.org/

といっても沢山ありすぎて
よく分からないと思うので
とりあえずjane style
http://janestyle.s11.xrea.com/
のあたりからどうぞだお

機能に不満が出てきたら
いろんなのを試していけばいいお(´・ω・`)

877 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 19:49:24
gikonabiお勧め

878 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 20:10:28
工エエェェ(´д`)ェェエエ工

879 :732:2006/12/11(月) 20:25:44
>876
Thanx!

880 :732:2006/12/11(月) 21:54:35
2)分解体と重根 (その3:完結)

次に分離性を議論する用意として、重根に関する考察を記述する。 

Th f、g∈K[X]とし、M⊃Kを体とする。r=gcd(f、g)はK[X]で考えてもM[X}で考えても同一である。
  特に、K[X]で既約な多項式2個はKの拡大体で考えても、共通因子を持たない。

Def f∈K[X}とし、f(X)=Π(X - α_i)^m_i をfの(Kの拡大体Mにおける)一次式への分解とする。
   α_iはm_i >1のときfの重根であるという。そうでないとき単根であるという。

Th 定数でないf∈K[X}に対し以下は同値:
 A) fは重根を持つ、
 B) gcd(f、f’)¬=1、
 C) Char(K) = p>0 でf はX^p の多項式、
 D) fの根は総て重根。

Def f∈K[X}は如何なる既約因子も重根をもたないときK上分離的であるという。

Def 体Kは、任意のf∈K[X]が分離的であるとき完全体であるという。

Th 標数0の体は完全体である。
   Char(K) = p>0 の体は元がすべてp乗であるときかつそのときに限り完全体である。 

881 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 22:38:41
>>732
> 次に分解体に関し記す。ここも、「時代遅れ」な拡大に関する写像による記述となる。
知らなんだ。こういうミニ知識(失礼)は役にたつ。

882 :132人目の素数さん:2006/12/11(月) 23:04:56
カギカッコ付きだから、ちょっと留保付だけどね。

M.Reidが「時代遅れ」と言っていたのは例えばどういう文献なのか、教えて欲しいな。

883 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 10:03:02
もう二週間以上経ってるが。

884 :732:2006/12/12(火) 10:37:39
>882
>M.Reidが「時代遅れ」と言っていた文献
下のリンクを辿って欲しい。
h ttp://www.maths.warwick.ac.uk/~miles/ →
Undergraduate and Master's teaching at Warwick →
MA3D5 Galois theory →
(5) Lecture notes (pdf file, 86 pp.)

因みに「時代遅れ」という表現はP13の真ん中あたりにある。
具体的な本の名前はないが、ArtinのGalois Theory辺りを指しているようだ。
要は、「もっと計算を重視する事」と、「他の分野(トポロジー、数論、代数幾何、表現論、微分方程式等)
との関連を重視しろ」と主張している。

885 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 10:52:39
>883
> もう二週間以上経ってるが。
「独学]ガロア理論2週間[文系」は一応終了した、と言ってるよ。

886 :732:2006/12/12(火) 23:42:19
>881
>知らなんだ。こういうミニ知識(失礼)は役にたつ。
この際だから、出来るだけ普通のテキストに書いてないことを書くよう心がけたい。
(とは言っても言うは易いけど…)


887 :132人目の素数さん:2006/12/12(火) 23:45:06
>>884
おお、どうもありがとう。

888 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 00:52:29
>>882
ありがとん。
>>884
サンクス。

889 :1:2006/12/13(水) 01:34:55
>>883
> もう二週間以上経ってるが。
2週間だけでガロア理論を学んだと誤解をされても困るので、ちょっと注釈です。
と、おもったけど、スレ中にそれとなく書き込んであるので気になるひとは
読んでちょんまげ。

890 :1:2006/12/13(水) 01:36:16
>>885
代理で答えてくれて、ありがとう。

891 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 01:58:13
やっぱ最初に目標を立てないとしょうがないよね

892 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 15:48:33
5次以上の代数方程式は可解でないことを証明せよ。

893 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 15:55:56
可能だと思うよ。

894 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 15:59:46
可解だと思うよ。

895 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 17:07:14
5次方程式は代数的に解を求めるのは不可能。

896 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 17:10:43
半可通w

897 :732:2006/12/13(水) 22:07:56
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その1)
本節では、有限次拡大のみを扱うので拡大というときは有限次拡大を指す。

Def L/Kを体の拡大とする。K準同型φ:L→Lが同型であるときφをLのK−自己同型であると言う。

Th f∈K[X}をMonicで分離的な多項式とし、LをfのK上の分解体とする。
   このとき|Aut(L/K)| = [L:K]である。

Def Lを体、G=Aut(L)とする。 
L^G = Inv_G(L) = {α∈L| σ(α)=α、∀σ∈G}をLのG-不変体またはGによる固定部分体という。

Th 上の定義中のLのGによる固定部分体は実際に体である。

Th アルティンの補題
Lを体、G=Aut(L)は有限群とし、K=Inv_G(L)とすると、[L:K] ≦ (G:1).

系 体Kの自己同型群が有限群のとき、Aut(K)=Aut(K/Inv_Aut(K)(K))。

Def 体の拡大L/KはLの任意の元の最小多項式が分離的であるとき分離的という。
   そうでないとき拡大は非分離的という。

898 :732:2006/12/13(水) 22:12:16
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その2)

Def 体の拡大L/KはLの任意の元の最小多項式がL[X]で分解するとき正規であるという。

Th 拡大L/Kが正規かつ分離的 ⇔ 任意のα∈Lの最小多項式は[K[α]:K]個の相異なる根を持つ。

Def L/Kを体の有限次拡大とする。
  L/Kは、KがAut(L/K)によるLの固定部分体となるときGalois拡大であるという。
  このとき、Gal(L/K)=Aut(L/K)を拡大L/KのGalois群という。

Th. L/Kを拡大とするとき、以下は同値。
 A) Lは、分離的であるようなf∈K[X]の分解体、
 B) KはLの自己同型である有限群Gによる固定部分体、
 C) L/Kは有限次で正規かつ分離的、
 D) L/KはGalois拡大。

系 任意の有限次分離拡大L/Kは有限次Galois拡大に含まれる。

系 M⊃L⊃Kを拡大の塔とする。M/KがGalois拡大ならM/LもGalois拡大である。

899 :132人目の素数さん:2006/12/13(水) 22:24:45
>892-896
後で出て来る(というか、>1が前に示した?)ように
5次以上の多項式のGalois群は「一般には」S_n(多項式の次数次の対称群)となるので
5次以上の代数方程式は、「一般には」係数の冪根に四則演算を施しただけでは解けない。
(S_n(n>4)は可解群でない-その正規部分群A_nは単純群である-事から従う)
勿論、5次以上の多項式でも解けるものもある:例えばx^5-1とか…

900 :132人目の素数さん:2006/12/14(木) 02:13:41
>>892
> 5次以上の代数方程式は可解でないことを証明せよ。
899にあるように、文字係数の代数方程式は一般代数方程式とか一般にはといわないと、
正確ではありません。小言幸兵衛かもしれませんが。

901 :132人目の素数さん:2006/12/14(木) 09:50:04
>>895
反例  x^5−1=0

902 :132人目の素数さん:2006/12/14(木) 18:21:35
>>901
>>895  反例  x^5−1=0 は>>899に掲載済み。
別の反例 x^5=0

903 :132人目の素数さん:2006/12/14(木) 18:33:42
自明の投げ合いかよ(w

904 :132人目の素数さん:2006/12/14(木) 21:22:47
>>902
お前頭いいな

905 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 01:18:07
>>904
お前の頭が悪いだけw

906 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 12:03:36
既約な多項式でなるべく簡単な例を挙げてみよ

907 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 13:07:49
X^5+1=0

908 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 13:12:32
>>907
x^5 +1 = (x+1)(x^4 -x^3 +x^2 -x+1)

909 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 13:30:28
>>906
多項式も簡単、証明も簡単の意。


910 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 13:59:29
>>906
x

911 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 15:36:07
>>910
五次だよ五次

912 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 15:41:58
誤字脱腸

913 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 17:27:32
x^5+x^4+x+1

914 :732:2006/12/15(金) 21:58:23
>880 2)分解体と重根 (その3:完結)
と書いたが、後の論理展開の都合上、代数閉包の存在を此処に追加したい:
 
代数閉包の存在 
Th 体Lにおいて以下はすべて同値:
 A) Lの代数拡大はL以外には存在しない、
 B) L[X]の既約多項式は1次、
 C) L[X]の定数でない多項式は1次多項式の積として表される、
 D) L[X]の定数でない多項式はΩに根を持つ。

Def 上定理の性質を持つ体を代数的閉体という。

Def L/Kを拡大とする。LがKの代数閉包とは、LがK上代数的でかつ代数閉体であること。

Th (Steinitz) 任意の体は代数閉包を持つ。

おまけ 「CがRの代数閉包である」ことが、所謂「代数学の基本定理」の内容である。

915 :732:2006/12/15(金) 22:08:46
本論には全く関係ないが、BIGLOBEユーザ中で2チャンネルに荒し行為を働いたのが居た。
そのあおりを食らって小生を含めかなりのユーザが、此処2-3日アクセス禁止の羽目に陥った。
関係ないのにひどいよ、全く。

916 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 22:31:22
よくあること。

917 :132人目の素数さん:2006/12/15(金) 22:59:51
Steinitzの定理、ガロア理論を勉強はじめるとすぐに出てくるのに、鬼のように
むずい。なんとかならないのか。しかも一意性定理ではツォルンの補題をつかう。
これも初心者にはつらい。

918 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 02:09:33
>>917
>なんとかならないのか。

>>554 が参考になる。

919 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 11:51:17
>917
気持ちは分かるけどね。
一意性だけではなくて、どうしても、存在を言うのにも
「代数拡大全体の族」とか(本質的に同じ事だが)「無限変数の多項式環」を
考えなければならない。そうすると、集合論的なヤバサを回避するためには
Kuratowskiの極大原理(Z's Lの正式名称)に頼らざるを得ないんだよ。

ただ、Kuratowskiの極大原理は「証明に使いやすい」形ではあっても
「直感的に分かりやすい」形でないのも事実。

>918 の言う考え方の延長線上に、Kaplansky や Jacobson流の方法がある。
つまり、可算の場合を先に済ましたり、濃度を綿密に調べて
あまり「大きく」ならない事を確認したりするわけ。

920 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 12:33:04
無限論的なことは本気でやれば難しくて面白いんだろうけど
普通の数学で使う素朴な集合論はそんなに難しくない気がする
選択公理だろうがツォルンだろうが、全部認めてしまえばよし

921 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 12:44:42
>>920
ツオルン習っても使いこなせない椰子がいっぱいいるのだが

922 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 15:09:37
というか、どっかフリーの場所にでもwiki立ててやったら。


923 :732:2006/12/16(土) 17:01:54
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その3)

Def L/KをGalois拡大とする。Gal(L/K)が巡回群、アーベル群,可解群であるのに従って
   L/Kを巡回拡大、アーベル拡大,可解拡大と呼ぶ。

分離性
非分離性はChar = p >0 のときに現れる現象であるから、もしChar=0の場合だけ興味があるなら此処は飛ばしてGaloisの基本定理に進んで良い。
以下基本的なことのみ記すので、興味がある向きは例えば“Basic Algebra” N. Jacobsonを見て欲しい。 

Th Kを標数pの体とするとき、対応 a |→ a^p はKの単射準同型である。
   KがZ/pZ の拡大体のときこの対応はKの自己同型である。

Th Kを標数pの体、f、g∈K[X]がg(X)=f(X^p^e) を満足するものとする。
fの根全体を重複も入れてθ_1、・・・、θ_nとするとgの根は(θ_1)^(1/p^e)、・・・、(θ_n)^(1/p^e)である。

Def f∈K[X}は如何なる既約因子も重根をもたないときK上分離的であるという。(此処まで再掲)
   或る既約因子が重根をもつときK上非分離的であるという。

924 :732:2006/12/16(土) 17:04:26
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その4)

分離性の続き

Th Char K=0のとき 任意のf(X)∈K[X]は分離的である。
   Char K = p >0のとき 任意の既約なf(X)∈K[X]に対し、整数e≧0と分離的既約多項式f_sが存在し f(X)=f_s(X^p^e)となる。

Def 2次以上の既約多項式で根が総て重複するものを純粋非分離多項式という。

Th 純粋非分離多項式は X^p^e – a 、e>0 の形に限る。

Def uがK上代数的とし、fをuの最小多項式とする。 
fが 分離的、非分離的、純粋非分離的であるのに対応して uが 分離的、非分離的、純粋非分離的であるという。

Th 有限次拡大L/Kが分離的 ⇔ K-AlgebraとしてのLの微分作用素Dは0のみ。

Def L/Kは、Lの元が総てK上分離的なとき分離的拡大、非分離的な元が存在するとき非分離的拡大、L-Kの元が総て非分離的であるとき純粋非分離的拡大という。

Th uがK上代数的 ⇒ u^p^nがK上分離的となるnが存在する。

925 :732:2006/12/16(土) 17:06:28
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その5)

分離性の続きその2

Th N/Kを有限次拡大とするとき
A) L/Kが分離的であるような最大の部分体Lが存在する、
B) M/Kが純粋非分離であるような最大の部分体Mが存在する、
C) L∩M=K、
D) N/Lは純粋非分離、
E) N/Mが分離的 ⇔ L∪M=N、
F) NがK上分解体である ⇒ L∪M=N、このときN/MおよびL/Kは正規拡大でGal(N/M)~=Gal(L/K)。

Def 上定理の[L:K]をN/Kの分離次数[N:K]_s、[N:L]をN/Kの非分離次数[N:K]_i と呼ぶ。

Def 特に、Kの代数閉包K~における上のLをK の分離閉包と呼ぶ。

Th K の分離閉包はK上正規である。

Th K⊂L⊂Mを有限次分離拡大の塔とするとき、M/Kも分離拡大である。逆も成立する。

Th K⊂L⊂Mを純粋非分離拡大の塔とするとき、M/Kも純粋非分離拡大である。逆も成立する。

------やれやれ、お疲れ様でした。正直、分離性の議論はややこしくて嫌いだよ。------

926 :732:2006/12/16(土) 17:08:56
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その6)

Th 基本定理 (Galois)
Th M/Kを有限次正規拡大としG=Gal(M/K)とする。そのとき
 A) Gの部分群とM/Kの中間体は、1:1に有向集合としては逆向きに対応する、
 B) 此の対応は L |→ Gal(K/L) および H |→Inv_H(M)で与えられる、
 C) L⇔Hが対応しているとき、[M:L]=|H|、[L:K]=[G:H]、
 D) H <| G(正規部分群)⇔ L/KはGalois拡大で、Gal(L/K)~=G/H。

Th M,LがKの拡大体で更に共通の代数閉体に含まれるとする。
このときL/KがGaloisならML/LおよびM/(M∩L)もGaloisで 
σ|→ σ|_M  が同型 Gal(ML/L) → Gal M/(M∩L)) を与える。 

系 上の定理でL/Kが有限次とすると、 [ML:K]=[M:K][L:K]/[(M∩L):K]。

Th L1,L2をKの拡大で更に共通の代数閉体に含まれるとする。
L1/K,L2/KがGaloisならL1L2,L1∩L2もK上Galoisで
σ|→ (σ|_L1、σ|_L2)  が同型 Gal(L1L2/K) → H < Gal(L1/K)* Gal(L2/K) を与える。 
ここにH={(σ_1、σ_2)| σ_1|L1∩L2=σ_2|L1∩L2}。

927 :732:2006/12/16(土) 17:11:32
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その7)

冪根による拡大 その1
煩雑さを避けるためChar=0とする。

Th L/Kが有限次Galois拡大 ⇔ Lは或る分離既約なf(X)∈K[X]の分解体である。

Th 任意の対称式は基本対称式の有理式で表される。

系 有理式体K(x_1、・・・x_n)は対称式体のGalois拡大で、そのGalois群はS_nである。

Def 拡大L/Kが冪根による拡大であるとは、拡大の塔
   K=K_0⊂K_1⊂・・・0⊂K_n=L
   が存在し、K_iがK_i-1に既約多項式X^n_i-a_iの1根を添加して得られること、
   即ち K_i=K_i-1(a_i^(1/n_i)) となっている事を言う。

Th Kを標数0の体、K⊂L⊂Mを冪根による拡大の塔とするとGal(L/K)は可解群である。

928 :732:2006/12/16(土) 17:13:51
3) Galoisの基本定理  (有限次拡大)  (その8-完結)

冪根による拡大 その2(完結)

Th Kを標数0の体、f∈K[X]が既約であるとする。
   fの零点を含むような冪根による拡大(L/K)に対し、K上で考えたfのGalois群は可解である。

Th pを素数、f∈Q[X]をp次の既約多項式とする。
   fが実数でない零点をちょうど2個持つなら、fのGalois群はfのp個の零点の間の置換で生成されるS_pに同型である。

系 5次乃至はそれ以上の多項式の零点を、その係数に対する有理演算および冪根の添加のみで求める事は一般には不可能である。

おまけ
冪根による拡大は、いわゆるKummer拡大と言う概念を導入するともう少し綺麗に書ける。
また、Char=p > 0のときは、Artin-Schereier拡大という概念がKummer拡大に対応するが
此れを精密に扱うにはAlgebraic K-theoryを必要とするので此処では割愛する。

929 :732:2006/12/16(土) 17:17:29
ところで、この掲示板1,000超えると書けないんだよね?
如何すればいいのかな?

930 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 17:28:13
ガロアの自宅ってグーぐるアースでいけますか

931 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 17:54:26
>>929
スレに書かずに適当な Wiki でも立ててそっちでやれば。

932 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 18:05:24
アーグルグースのデータは古いよ。

933 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 20:20:34
>>929
適当なタイトルでスレを立てればよし

934 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 22:32:13
>>732
次スレ立ててもこのスレの他の話題と平行でやっても良いし
新しくスレ立てて732の話題だけで1000まで使い切れそうなら新しくスレを建てるのも良いし。

935 :732:2006/12/16(土) 22:38:38
>931,933,934
ま、もう少ししたら考えよう。

936 :732:2006/12/16(土) 22:43:45
5)Galois群の応用   その1
単純拡大と原始元定理
Th M/Kを有限次拡大とする。このとき M/Kが単純拡大 ⇔ 中間体の個数が有限。

Th (原始元定理) 有限次分離拡大は単純拡大である。

Th 拡大K(α,β)/Kはα、βの何れかが分離的なら単純拡大である。

Th Ω/Kを拡大としΩは任意のf[X」∈K[X]の分解体(代数閉体 - 6)参照]とする。
   このとき、L/Kが分離的、L’/Kが純粋非分離的ならLとL’はK上線形無関連である。
   即ち、 L○x_KL’ → Ωは単射である。(○xは tensor product)

円分拡大
Def X^n – 1の根を1のn乗根という。
1のn乗根ζのなかでζ^d¬=1、 d < nであるものを1の原始n乗根という。

Th 代数閉体Ωに関し以下は同値:
 A)1の原始n乗根が存在する、
 B)1の原始n乗根全体は位数nの巡回群となる、
 C) Char Ω =p はnを割切らない。

937 :732:2006/12/16(土) 22:46:06
5)Galois群の応用   その2
円分拡大 (続き)
Th 1の原始n乗根(のひとつ)をζ_nで表すとき、Gal(K(ζ_n)/K)は、U(Z/nZ)の部分群と同型なアーベル群である。

Def 1の原始n乗根全体を零点とする多項式を円分多項式といいΦ_nで表す。

Th Φ_n(X)は、φ(n)=| U(Z/nZ)|次のmonicな多項式である。

Th X^n-1 = Π_d|n Φ_d(X)。 

Th Q上、円分多項式Φ_nは既約でZ[X]の元であり、Gal((Q(ζ_n)/Q)~=U(Z/nZ)。

Def  (Q(ζ_n)の部分体を円分体という。

Th (m、n) = 1のとき Q(ζ_m*n)~= Q(ζ_m)○×Q(ζ_n)、  ○×はtensor product。 

Th 円分体はQのアーベル拡大体である。

Th (Kronecker-Weber)  Qのアーベル拡大体は円分体に限る。

938 :732:2006/12/16(土) 22:49:15
5)Galois群の応用   その3
円分拡大 (完結)

おまけ その1 
Φ_nに現れる係数は0、1、-1だけと勘違いしない事。
一般にnが相異なる3個以上の奇素数の積であるとき絶対値が2以上の係数が現れる。
因みにそのようなnの最小値は105で、係数に-2が出て来る。

おまけ その2 
Kronecker-Weberの証明はGalois理論の範囲を超え、Class Field Theoryで為される。

939 :732:2006/12/16(土) 22:57:24
5)Galois群の応用   その4
Trace、Norm と 正規底定理
Def L/Kを有限次拡大とする。LをK-algebraと看做した基底でLの元を表わす。
   α∈Lの表現(行列)をA(α)とするとき、Trace A(α)とNorm A(α)を各々LのKに関するTraceとNormといい
   Tr_L/K(α)=Trace A(α)、N_L/K(α)=Trace A(α)と表わす。

Def L/Kを有限次拡大とする。α∈Lの表現(行列)A(α)の特性多項式det(xI - A(α))をαのL/Kに関する特性多項式という。

Th 特性多項式のn-1次の係数= -Trace A(α)、定数項= (-1)^n*Norm A(α)。

Th M⊃LとなるGalois拡大M/Kを取る。 α∈L,σ_i∈Hom(L,M)に対し
  Tr_L/K(α)=Σσ_i(α)
  N_L/K(α)=Πσ_i(α)。

Th K⊂L⊂Mを拡大の塔とし、M/Kが有限次拡大とすると、
   Tr_M/K = Tr_M/L * Tr_L/K
   N_M/K = N_M/L * N_L/K。

940 :732:2006/12/16(土) 22:59:13
5)Galois群の応用   その5
Trace、Norm と 正規底定理 (その2)
Th L/Kを有限次分離拡大とする。このとき
   T(α,β)=Tr_L/K(αβ)は正則な対称双一次形式である。

系 L/Kを有限次分離拡大とするとき、Tr_L/K(α)¬=0となるα∈Lが存在する。

系 L/Kの任意の基底{u_i}に対しTr_L/K(u_i * v_ j) = δ_ijとなる基底{v_j}が存在する。

Def 上の系の{v_j}を{u_i}の双対基底という。

Th (Tr_L/K(u_i * u_ j))は正則な対称行列である。

Def 上の行列の行列式を拡大L/Kの基底{u}に関する判別式といい、D(L/K;u)で表す。

Th  上のD(L/K;u)は0ではない。

Def 有限次分離拡大L/Kにおいて t_i ∈ L、 σ_j ∈Gal (L/K)とする。 
Δ(t_1、・・・、t_n) = (σ_j(t_i)) と定義する。

941 :732:2006/12/16(土) 23:01:07
5)Galois群の応用   その6
Trace、Norm と 正規底定理 (その3  完結)
Th (t_1、・・・、t_n)がL/Kの基底 ⇔ Δ(t_1、・・・、t_n)が正則。

Th L/Kをn次Galois拡大、G=Gal(L/K)とするとき
  A) L○×L~= L×・・・×L (n個)  L-algebraとしての同型
  B) L○×L~= L[G]          L[G]-加群としての同型
                         ○×はtensor product。

Def  L/Kをn次Galois拡大とする。
Lの元uについて{σ_1(u)、・・・、σ_n(u)}がL/Kの基底となるとき
これを正基底という。

Th 正基底定理
L/Kを有限次Galois拡大、G=Gal(L/K)とするときK[G]-加群として L~= K[G]。

942 :732:2006/12/16(土) 23:03:15
5)Galois群の応用   その7
Group Cohomology
Hilbertの定理90を group cohomology として捉える考え方があるのでここで group cohomology の定義を記す。

Def 群Gを作用域とするアーベル群NをG-加群という。

Def 写像 f:G^n → N を GのNに関する n-cochain という。

Th n-cochain全体は値の和に関してアーベル群C^n(G,N)となる。

Th {C^n(G,N)}は、下のδ^n: C^n(G,N) → C^(n+1)(G,N)を boundary homomorhismとして
   cohain complex となる。 即ち δ^n・δ^(n+1)が0-準同型となる。
   δ^n(f)(σ_1、・・・、σ_n) = σ_1f(σ_2、・・・、σ_n) 
                     + Σ(-1)^i * f(σ_1、・・・、σ_i*σ_i+1、・・・、σ_n)
                     + (-1)^(n+1) * f(σ_1、・・・、σ_n)

Th 上の{C^n(G,N)、δ^n}から H^n = Ker(δ^(n+1))/Im(δ^n)とおいて cohomology群が得られる。

Th 上で得られるcohomology群は、Eilenberg-MacLane Space K(G,1) のN-係数cohomology群と同型である。

943 :732:2006/12/16(土) 23:04:46
5)Galois群の応用   その8 (完結)

Hilbertの定理90
Th (Dedekind-Artin) 体Kの異なる自己同型全体はK上1次独立である。

Th L/Kを正規拡大、Gal(L/K)~=Z/nZ=<σ>とする。このとき 
  a∈Lに対しTr_L/K(a)=0  ⇔ 或るb∈Lに対し a = b - σ(b)。

系 H^i (Gal(L/K),L) = 0, (i > 0)。 

Th Hilbertの定理90
  L/Kを正規拡大、Gal(L/K)~=Z/nZ=<σ>とする。このとき 
  a∈Lに対しN_L/K((a)=1  ⇔ 或る(0でない)b∈Lに対し a = b/σ(b)。

系 H^1(Gal(L/K),U(L)) = 0。 

944 :732:2006/12/16(土) 23:06:51
6) 無限次Galois拡大  (その1)

本節では拡大は有限次とは限らない。

Th L/KをGalois拡大とし、L_λをK上有限次Galoisであるような中間体とする。このとき、
 A) L_λはPOSetでL=∪L_λ、
 B) N_λ=Gal(L/L_λ)はGal(L/K)の正規部分群で∩N_λ={1}である、
 C) L_λL_μ=L_νとするとN_λ∩N_μ=N_ν、
 D) Gal(L/K)は{N_λ}を基本近傍系とする位相を持つ。

Def 上の定理で定義される位相をGal(L/K)のKrull 位相という。

Th {G_λ=Gal(L_λ/K)、ρ_μ,^λ:G_μ → G_λ}は有限群の射影系で、G~=←lim G_λ
従って、GはProfinite Groupでありコンパクトで完全不連結となる。

Th MをL/Kの中間体とすると
 A) Gal(L/M)はGal(L/K)の閉部分群、
 B) MはGal(L/M)で固定される、
 C) M/Kが有限次 ⇔ Gal(L/M)が閉部分群。

945 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 23:09:04
>>918
ありがとう
このスレに精通していますね。おどろき。

>>732
快調、快調。
ガロア群の応用がすごい内容ですね。

946 :732:2006/12/16(土) 23:09:29
6) 無限次Galois拡大  (その2  完結)
Th Gal(L/K)の部分群Hが固定する部分体Mに対し、Gal(L/M)=Closure(H)。

Th (無限次のGalois基本定理)
L/KをGalois拡大とすると、中間体Mと閉部分群Hは有向集合として逆向きに
1対1に対応  ( H=Gal(L/M) <-> M=Hの固定体 )  する。このとき 
 A) M/Kが正規拡大 ⇔ Hが正規部分群、
 B) そのときGal(M/K)はG/Hと位相群として同型。

Th 無限次Galois拡大のGalois群は閉でない部分群を持つ。

Th QacをQの代数閉包とするときGal(Qac/Q)は指数有限の閉でない部分群を持つ。

おまけ 上の定理は“A Brief Guide to Algebraic Number Theory”  Swinnerton-Dyer (2001)に
「未解決問題のひとつで強烈に難しい」とある。
しかし “Algebraic Extensions of Fields” J. MacCarthy (初版1976) には例として解説があり、
“Algebra” P. M. Cohn (初版1977)には問題として載っている。

947 :732:2006/12/16(土) 23:14:13
>945
> 快調、快調。
> ガロア群の応用がすごい内容ですね。
Thanx! 少しでも貴兄のような人達の知的好奇心に資すれば光栄です。

948 :732:2006/12/16(土) 23:16:31
7) 超越拡大  (その1)

Def L/Kが代数拡大でないとき超越拡大という。(再掲)

Def x∈LがK上超越的とは{f∈K[X]|f(x)=0}が零イデアルであることを言う。

Th {x_1、・・・、x_n}∈Lについてp_{x_1、・・・、x_n}={f∈K[X_1、・・・、X_n] | f(x_1、・・・、x_n)}はK[X_1、・・・、X_n]の素イデアルである。

Def {x_μ}∈Lにおいて、その有限部分集合 {x_μ1、・・・、x_μn}に関し
 A) p_{x_μ1、・・・、x_μn}=0のときK上代数独立、
 B) そうでないとき代数従属、
という。

Th L/Kを体の拡大とする。{x_μ、y_ν}∈Lに対して以下は同値。
 A) {x_μ、y_ν}はK上代数独立、
 B) {x_μ}はK上代数独立で{y_ν}はK{x_μ}上代数独立。

949 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 23:16:52
ただ、このスレの1を見て有用なレスがあると考える人は
少ないのではあるまいか

950 :732:2006/12/16(土) 23:18:36
7) 超越拡大  (その2)

Def L/Kを体の拡大、{x_μ}∈Lとする。{x_μ}がK上代数独立でL/K{x_μ}が代数的であるとき{x_μ}をL/Kの超越基底と言う。

Def L=K{x_μ}、{x_μ}はK上代数独立であるときL/Kは純超越拡大であるという。

Th Kの純超越拡大はK上の有理式体と同型である。

Th L/Kを超越拡大とする。
 A) L/Kに対し超越基底が存在する、
 B) L/Kのある超越基底が有限集合のとき、他の超越基底も有限集合でその元の個数は一定である。

Def 上定理のB)で決まる超越基底の元の個数をL/Kの超越次数または次元といいdim_K Lで表わす。

Th LをM/Kの中間体とするとき
 A) dim_K M <∞ ⇔ dim_K L * dim_M L <∞、 
 B) このとき dim_K M = dim_K L + dim_M L。

951 :732:2006/12/16(土) 23:20:35
7) 超越拡大  (その3)

Th 有理式体K(x)の自己同型はPGL_2、即ちy=(a*x+b)/(c*x+d)、a*d-b*c¬=0である。

おまけ-複素関数が好きな人向け
上の定理は、リーマン球面の自己同型がPGL_2であるという複素解析の定理と関係がある。
この種の話題に関しては、“Lectures on Riemann Surfaces” R. Gunning が詳しい。

Th (Luroth)
有理式体 K(X)の部分体でKを真に含むような部分体はK上純粋超越拡大である。

おまけ
Lurothの定理は、2変数有理式体ではKを代数閉体としないと成立しない(G. Castelnuovoによる)。
また、3変数以上ではK=Cでも成立しないことが、V. A. IskovskihとJ. I. Maninにより示されているが、
此れに関しては、Seminaire BourbakiにおけるDeligneの解説(”Varietes unirationnelles non rationnelles”)
が良いとされている。

952 :732:2006/12/16(土) 23:22:18
>949
> ただ、このスレの1を見て有用なレスがあると考える人は
> 少ないのではあるまいか
貴兄が「有用」と思ってくれればそれで良い。

953 :732:2006/12/16(土) 23:24:17
7) 超越拡大  (その4)

ここで少し話題を変え、多変数多項式環について基本事項を記す。
Hilbert Nullsettelnsatz
Th Kを体とする。 K[x_1、・・・、x_n] を K上 有限生成の環とし、K~をKの代数閉包とする。
このとき、inclusion i:K → K~ は環射 K[x_1、・・・、x_n] → K~ に拡張できる。

Th Kを体、 K[x_1、・・・、x_n] を K上 有限生成の環とする。
K[x_1、・・・、X_n] が体なら K[x_1、・・・、x_n]はK上代数的である。

Th Kを体、 K[x_1、・・・、x_n] を K上 有限生成の環とする。
0¬= y_1、・・・、y_m ∈ K[x] に対し ψ(y_i) ¬= 0 となるような
環射 ψ:K[x_1、・・・、x_n] → K~ が存在する。

Def Sを多項式環 K[X_1、・・・、X_n] の部分集合、L/Kを拡大とする。
V_L(S) = {(a_1,・・・、a_n) ∈ L^n|f(a_1,・・・、 a_n)=0 ∀f ∈S}
をSのL^nにおける零点という。特に、S={f} のときV_L{f})の元を f のLにおける零点という。

954 :732:2006/12/16(土) 23:26:25
7) 超越拡大  (その4)
Hilbert Nullsettelnsatz (続き)
Def V_L(S)の形に表されるL^nの部分集合を algebraic set という。

Th Sが生成するK[X_1、・・・、X_n]のイデアルを a とすると
 A)S⊂a、
 B)V_L(S)= V_L(a)、
 C)Aは有限生成で S={f_1,・・・、f_n} とすると V_L(a)= V_L{f_1,・・・、f_n}。

Th (Hilbert Nullstellensatz)
a ⊂ K[X_1、・・・、X_n]をイデアルとする。
f∈K[X_1、・・・、X_n]が任意の (c_1,・・・、c _n) ∈V_K~(a) に対しf(c_1,・・・、c_n)=0
ならば、f^m∈a となる自然数mが存在する。
(Algebraic set V_K~(a)は代数閉体 K~ で考えていることに注意!)

Def K~ を代数閉体とし、M ⊂ K~^nとする。
b(M)={f∈K~[X_1、・・・、X_n]|f(c_1,・・・、c_n)=0 ∀(c_1,・・・、c_n)∈M}と定義する。
b(M)はK~[X_1、・・・、X_n]のイデアルであることに注意する。

系 K~ を代数閉体、a ⊂ K~[X_1、・・・、X_n]をイデアルとすると
   b(V_K~(a)) = √a (radical ideal)。

955 :732:2006/12/16(土) 23:31:48
7) 超越拡大  (その5 完結)
Hilbert Nullstellensatz (完結) ← 綴りを間違えていた!

Th (Noether Normalization Lemma)
Kを体、K[x_1、・・・、x_n] を K上 有限生成の整域とし、K(x_1、・・・、x_n)のK上の超越次数をrとする。
K[x_1、・・・、x_n]がK[y_1、・・・、y_n]上 整となる (y_1、・・・、y_n)∈K[x_1、・・・、x_n]が存在する。

此処での多変数多項式環(というかAlgebraic Set)に関する話はほんの概略に過ぎない。
詳しくは、例えば"Basic Algebraic Geometry" I. R. Shafarevich を見て欲しい。

で、小生のGalois理論概説はおしまい。

書こうと思ったが息切れしてやめた事項

1) 超越拡大における分離性の議論
此れに関しては、例えば "Field and Galois Theory" P. Morandi を見て欲しい。
但し、この本はIndexが滅茶苦茶なので何か項目を探そうとするとフラストが溜まる。

2) 超越Galois理論 
此れに関しては、"Introduction to the arithmetic theory of automorphic functins" Goro Shimuraの
第6章3節に簡単な解説がある。

ご静聴多謝!
 

956 :132人目の素数さん:2006/12/16(土) 23:44:50
クマさん、何でハンドル外してるの?

957 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 06:10:42
ここで勘違い発言を連発している
馬鹿文系野郎は佐々木力の愛弟子

師匠が犯罪者になって、
アカポスつけずに、崩れたために
こんなところでうっぷんを晴らしている

958 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 20:34:34
732さんありがとう。
また、どこかであいましょう。

959 :732:2006/12/17(日) 20:49:02
>958
こちらこそ、どうも有難う。
今後とも何処かで宜しくお願いします。

960 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 20:50:03
四十九日。


961 :132人目の素数さん:2006/12/17(日) 20:55:21
聞きたい事もあるんだが返事が来る前にスレ終了しそうだな

962 :732:2006/12/18(月) 09:23:22
>961
小生に答えられるかどうか分からんが、
まあKさん(?)もいる事だし、誰か分かってる人が答えるかも。

963 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 13:24:36
>>957
それをもうちょっと詳しく教えて欲しい

964 :132人目の素数さん:2006/12/18(月) 23:37:59
>>938
クロネッカー・ウェーバーの定理の証明に類体論はいらんよ。

965 :1:2006/12/19(火) 01:13:56
>>963
957はまったくのうそ。

966 :732:2006/12/19(火) 10:15:39
>964
> クロネッカー・ウェーバーの定理の証明に類体論はいらんよ。
そうかい?
NeukirchなんかClass Field Theoryのカゴリに入れてるがね。

967 :961:2006/12/19(火) 14:54:46
では質問
Q の代数閉包の一つをQ^alcとするとき、その中で最大総実部分体をK_0,
最大総p-進部分体をK_pとするとき、ガロア群
Gal(Q^alc/K_q), Gal(K_q/Q)を求めよ。

968 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 18:49:40
いきなりガロア群を求めよと云っても難しすぎたかも知れないが、
これらはprofinite groupだから、素数 l に対して、l - Sylow subgroup が
conjugateを除いて一意に定まり、pro nilpotent になるが、
その群がどれほどの物かは分かりませんか?
rf. profinite groups, arithmetic and geometry, by S.S.Shatz, princeton UP

969 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 20:11:14
>>967

質問がおかしい

970 :961:2006/12/19(火) 20:18:10
>>969
具体的に指摘して下さい。

971 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 21:06:59
K_q って何?

972 :132人目の素数さん:2006/12/19(火) 21:19:37
それと K_0 がどう関係する?



973 :961:2006/12/19(火) 23:13:34
>>970
書き忘れましたが q は 0 か素数です。
>>972その辺りもこちらが伺いたい所の一つです。

974 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 04:30:23
なんどもいうように本当に数学が好きな人は2chにきて何時間もかけて数学の内容の説明なんか
しません。。。

人に説明するのが面倒な数学好きである僕の感想。

975 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 06:58:14
禿同

976 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 08:03:08
人に説明するのも数学者の大事な役目だと思うが。

977 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 09:06:37
>>973

最大総p-進部分体の定義は?


978 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 09:35:25
>>974
おまえさんの場合は、ただの数学好きなんじゃないの?
下手の横好き。

979 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 12:39:40
>>974 の言ってることは必ずしも正しくない。

人に説明することにより自分の理解が深まる。

教えることは学ぶことでもある。

980 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 12:41:19
数学できる人って大抵説明上手だよね。

981 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 12:55:42
幾何学のドナルドソンとフレアーは講義や講演が下手らしい。


982 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 13:10:10
>>981
そのくらいのレベルのお方であれば下手でも許される。

983 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 13:34:22
講義は週刊漫画的な面白さが必要で
決められた時間内にわかりやすさと面白さ
終わった後の考えさせる部分というのが
構成されないといけない。
説明がうまいというのと少し違う能力が必要。
時間が十分にあれば、大抵どんな人も質問に対する説明は明快で
どこまでも遡る事ができる。

984 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 13:36:46
ゆとり世代おつ

漫画でも読んどけ

985 :961:2006/12/20(水) 14:14:09
>>977
最大総p-進部分体とは、Q^alc 内の Q 上有限次ガロア拡大で、Q_p に埋め込み可能な物全体の合併体です。

986 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 14:56:10
>985
埋め込み可能とは不分岐拡大って事?
そういえばQpって可微分多様体なんだっけ?

987 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 20:34:39
>>986
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1140419648/74

988 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 20:50:03
五十二日。


989 :132人目の素数さん:2006/12/20(水) 22:19:11
>>988
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1140419648/74

990 :961:2006/12/21(木) 03:43:32
>>986
Q_p については
Fernando Q. Gouvea, p-adic numbers, Springer
などご覧下さい。入門書と銘打っておきながら、
Q_p への入門から、 C_p による解析まで詳しく書いてあります。
大学の図書館なら大体あると思います。

991 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 10:42:53
>>966
類体論を経由しなくても証明できるってことだよ。
局所類体論を利用する証明もあるけど。

992 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 10:46:18
>>985
pって固定されてるの?

993 :961:2006/12/21(木) 20:25:53
>>992
p は固定されています。Q_0 (無限素点だから Q_∞ と書く事が多い, = R), Q_2, Q_3, Q_5, ... があります。
後、質問追加ですが、p, l, m を素数とするとき、前の質問に書いたGalのl-partは
いつm-進リー群になっているか?

994 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 20:50:03
五十三日。


995 :132人目の素数さん:2006/12/21(木) 23:19:04
ならとりあえずGal(K_p/Q)={1}だな。

996 :961:2006/12/21(木) 23:49:32
>>995
何か勘違いしていないか?
何故そうなると思う?

997 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 03:50:03
五十三日七時間。


998 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 03:51:03
五十三日七時間一分。


999 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 03:52:03
五十三日七時間二分。


1000 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 03:53:03
五十三日七時間三分。


1001 :1001:Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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