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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問

1 :132人目の素数さん:2006/05/25(木) 23:58:29
理系で数学が得意な高校生が25〜50分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

 過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/

952 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 05:53:40
>>942
f(x)=5^x-3^x-2^x がこんなグラフになるから無理。
http://www.vipper.net/vip147298.jpg

943は f(x)=6^x-3^x-2^x-1とおいて微分。
f'=log6*6^x-log3*3^x-log2*2^x
=log3*3^x(2^x-1)+log2*2^x*(3^x-1)
これはx=0で正負が切り替わる。あとはf(0)=0よりでOK。

953 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 07:43:00
a<1<b.
(2/5)^a+(3/5)^a>1>(2/5)^b+(3/5)^b.
(1/6)^a+(2/6)^a+(3/6)^a>1>(1/6)^b+(2/6)^b+(3/6)^b.


954 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 21:38:24
というか単に問題転記してるだけじゃないか
オリジナル問題を解くスレじゃないの?

955 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 22:16:48
a,b,cは次の3つの条件を満たしている。
条件1 a^2+b^2+c^2=3
条件2 2a+b+4c=4
条件3 (a+b)(b+c)(c+a)=1/64
このとき、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cがすべて虚数で条件1〜条件3を満足するものが存在することを示せ。
(2)aのみが虚数で、b,cが実数であるような(a,b,c)で条件1〜条件3を満足する
ものは存在しないことを示せ。

956 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 22:20:57
f(x)=xe^xとする。
(1)f'(x)を求めよ。
(2)I(a,b)=∫[a,b]{f'(x)}^2dxとおく。I(-1,1)を求めよ。
(3)J=I^2+2aI+bとする。Iの2次方程式J=0が相異なる2つの実数解を持つような
(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ。


957 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 22:24:16
(1)p,q(P≦q)は素数である。次の問いに答えよ。
p^2+q^2が素数になるとき、p、qの偶奇は一致しないことを示せ。
(2)A,V,s,e,xが異なる5つの素数であるとき、
A^3+V^3+s^3+e^3+x^3+AVsexは素数でないことを示せ。

958 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 22:52:10
>>954
問題転記って、どこからだよ?
言ってみろ!
話はそれからだ!

959 :132人目の素数さん:2006/12/22(金) 22:57:04
>>951
(1)はあってる
(2)の計算結果が違う

960 :951:2006/12/23(土) 00:44:04
もしかしてπ(9π-9√3+22)/12かな?

961 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 09:12:52
無限集合AからAべき集合に1:1の対応がつけられるか調べなさい。

962 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 09:17:28
>>956 (1)
f(x)=x e^x
f'(x)=(x)'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x

963 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 13:31:42
光は回折するので全部の面に当たるよが正解

964 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 14:00:47
マジか!それはマジなのか!絶対買うぞ、買わせてもらうぞ

965 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 14:01:01
>>957
(1)対偶を取る
(2)偶奇性の一致から

966 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 15:22:10
>>914
 1112 = 8*139 で割った余り

>>916
 f(x), g(x), h(x) を2次関数とし、P(x) = f(x) + g(x) + h(x) -1 -2 -3 とおく。
 P(1) = P(2) = P(3) = 0 と 因数定理より P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)*Q(x).
 P(x) は2次関数だから Q(x) = 0.
 〔なお、f(x) = x, g(x) = (3x^2 -13x+16)/2, h(x) = (-3x^2 +11x -4)/2 〕

>>917
 (a b c) (-5/18, 1/18, 7/18) (4 5 6) (3/2, 1/2, 1/2)
 (d e f) = (1/18, 7/18, -5/18) (5 6 4) = (1/2, 3/2, 1/2)
 (g h i) (7/18, -5/18, 1/18) (6 4 5) (1/2, 1/2, 3/2)

>>938 (1)
 n:偶数のとき (n+2)(n+4)/8,
 n:奇数のとき (n+1)(n-1)/8.

〔x+y>z, y+z>x, z+x>y ならば
 n:偶数のとき (n-2)(n-4)/8,
 n:奇数のとき (n+1)(n-1)/8. 〕

>>941
 (1) ∫log(x)dx = xlog(x)-x, より 1.
 (2) log(x) =t とおくと
  ∫{log(x)}^2 dx = ∫(t^2)(e^t)dt = (e^t)(t^2 -2t+2) より e-2 ≒ 0.7182818…

>956 (2)
 f '(x) = (x+1)e^x   >>962,
 I = ∫(x+1)^2 e^(2x)dx = (1/2)(x^2 +x +1/2)e^(2x) +c.
 I(-1,1) = (1/4){5e^2 - e^(-2)} ≒ 9.2024863….

967 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 17:29:04
>>957
(1)
p^2+q^2が素数ならばp,qの偶奇が一致しない
これの対偶はp,qの偶奇が一致するならばp^2+q^2は素数でない。
(i)素数の中で偶数は2のみ。つまりp=q=2のとき
2^2+2^2=8=2^3 よって素数でない。
(ii)p,qが奇数の時
p=2k-1,q=2l-1(k,lは自然数)とすると
p^2+q^2=(2k-1)^2+(2l-1)^2=2*(2(k^2+l^2)-(k+l)-1) よって奇数のときも素数でない。
(i)(ii)より、対偶が真であるので、命題もまた真である。

(2)
A,V,s,e,xのうち、どれか一つが2であると仮定すると
偶+奇+奇+奇+奇+偶なので、偶数となる。これは素数ではない。
すべて奇数の素数であると仮定すると
奇+奇+奇+奇+奇+奇なので、偶数となる。これもまた素数ではない。

968 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 19:14:03
C***2,4,8,2^nまでのn個の整数のうち,直前の数と桁数が変わらないものの個数をN(n)とする
lim[n→∞]N(n)/nを求めよ
A*Aは正方行列でA^2-4A+3E=Oを満たす
A-Eの逆行列をA,Eを用いて表せ
A**a,b,abはある順に等差数列をなし,ある順に等比数列もなす
a,bを求めよ.ただしa,bは実数でa≠bである

969 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 19:15:26
>>966
>>916
>f(x)、g(x)、h(x)は3次関数で


970 :968:2006/12/23(土) 19:58:46
A-E→A-tE

971 :132人目の素数さん:2006/12/23(土) 22:10:27
>>968
C***
公比2(<10)の等比級数だから直前から2桁増えるものはない
n項目は[nlog_10(2)+1]桁だからそれまでに[nlog_10(2)]個直前の数と桁数が違うものがある。
n-nlog_10(2) < N(n)=n-[nlog_10(2)] ≦ n-nlog_10(2)+1
∴lim[n→∞]N(n)/n = 1-log_10(2) = log_10(5)

972 :938:2006/12/24(日) 00:43:29
>966
TKS 出題ミスってたことに気づいた。

(1) nを自然数とするとき
  x+y+z=n, x+y>z, y+z>x, z+x>y  (←等号無し)
を満たす自然数の組(x,yz)の個数を求めよ。
(2) 3辺の長さがすべて自然数で、その和が 2007 となるような三角形の個数を求めよ。

ちなみに(2)は(1)の結果とは違うよ。重複して数えちゃってるぶんがあるから。
一般のnで計算しようとすると場合分けが煩雑になる。

973 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:08:42
(1)コインを投げて最初から表がk回連続で出たら2^k円もらえるゲームを考える。
このゲームは何度でもチャレンジできる。但し、1回やるたびごとに参加料金として
100,000,000円払う必要がある。このゲームには参加すべきか。期待値で
100,000,000円より多いなら参加すべきと答えよ。そうでないなら参加すべきでないと答えよ。

974 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:10:57
(1)3辺の長さがx、x^2、x^3であるような三角形は何個存在するか。
ただし、xは自然数とする。

(2)aは定数である。3辺の長さがx-a、x^2+a^2-2a、x^3-4a^3であるような三角形が
有限であるようなaの値の範囲を求めよ。


975 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:13:28
素数pについて次のことが成り立つことを示せ。
(1)pが素数ならばp^2+1も素数とは限らない。
(2)pが素数でないならばp^2+1は素数かもしれない。
(3)pが素数でないとすればp^2-1は素数にならないかもしれない。
(4)pとp^3+2p^2+3p+1が共に素数になることはない。

976 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:14:01
tan1°+tan2°は有理数か。

977 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:14:33
eは無理数であるとする。
このときaを有理数として、aeは必ず無理数であることを証明せよ。

978 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:15:55
>>977
a=0のとき成り立たない。

979 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:16:40
977訂正
aを有理数→aを0でない有理数

問題(D****)
平面Hは3点A,B,Cを通る。
Dは、AD^2+BD^2+CD^2を最小にする点である。
A(1,0,0)B(1,0,1)C(0,0,1)とするとき、Dの座標を求めよ。


980 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:18:13
不等式
(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)≧a^6+b^6+c^6
が常に成り立たせるような(a,b,c)の条件のうち、最も広いものを答えよ。

981 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:20:48
α、β、γ、δを4次方程式f(x)=0の解とする。またα、β、γ、δはすべて素数である。
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eとする。
(1)a+b+c+d+eの最小値はいくらか。
(2)abcdeの最小値はいくらか。
(3)a^5+b^5+c^5+d^5+e^5とα^4+β^4+γ^4+δ^4の大小を比較せよ。


982 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:22:03
>>979
aeが有理数であるとするとae=b/cとおけ、e=b/(ac)=有理数より矛盾
うお!初めて解けた!?

983 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:23:48
>>982
続きがある。
(2)eを無理数とする。
e^eが有理数でかつe^(1/e)が無理数である。
このようなeは存在するか。

984 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:25:08
(3)eを無理数とする。
e^e^eが有理数でe^eが無理数であるようなeは存在するか。
(4)eを自然対数の底とする。eの定義を述べた上で、eは2.4より大きいことを証明せよ。

985 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:27:20
>>982
b、cが何を意味するか全く理解できない。
大減点です。

986 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:27:44
k

987 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:28:29
i

988 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:29:47
n

989 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:30:31
g

990 :966:2006/12/24(日) 02:32:52
>972一応場合分けした
(2)で=になるのは存在しないから三辺が異なるのをa,二等辺三角形をb,正三角形をcとして
3!a+3b+c=(1)で2007代入したやつ
>975
一回自分で解いてみたか?

991 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:33:21
abc=a^2+b^2+c^2を満たす正整数の組をすべて求めよ。

992 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:53:53
      ┌━┐    ┌━┐
      ┃┌╋──╋┐┃
      └╋┘    └╋┘
        ┃ ・   ・  ┃        ┌━━┐
    ●━╋┐    ┌╂━━━━╂┐  ┃
    └━┷┴━━╂┘        └╋━┘
同じスレにはコピペ ┌╋┐        ┌╋┐
できるけど、違う  ┃└╋╋━━╋╋┘┃
スレにはコピペでき ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
ない不思議コピペ ┃  ┃┃    ┃┃  ┃
           └━┘┘   └└━┘




993 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 02:58:29
二百十二日三時間。


994 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 05:10:00
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/


995 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 07:58:29
二百十二日八時間。


996 :KingOfUniverse ◆667la1PjK2 :2006/12/24(日) 09:07:48
talk:>>986-989 私を呼んでないか?

997 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 09:58:29
二百十二日十時間。


998 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 09:59:29
二百十二日十時間一分。


999 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 10:00:29
二百十二日十時間二分。


1000 :132人目の素数さん:2006/12/24(日) 10:01:29
二百十二日十時間三分。


1001 :1001:Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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